2007年第4届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第四届中国东南地区数学奥林匹克第四届中国东南地区数学奥林匹克 第一天第一天 2007 年 7 月 27 日 8 00 12 00 浙江 镇海 一 试求实数 a 的个数 使得对于每个 a 关于 x 的三次方程都 3 1xaxa 有满足的偶数根 1000 x 二 如图 设 C D 是以 O 为圆心 AB 为 直径的半圆上的任意两点 过点 B 作 的切线交直线 CD 交于 P 直线 POO 与直线 CA AD 分别交于点 E F 证 明 OE OF 三 设 试求 min i i akkN k 的值 其中 22 12 nn Saaa 表示不超过 x 的最大整数 2 nx 四 求最小的正整数 n 使得对于满足条件的任一具有 n 项的正 1 2007 n i i a 整数数列 其中必有连续的若干项之和等于 30 12 n aaa 第第 二二 天天 2007 年 7 月 28 日 8 00 12 00 浙江 镇海 五 设函数满足 且当时有 f x 121f xf xx xR 0 1x 证明 当时 有 1f x xR 2 2f xx 六 如图 直角三角形 ABC 中 D 是斜边 AB 的中点 MD 交 AC 于 N MCMBAB 的延长线交 AB 于 E 证明 DBNBCE 七 试求满足下列条件的三元数组 a b c i a b c 100 a b c 为质数 ii a 1 b 1 c 1 组成等比数列 八 设正实数 a b c 满足 abc 1 求证 对 于整数 有2k N C A E M B D E F D B A O P C 3 2 kkk abc abbcca 答案答案 一 令 n 为整数 且 即 所以至多取 0 2xn 2 1000n 499n 个数 即 将代入24991999 499 498 0 1 499 n 0 2xn 原方程得 记 对任意的 3 81 21 n a n 3 81 21 n f n n 当 时 若 设 12 499 498 0 1 499 n n 12 nn 12 n nZ 12 f nf n 12 12 22 xx nn 其中是关于 x 的方程的两个根 设另一根为 由 12 x x 3 10 xaxa 3 x 根与系数的关系 312 12233 1 123 1 xxx x xx xx xa x x xa 即 其中 1 2 4 81 Na Na 22 1121221212 Nnnn nNn n nn 即 矛盾 12 481NN 所以 对于不同的 都有 12 499 498 0 1 499 n n 12 f nf n 于是满足条件的实数 a 恰有 999 个 另解 对任意 x 为偶数 的取值都各不相同 998x 3 1 1 x a x 反证 若存在 使得 其中为偶数 则 12 xx 33 12 12 11 11 xx xx 12 x x 2222 1212121212 1 0 xxx xx xxxx x 由于 则 又因为为偶数 所 12 xx 12 0 xx 2222 12121212 x xx xxxx x 以 矛盾 因此满足条件的 a 2222 1212121212 1 0 xxx xx xxxx x 共有 999 个 二 如图 作于 M 作 MN AD OMCD 设 连 MNBAN CNDAK BC BM 则 NBCADCNMC 因此 N B M C 共圆 又由 O B P M 共圆 得 180OPMOBMMCN 所以 CN OP 于是 K N M E F D B AO P C 1 CNANNK OEAOOF 因 M 为 CD 的中点 MN DK 则 N 为 CK 的中点 故由 1 得 OEOF 另证 如图 过 O 作于 连结OMCD M BC BM BD BE 因为 OMCD 所以 O B P M 四点共圆 于PBAB 是 BMPBOPAOE 所以 EAOBDM OAEMDB 从而 AEAOAB BDDMCD BAECDB 所以 AD BE EBABCDBAD 即 OE OF 1 OEOB OFOA 三 设 则 11 1 11 min i ii akkNk kk 1 kN 即数列严格单增 111 11 1 ii ii akka kk n a 由于 当 k m 时取得等号 故 2 2 m km k 2 2 m ammN 又当 k m m 1 时 而在或时 1 21 m m km k km 1km 即 亦即 10kmkm 2 2110kmkm m 所以 再由数列的单调性 当 1 21 m m km k 2 21 mm am n a 时 所以 2 2 1mmim 2121 i mam 22 2 2 2 21 1 i mmimm a mmmim 因此 于是 2 2 2 2 2211431 mm i i m am mmmmm M E F D B O A P C 2 1 2 1 32 4312 1 211 4312 62 83136 6 n n m Smmn n nnn n nn nnn 四 首先 我们可以构造一个具有 1017 项的整数数列 使其中 121017 a aa 不存在和为 30 的连续项 为此 取 以及 122930 1 31aaaa 即 为 30 1 2 30 m ii aaimN k a 1 1 1 31 1 1 1 31 1 1 1 31 1 1 1 31 1 1 1 共有 34 段 前 33 段中每段各有 30 个项 最后一段有 27 个项 共计 1017 个项 其次 当项数少于 1017 时 只须将某些段中连续的若干个 数合并成较大的数即可 对于满足条件的任一个具有 1018 项的正整数数列 1018 1 2007 i i a 我们来证明 其中必有连续的若干项之和等于 30 为此 121018 a aa 记 则 今考虑集 1 1 2 1018 k ki i Sak 121018 12007SSS 中元素的分组 1 2 2007 1 31 2 32 30 60 61 91 62 92 90 120 121 151 122 152 150 180 601 6031 602 6032 6030 60 1 60 321 60 3231 60 322 60 3232 60 3230 60 33 198 kkkkkk 11982 2007 其中有 33 30 990 个括号以及 27 个未加括号的数 从中任取 1018 个数 作为的取值 必有两数取自同一括号 设为 则 k S kk m S S 即该数列中 因此 n 的最小值为30 k mk SS 12 30 kkk m aaa 1018 五 令 则 2 g xf xx 2 2 1110g xg xf xf xxx 所以是 R 上以 1 为周期的周期函数 又由条件当时有 g x 0 1x 可得 当时 所 1f x 0 1x 22 2g xf xxf xx 以周期函数在 R 上有 据此知 在 R 上 g x 2g x 222 2f xg xxg xxx 六 如图 延长 ME 交的外接圆于 F 延ABC 长 MD 交 AF 于 K 作 CG MK 交 AF 于 G 交 AB 于 P 作于 H 则 H 为DHCF CF 的中点 连 HB HP 则 D H B M 共圆 故 于是HBDHMDHCP H B C P 共圆 所以 故 PH AF 即PHCABCAFC PH 为的中位线 P 是 CG 的中点 CFG 则 AP 为的边 CG 上的中线 又因ACG NK CG 故 D 是 NK 的中点 即线段 AB 与 NK 互相平分 所以 而DBNDAK 即有DAKBAFBCFBCE DBNBCE 七 据条件 2 111 1 acb 设 其中 x y 不含大于 1 的平方因子 则必有 22 1 1an xcm y x y 这是由于 据 1 22 1 2 mnxyb 则 设 于是 2 化为 1mn b 1bmn w 2 3 xyw 若 则有质数 即 因 x y 皆不含大于 1 的平方因子 1w 1 p w 22 1 p w 因此 设 则 3 化为 1 p x 1 p y 1 11111 xp xyp ywp w 2 111 4 x yw 若仍有 则又有质数 即 因皆不含大于 1 的平方 1 1w 21 p w 22 21 p w 11 x y 因子 则 设 则 4 化为 2 1 p x 2 1 p y 122122122 xp xyp ywp w 2 222 x yw 如此下去 因 3 式中 w 的质因子个数有限 故有 r 使 1 r w 而从得 从而 改记 x y k 则有 2 rrr x yw 1 rr xy 12r xp ppy 2 2 1 1 5 1 akn bkmn ckm 其中 G K H P F N C A E M B D 1 100 6 nm abc k 无大于 的平方因子 并且 否则若 k 1 则 因 c 大于 1 1k 2 1cm 第三个质数 5 即 得为合 2 15cm 3m 2 111cmmm 数 矛盾 因此 k 或为质数 或为若干个互异质数之乘积 即 k 大于 1 且无大于 1 的平方因子 我们将其简称为 k 具有性质 p i 据 6 2m 当 m 2 则 n 1 有 因 c 100 得 k3 得 c 为合数 1 mod3k 3 c 若 2 mod3k 在 k 为偶数时 具有性质 p 的 k 有 2 14 分别给出 不为质数 21 1 2 14127ab k 为奇数时 具有性质 p 的 k 值有 5 11 17 23 分别给 出的皆不为质数 1ak 若 具有性质 p 的 k 值有 3 6 15 21 0 mod3k 当 k 3 时 给出解 1 2 5 11fa b c 当 k 6 时 给出解 2 5 11 23fa b c 当 k 15 21 时 分别给出的皆不为质数 1ak 若 m 3 则 n 2 或 1 在 m 3 n 2 时 因质数 得 具有 41 61 91 ak bk ck 97c 10k 性质 p 的 k 值有 2 3 5 6 7 10 在 k 为奇数 3 5 7 时 给出皆为合数 91ck 在 k 6 时 给出为合数 6135bk 在 k 10 时 给出为合数 4139ak 在 k 2 时 给出解 3 7 11 17fa b c 在 m 3 n 1 时 具有性质 p 的 k 值有 41 61 91 ak bk ck 10k 2 3 5 6 7 10 在 k 为奇数 3 5 7 时 给出的皆为合数 31bk 在 k 2 和 10 时 给出的不为质数 1ak 在 k 6 时 给出解 4 5 17 53fa b c ii m 4 时 由得 具有性质 p 的 k 值有16197ck 6k 2 3 5 6 在 k 6 时 为合数 166195c 在 k 5 时 因 则 n 可取 1 2 3 分别得 2 51 201 an bn 4nm 到 a b 至少一个不为质数 在 k 3 时 因 48 147c 2 31 121 an bn 4nm 在 n 3 时给出的 a b 为合数 在 n 2 时给出解 5 11 23 47fa b c 在 n 1 时给出解 6 2 11 47fa b c 在 k 2 时 只有在 n 3 时16131ck 2 21 81 an bn 4nm 给出解 7 17 23 31fa b c iii m 5 时 具有性质 p 的 k 值有 2 3 分别给出25197ck 为合数 251ck iv m 6 时 具有性质 p 的 k 值只有 2 因此可以得到36197ck 这时 只有在 n 2 时给出2 36171c 2 21 121 an bn 6nm 解 在 n 4 时给出解 8 7 23 71fa b c 9 31 47 71fa b c v m 7 时 具有性质 p 的 k 值只有 2 得49197ck 而 只有在 n 3 时给出解249197c 7nm 2 21 141 an bn 在 n 6 时给出解 10 17 41 97fa b c 11 7