破解椭圆中最值问题的常见策略

破解椭圆中最值问题的常见策略破解椭圆中最值问题的常见策略 有关圆锥曲线的最值问题 在近几年的高考试卷中频频出现 在各种题型中均有考查 其中 以解答题为重 在平时的高考复习需有所重视 圆锥曲线最值问题具有综合性强 涉及知识面广 而且常含有变量的一类难题 也是教学中的一个难点 要解决这类问题往往利用函数与方程思想 数形结合思想 转化与化归等数学思想方法 将它转化为解不等式或求函数值域 以及利用函数 单调性 各种平面几何中最值的思想来解决 本文通过具体例子 对椭圆中的常见最值问题进行 分类破解 第一类 求离心率的最值问题第一类 求离心率的最值问题 破解策略之一 建立破解策略之一 建立的不等式或方程的不等式或方程cba 例 1 若为椭圆的长轴两端点 为椭圆上一点 使BA 0 1 2 2 2 2 ba b y a x Q 求此椭圆离心率的最小值 0 120 AQB 分析 建立之间的关系是解决离心率最值问题常规思路 此题也就要将角转化为边的cba 思想 但条件又不是与焦点有关 很难使用椭圆的定义 故考虑使用到角公式转化为坐标形式运 用椭圆中的取值进行求解离心率的最值 yx 解 不妨设 则 0 0 yxQaBaA ax y k ax y k BQAQ 利用到角公式及得 0 120 AQB 0 120tan 1 ax y ax y ax y ax y ax 又点在椭圆上 故 消去 化简得又即A 2 2 2 22 y b a ax x 2 2 3 2 c ab y by b c ab 2 2 3 2 则 从而转化为关于的高次不等式 解得 4222 3 4ccaa e0443 24 ee1 3 6 e 故椭圆离心率的最小值为 或 得 由 3 6 222 233 abcab 3 0 3 b a 故 注 本题若是选择或填空可利用数形结合求最值 2 1 b e a 1 3 6 e 点评 对于此类最值问题关键是如何建立之间的关系 常用椭圆上的点表示成cba yx 并利用椭圆中的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解 cba yx 破解策略之二 利用三角函数的有界性求范围破解策略之二 利用三角函数的有界性求范围 例 2 已知椭圆 C 两个焦点为 如果曲线 C 上存在一点 Q 使 22 22 1 0 xy ab ab 12 F F 求椭圆离心率的最小值 12 FQF Q 分析 根据条件可采用多种方法求解 如例 1 中所提的方法均可 本题如借用三角函数的有 界性求解 也会有不错的效果 解 根据三角形的正弦定理及合分比定理可得 cossin 2 cossinsinsin90sin 2 2121 0 aPFPFPFPFc 故 故椭圆离心率的最小值为 2 2 45sin 2 1 0 e 2 2 点评 对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系 并利用三角函数的有界性解题 真是柳 暗花明又一村 第二类 求点点 点线 的最值问题第二类 求点点 点线 的最值问题 破解策略之三 建立相关函数并求函数的最值 下面第三类 第四类最值也常用此破解策略之三 建立相关函数并求函数的最值 下面第三类 第四类最值也常用此 法 法 例 3 05 年上海 点 A B 分别是椭圆长轴的左 右端点 点 F 是椭圆的右焦点 1 2036 22 yx 点 P 在椭圆上 且位于轴上方 1 求点 P 的坐标 2 设 M 是椭圆长轴xPFPA AB 上的一点 M 到直线 AP 的距离等于 求椭圆上的点到点 M 的距离的最小值 MBd 分析 解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系 因此本题两点距离可转化成二 次函数的最值问题进行求解 解 1 略 2 直线 AP 的方程是 6 0 设点 M 0 则 M 到直线 AP 的距离是 x3ym 2 6 m 于是 又 6 6 解得 2 设椭圆上的点 到点 M 的距离 2 6 m 6 mmmxyd 222222 549 2 4420 15 992 dxyxxxx 由于 6 6 当 时 d 取得最小值mx 2 9 15 点评 对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数 二次函 数的最值问题求解 破解策略之四 利用椭圆定义合理转化破解策略之四 利用椭圆定义合理转化 y OxF2F1A2 A1 P M 例 4 定长为的线段 AB 的两个端点分别在椭圆上移动 dd b a 2 2 x a y b ab 2 2 2 2 10 求 AB 的中点 M 到椭圆右准线的最短距离 l 解 解 设 F 为椭圆的右焦点 如图作于 A AAl BB 于 B MM 于 M 则ll e d e AB BFAF ee BF e AF BBAA MM 222 1 2 1 2 当且仅当 AB 过焦点 F 时等号成立 故 M 到椭圆右准线的最短距离为 d e2 点评 是椭圆的通径长 是椭圆焦点弦长的最小值 是 AB 过焦点的充要条件 2 2 b a d b a 2 2 通过定义转化避免各种烦琐的运算过程 第三类 求角的最值问题第三类 求角的最值问题 例 5 05 年浙江 如图 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点 F1 F2在 x 轴上 长轴 A1A2的长 为 4 左准线 l 与 x 轴的交点为 M MA1 A1F1 2 1 求椭圆的方程 若直线 l1 x m m 1 P 为 l1上的动点 使 F1PF2最大的点 P 记为 Q 求点 Q 的坐标 并用 m 表示 分析 本题考查解析几何中角的最值问题常采用到角 夹角 公式或三角形中的正弦 余弦 定理 结合 本题的实际 考虑用夹角公式较为妥当 解 过程略 22 1 43 yx II 设 P 当时 0 1m ym 0 0y 12 0FPF 当时 只需求的最大值即可 0 0y 121 0 2 FPFPFM 12 tanFPF 直线的斜率 直线的斜率利用夹角公式得 1 PF 0 1 1 y K m 2 PF 0 2 1 y K m 021 12 22 120 2 tan 11 yKK FPF K Kmy 1 1 12 2 2 0 2 0 mym y 当且仅当 时 最大 最大值为 2 1m 0 y 12 FPF 1 1 arctan 2 m 点评 对于此类最值问题关键是如何将角的最值问题转化成解析几何中的相关知识最值问题 y Q P N M F Ox 一般可用到角 夹角 公式 余弦定理 向量夹角进行转化为求分式函数的值域问题 第四类 求 三角形 四边形等 面积的最值问题第四类 求 三角形 四边形等 面积的最值问题 例 6 05 年全国 II 四点都在椭圆上 为椭圆在轴正半轴上PQMN 2 2 1 2 y x Fy 的焦 点 已知与共线 与共线 且 求四边形的面积的最PF FQ MF FN 0PF MF PMQN 小值和最大值 分析 本题是向量与解析几何的结合 主要是如何选择一个适当的面积计算公式达到简化运 算过程 并结合分类讨论与求最值的思想 解 如图 由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦 相交于焦点 F 0 1 且 PQ MN 直线 PQ NM 中至少有一条存在斜率 不妨设 PQ 的斜率为 又 PQ 过点 F 0 1 故 PQ 的方程为k 1ykx 将此式代入椭圆方程得 2 2 1 0 2 k 2 xkx 设 P Q 两点的坐标分别为 则 1 x 1 y 2 x 2 y 22 12 22 2222 22 kkkk xx kk 从而 22 222 1212 22 8 1 2 k PQxxyy k 亦即 1 当 0 时 MN 的斜率为 2 2 2 2 1 2 k PQ k k 1 k 同上可得 2 2 1 2 2 1 1 1 2 k MN k 故所求四边形的面积 22 22 22 22 11 4 1 1 4 2 1 12 2 2 2 52 kk kk SPQ MN kk kk 令 得u 2 2 1 k k 4 2 1 2 1 5252 u S uu 2 当 1 时 2 S 且 S 是以为自变量的增函数 u 2 2 1 k k ku 16 9 u 16 2 9 S 当 0时 MN为椭圆长轴 MN 2 PQ S PQ MN 2k22 1 2 综合 知四边形PMQN的最大值为 2 最小值为 16 9 点评 对于此类最值问题关键是选择一个适当或合理的面积公式转化成常见函数 反比例 函数形式的最值问题 第五类 求线段之和 或积 的最值问题第五类 求线段之和 或积 的最值问题 破解策略之五 利用垂线段小于等于折线段之和 破解策略之五 利用垂线段小于等于折线段之和 例 7 若椭圆内有一点 为右焦点 椭圆上的点使得1 34 22 yx 1 1PFM 的值最小 则点的坐标为 2 MFMP M A B C D 26 1 3 26 1 3 3 1 2 3 1 2 提示 联系到将用第一定义转化成点到相应准线的距离问题 利用垂线段最 1 2 e 2 MF 短的思想容易得到正确答案 选 思考 将题中的 2 去掉会怎样呢 B 破解策略之六 利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边破解策略之六 利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边 例 8 如图 在直线上任意取一点 经过点且以椭圆的焦点09 yxlMM1 312 22 yx 作椭圆 问当在何处时 所作椭圆的长轴最短 并求出最短长轴为多少 M 分析 要使所作椭圆的长轴最短 当然想到椭圆的定义 基本的解题思路如下 长轴最短 三点一直线寻求对称对称变换 在一系列的变化过程中巧妙的运用对称 使我们找到 一种简明的解题方法 通过此对称性主要利用 1221 FFNFNF 解 椭圆的两焦点分别为 3 0 3 0 1 F 2 F 作关于直线 的对称点 则直线的方程为 1 Fl 1 F 11F F3 yx 由方程组 得的坐标 6 3 9 3 yx yx P 由中点坐标公式得的坐标 9 6 所以直线的方程 1 F 12F F32 yx 解方程组 得点坐标 5 4 由于 9 32 yx yx M562180 2 1 aFF 点评 对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形两边之和大于第三边或两点连线最短 垂线段最短的思想 除了上述几类之外 高考中还有数量积的最值问题 直线斜率 或截距 的最值问题等等 由此可见对于椭圆中的最值问题所涉及范围较广 从中也渗透了求最值的一些常规方法 运用定 P M y O l F1F2 x 1 F N y OxF2F1A2 A1 P M 义 平面几何知识可更有效地将最值问题转化成形的最值问题 椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题 一 求离心率的最值问题一 求离心率的最值问题 1 若为椭圆的长轴两端点 为椭圆上一点 使 BA 0 1 2 2 2 2 ba b y a x Q 0 120 AQB 求此椭圆离心率的最小值 2 已知椭圆 C 两个焦点为 如果曲线 C 上存在一点 Q 使 22 22 1 0 xy ab ab 12 F F 求椭圆离心率的最小值 12 FQF Q 二 求点点 点线 的最值问题二 求点点 点线 的最值问题 3 05 年上海 点 A B 分别是椭圆长轴的左 右端点 点 F 是椭圆的右焦1 2036 22 yx 点 点 P 在椭圆上 且位于轴上方 1 求点 P 的坐标 2 设 M 是椭圆长轴xPFPA AB 上的一点 M 到直线 AP 的距离等于 求椭圆上的点到点 M 的距离的最小值 MBd 4 定长为的线段 AB 的两个端点分别在椭圆dd b a 2 2 上移动 求 AB 的中点 M 到椭圆右准线 x a y b ab 2 2 2 2 10 的最短距离 l 三 求角的最值问题三 求角的最值问题 5 05 年浙江 如图 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点 F1 F2在 x 轴上 长轴 A1A2的 长为 4 左准线 l 与 x 轴的交点为 M MA1 A1F1 2 1 求椭圆的方程 若直线 l1 x m m 1 P 为 l1上的动点 使 F1PF2最大的点 P 记为 Q 求点 Q 的坐标 并用 m 表示 四 求面积的最值问题四 求面积的最值问题 例 6 05 年全国 II 四点都在椭圆上 为椭圆在轴正半轴上PQMN 2 2 1 2 y x Fy 的焦点 已知与共线 与共线 且 求四边形的面积的最小PF FQ MF FN 0PF MF PMQN 值和最大值 五 求线段之和 或积 的最值问题五 求线段之和 或积 的最值问题 7 若椭圆内有一点 为右焦点 椭圆上的点使得1 34 22 yx 1 1PFM 的值最小 则点的坐标为 2 MFMP M A B C D 26 1 3 26 1 3 3 1 2 3 1 2 8 如图 在直线上任意取一点 经过点且以椭圆的焦点作09 yxlMM1 312 22 yx 椭圆 问当在何处时 所作椭圆的长轴最短 并求出最短长轴为多少 M 9 已知点 F 是椭圆的右焦点 M 使这椭圆上的动点 A 2 2 是一个定点 求1 925 22 yx MA MF 的最小值 10 已知定点 A 2 1 F 1 0 是椭圆的一个焦点 P 是椭圆上的点 求1 8 22 y m x PA 3 PF 的最小值 11 椭圆上上一点 P 到两焦点距离之积为 m 则 m 取最大值时 p 点的坐标是1 925 22 yx A B C 或 05 0 5 或 2 33 2 5 2 33 2 5 或 3030 12 求椭圆上的点到直线的最大距离和最小距离 1 1216 22 yx 0122 yxl 13 已知的焦点为 F1 F2 在直线1 59 22 yx 上找一点 M 求以 F1 F2为焦点 通过点 M 且06 yxl 点 M 到两焦点的距离之和最小时的椭圆方程 P M y O l F1F2 x 1 F N o x y F1F2 M F1 运用双曲线模型解题 数学问题 模型化 的主要思想就是构造一种 实物 作为数学问题的元素 把数学问题中 元素间抽象的相互关系解释为这种 实物 间的一种具体关系 于是 抽象的数学问题就有了一 种解释 也就是把这个数学问题建立了一个 数学模型 实践表明 在解题过程中 建立和运 用模型思想 有利于整体性和创造性地处理问题 以下从六个方面就建立和运用双曲线模型解题 作点说明 1 1 解方程解方程 例 1 解方程 420884 22 xxxx 简析与解 简析与解 由两根式差为 4 联想到双曲线的定义 可用双曲线模型解题 原方程即为 4 42 4 2 2 2 22 y yxyx 式可看着动点 P x y 到定点 2 0 与 4 0 的距离之差为 4 由双曲线的定义知动点 P x y 的轨迹是以 2 0 4 0 为焦点 实 虚半轴长分别为 2 的双曲线 5 的右支 将 y2 4 代入解得 x 1 负根舍去 即 x 1 1 5 y 4 1 x 22 5 55 5 55 2 2 解不等式解不等式 例 2 解不等式 sec tan 12 12 简析与解 简析与解 考虑到 sec2 tan2 1 可构成双曲线模型来解题 令 x sec y tan 则原不等式等价于 12yx1 2 1y x 22 令 x y t 问题转化为求使平行直线系 y x t 与等轴双曲线 12t1 2 有交点的一般双曲线弧的范围 在同一坐标系中分别作出双曲线 x2 y2 1 及 y x t 的图象 知 1 x 1 y 1 2 原不等式的解集为 2k 2k k z 4 4 3 3 求值域求值域 例 3 求函数 t x 的值域 22x x 2 简析与解 简析与解 因为 y 的图象就是双曲线 22x x 2 y x 1 1 的上支 所以此题也可构造双曲线模型来解 将原函数变形为 t x 22x x 2 令 y t x 则问题转化 22x x 2 为求直线l y t x 与曲线 C y 有交点 22x x 2 的 t 的取值范围 而曲线 C 就是双曲线 y2 x2 1 1 的上支 在同一坐标系中作出曲线 C 及直线 l 的图象 知 t 1 原 函数的值域为 t t 1 4 4 确定字母的取值范围确定字母的取值范围 例 4 已知 a 0 且 a 1 试求使方程 loga x ak x2 a2 有解的 k 的取值范围 2 loga 简析与解 简析与解 原方程等价于 x ak 0 22 ax 联想到 y 的图象是双曲线 x2 y2 a2在 x 轴上 22 ax 方 的部分 于是可考虑用双曲本模型来解题 令 y x ka 原题转化为平行直线系 y x ak 与等轴 22 ax 双 曲线 x2 y2 a2在 x 轴上方有交点的条件 在同一坐标系中作出双曲线 x2 y2 a2与直线 y x ak 在 x 轴上方的部分图象 它们有交点的条件是 ak a 或 a ak 0 k 1 或 0 k 1 5 5 求轨迹求轨迹 设 x y R i i j j 为直角坐标平面内 x y 轴正方向上的单位向量 向量 a a xi i y 5 j j b b xi y 5 j j 且 a a b b 6 求点 M x y 的轨迹方程 简析与解 简析与解 由 a a b b 6 即 a a b b 6 而联想到双曲线的定义 可构造双曲线模型解题 M x y 到定点 F1 0 5 F2 0 5 的距离分别等于 a a b b 且 a a b b 6 F1F2 点 M x y 的轨迹是以 F1 F2为焦点的双曲线的上支 故所求轨迹方程 为 y 3 6 6 解应用题 解应用题 1 169 22 xy 如图 A 村在 B 地的东北方向上 且离 B 地相距 6km C 村在 B 村的正东方向 且与 B 地 2 相距 4Km 已知公路 PQ 上任一点到 B C 两地距离之差都为 2Km 现要在公路旁建造一个变电房 M 变电房可视为建在公路上 分别向 A 村 C 村送电 但 A 村有一村办工厂 且电须用专用线 路 因此向 A 村要架两条线路分别给村民和工厂送电 要使所用电线最短 变电房应建在 A 村的 什么方向 并求出 M 到 A 村的距离 简析与解 简析与解 MB MC 2 BC M 在以 B C为焦点的双曲线上 以直线 BC 为 x 轴 BC 为垂直平分线为 y 轴 建立直 角坐标 B 2 0 C 2 0 A 4 6 M 点的轨迹方程为 e 1 31 22 yx 2 a c 右准线l的方程为 x 2 1 2 c a 过 M 作 MN l 于 N 则 MC 2 MN 依题意求 2 MA MC 的最小值 即求 2 MA MN 的最小值 由平几知识可知 当 M A N 共线时 MA MN 最小 M 6 AM 4 1313 即变电房应建在 A 村的正西方向且距 A 村 4 km 处 13 一个椭圆问题的六种解法 直线与圆锥曲线有公共点问题 通常采用判别式法去解决 然而在求解线段与圆锥曲线有公 共点问题时 判别式法已不能用 所以觉得无从下手 下面对一道例题进行多角度 新视角 全 方位地探究 以透视这类问题的求解规律 例 已知定点 A 1 1 B 2 3 椭圆 C 与线段 AB 有公共点 求x y aa 2 2 2 2 0 的取值范围 a 解法解法 1 区域法区域法 如图所示 根据 A 1 1 B 2 3 的坐标的特点以及椭圆的中心在原点 可知线段 AB 与椭圆 C 有公共点的充要条件是 且 1 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 a a a 0 解得 6 2 34 2 a 所以 当时 线段 AB 与椭圆有公 6 2 34 2 a 共点 y B A O x 解法解法 2 代入法代入法 由题意知 线段 AB 的方程为 线段 AB 与椭圆 C 有公共点 yxx 2112 等价于方程组 在上有实数解 从方程组中消去得 yx x y a 21 2 2 2 2 x 12 y 分离参数得 即有64120 22 xxa axx 22 3 1 3 1 6 12 又 所以 3 2 17 2 2 aa 0 6 2 34 2 a 解法解法 3 定比分点法定比分点法 设椭圆 C 与线段 AB 的交点为 M M 分有向线段的比为 则 由定比分点坐标AB 0 公式知 将点 M 的坐标代入椭圆方程得 M 12 1 13 1 172144320 2222 aaa 解得 又 所以 3 2 17 2 2 aa 0 6 2 34 2 a 解法解法 4 向量法向量法 设椭圆 C 与线段 AB 的交点为 则由平面向量共线的充要条件知M xy 又因为交点一定在第一象限 所以 所以AMMB 0M xy yax 2 22 xaxxax 121232 2222 所以 又 所以 2132 2222 axax 0123 22 ax 又因为 所以 12 x 6 2 34 2 a 解法解法 5 参数法参数法 线段 AB 的参数方程为 xt yt t 2 5 5 3 2 5 5 50 将其代入椭圆方程并整理得 6 5 4 51720 22 tta 由参数的几何意义知 要使线段与椭圆有公共点 等价于方程t 在上有一解 又因为线段 BA 的延长线与椭圆的交点 6 5 4 51720 22 tta 50 对应的参数也是负的 故必有t fa fa 01720 5230 2 2 解得 又 所以 3 2 17 2 2 aa 0 6 2 34 2 a 解法解法 6 距离法距离法 由题意知 线段 AB 的方程为 设椭圆 C 与线段 AB 的交点为 M 则yxx 2112 点 M 到线段 AB 的距离为 0 由点到直线的距离的公式即可解得 数学竞赛中的椭圆问题数学竞赛中的椭圆问题 例 1 2000 年全国高中数学联赛 在椭圆 a b 0 中 记左焦点为 F 右顶点1 2 2 2 2 b y a x 为 A 短轴上方的端点为 B 若该椭圆的离心率是 则 ABF 2 15 分析 的三边可用 来表示 再用余弦ABF abc 定理或勾股定理来求角 解 由得 即 如 2 15 a c 0 22 aacc 22 caac 图 1 有 而 2222 2 2cabaAB 2 2 aBF 2 2 caAF 易见 故 ABF 90 2222 32cacaca 222 BFABAF 评注 本题着眼于考查椭圆的基本量在图中的表示 例 2 1997 年全国高中数学联赛 在平面直角坐标系中 若方程 12 22 yyxm 表示的曲线为椭圆 则 m 的取值范围为 2 32 yx A 0 1 B 1 C 0 5 D 5 分析 如果把表达式配方成椭圆标准式 由于含有项 需要对坐标轴进行旋转 而利用xy 第二定义可以直接解决这一问题 OAF B x y 图 1 解 由可得 也即 12 22 yyxm 2 32 yx32 1 22 yxyxm 此式表示的是点到定点的距离与到定直线的距离 myx yx 5 2 1 32 1 22 22 yx 1 0 032 yx 之比为 由第二定义及椭圆的离心率范围得 即 m 5 1 5 0 m 5 m 例 3 第 12 届希望杯高二试题 设是椭圆的两个焦点 若椭圆上存在点 P 使 21 F F 则椭圆离心率的取值范围是 120 21 PFF 分析 可先利用余弦定理和均值不等式判定 P 点位于短 轴顶点 B 时最大 于是 21PF F 120 21 BFF 解 设椭圆的半长轴 半短轴 半焦距分别为 abc 如图 2 在中 即 这时 又椭OBFRt 1 60 1 BOF 30 1 OBF 2 3 cos 1 1 1 a c BF OF OBF 圆离心率小于 1 故所求的范围是 1 2 3 例 4 2002 年