破译绝对值不等式中的含参问题

一 填空题一 填空题 1 不等式对于一切非零实数均成立 则实数的取值范围是 1 5 1xa x xa 答案 46a 解析 试题分析 与同号 当且仅当时取 x 1 x 11 xx xx 1 22x x 1x 解得 故答案为 251 51aa 46a 46a 考点 1 绝对值不等式的解法 2 基本不等式求最值及不等式恒成立问题 2 已知 若恒成 求的取值范围 48 f xaxaxaR f xk k 答案 12 3 若不等式在上恒成立 则实数的取值范围为 12ax 1 a 答案 3 解析 试题分析 在上恒成立 在121212axaxax 或 13 aa xx 或 1 1 a x 上不成立 由在上恒成立得 1 3 a x 1 3x 考点 含绝对值不等式的恒成立问题 4 若存在实数使成立 则实数的取值范围是 x13xax a 答案 解析 试题分析 本题的几何意义是 存在在数轴上到的距离与到 1 的距离之和小于 3 的点 有 13a 24a 考点 含绝对值的不等式的解法 易错点晴 本题主要考查了含绝对值不等式的解法 含有多个绝对值符号的不等式 一般可用零点分段 法求解 对于形如或 利用实数绝对值的几何意义求解较简便 选 择或填空题可采用绝对值几何意义的方法 解答题要采用零点分段求解的方法 本题难度不大 属于中档 题 5 已知关于的不等式无解 实数的取值范围 x11xxc c 答案 02 6 已知函数 若的解集包含 则实数 的取值范围为 答案 解析 f x x 4 x 4 x 2 x a 当x 1 2 时 x 4 x 2 x a 4 x 2 x x a 2 a x 2 a 由条件得 2 a 1 且 2 a 2 即 3 a 0 故满足条件的a的取值范围为 7 若适合不等式的的最大值为 3 则实数的值为 2 435xxkx xk 答案 8 解析 因为 x 的最大值为 3 故 x 3 0 原不等式等价于 x2 4x k x 3 5 即 x 2 x2 4x k x 2 则 x2 5x k 2 0 且 x2 3x k 2 0 解的最大值为 3 设 x2 5x k 2 0 的根分别为 x1和 x2 x1 x2 x2 3x k 2 0 的根分别为 x3和 x4 x3 x4 则 x2 3 或 x4 3 若 x2 3 则 9 15 k 2 0 k 8 若 x4 3 则 9 9 k 2 0 k 2 当 k 2 时 原不等式无解 检验得 k 8 符合题意 故答案为 8 8 存在使不等式成立 则的取值范围是 xR 1 2xxa a 答案 1 解析 由题意得 min 1212121axxxxxx min 1211xxa 9 已知函数的最小值是 2 则的值是 不等式的解集 是 答案 3 04 点睛 与简单的绝对值有关的问题 可用绝对值三角不等式得出最小值 要注意等号成abab 立的条件 解绝对值不等式可利用绝对值的定义去绝对值符号 化为不含绝对值的不等式分类求解 10 若关于的不等式且恒成立则的取值范围是 x 4 log22 0 xxaa 1 a a 答案 1 2 解析 关于x的不等式loga x 2 x a 2 a 0 且a 1 恒成立 即有当a 1 时 可得 x 2 x a a2恒成立 由 x 2 x a x 2 x a 2 a 2 a 当 x 2 x a 0 时 取得等号 即有a2 2 a 解得 1 a 2 即为 1 a 2 当 0 a 1 时 可得 x 2 x a a2恒成立 由于 x 2 x a x 2 x a 2 a 无最大值 则 x 2 x a a2不恒成立 综上可得 1 a 2 故答案为 1 2 11 已知函数 11f xaxax 当时 满足不等式的的取值范围为 2a 0f x x 若函数的图象与轴没有交点 则实数的取值范围为 f xxa 答案 1 1 3 1 1 2 点睛 含绝对值不等式的解法 法一 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 法二 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 法三 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 12 设函数 如果 则的取值范围是 1f xxxa xR 2f x a 答案 13 解析 对 只需的最小值大于等于 当时 当时 2xR f x f x21a 1x 当时 当时 211f xxaa 1xa 1f xa xa 211f xxaa 只需 解得 当时 当时 当时 12a 3a 1a xa 21 1f xxaa 1ax 当时 只需 解得 1f xa 1x 21 1f xxaa 12a 1a 故答案为 13 a 13 二 解答题二 解答题 13 选修 4 5 不等式选讲 225f xxx 1 求函数的最小值 f xm 2 若不等式恒成立 求实数的取值范围 2xaxm a 答案 1 2 或 3m 5a 1a 解析 试题分析 1 化简 f x 的解析式 再利用单调性求得函数 f x 的最小值 m 2 利用绝对值三角不等式求得 x a x 2 a 2 可得 a 2 3 由此求得实数 a 的取值范围 点睛 本题主要考查分类讨论去绝对值 不等式恒成立问题 体现了转化的数学思想 关键是利用绝对值 三角不等式求出最值即可解决恒成立得到实数 a 的范围 14 已知函数 240f xxmxm m 1 当时 求不等式的解集 2m 0f x 2 若关于不等式的解集为 求的取值范围 x 21f xtttR Rm 答案 1 2 2 1 0 2 m 解析 试题分析 1 去掉绝对值符号 得到分段函数 然后求解不等式的解集 2 关于不等式的解集为 等价于 对任意实数和 x 21f xtttR Rxt max min 21f xtt 试题解析 1 当时 所以 即为 2m 48f xxx 0f x 480 xx 所以 所以 即所求不等式解集为 48xx 2x 2 2 关于不等式的解集为 等价于 对任意实数和 x 21f xtttR Rxt 因为 max min 21f xtt 246xmxmm 213tt 所以 即 又 所以 63m 1 2 m 0m 1 0 2 m 15 函数 12f xxxa 1 当时 求证 1a 13f xx 2 若的最小值为 2 求实数的值 f xa 答案 1 证明见解析 2 或 2a 6a 解析 试题分析 1 当时 利用绝对值三角不等式可证 1a 13f xx 2 分 当 当 当时 三种情况分类讨论 去掉绝对值符号 即可得到实1 2 a 1 2 a 1 2 a 数的值 a 当 即时 1 2 a 2a 31 1 1 1 2 31 2 xa x a f xxax a xax 则当时 故 2 a x min112 222 aaa f xf 6a 当时 即时 有最小值 0 不符合题意 舍去 1 2 a 2a 31f xx 16 已知函数 1f xxax aR 1 当时 求不等式的解集 3a 4f x 2 若不等式的解集为空集 求实数的取值范围 2f x a 答案 1 2 0 4 13 解析 试题分析 1 根据绝对值内的零点去掉绝对值 将函数写成分段形式 分段解不等式即可 2 根据题意将问题转化为 2 f x min 由绝对值三角不等式得到函数最值 求得参数范围即可 2 依题意知 f x x a x 1 2 恒成立 2 f x min 由绝对值三角不等式得 f x x a x 1 x a 1 x 1 a 即 f x min 1 a 1 a 2 即 a 1 2 或 a 1 2 解得 a 3 或 a 1 实数 a 的取值范围是 3 1 17 设函数 1f xxaxa 1 当时 求不等式的解集 1a 1 2 f x 2 若对任意 不等式的解集为空集 求实数的取值范围 0 1a f xb b 答案 1 2 1 4 2 解析 试题分析 1 当 a 1 时 分类讨论求得不等式的解集 1 2 f x 2 2 由题意可得对任意 a 0 1 求得 可得 b 的范围 max bf x max f x 2 因为不等式的解集为空集 所以 f xb max bf x 因为 1f xxaxa 1xaxa