热学(秦允豪编)习题解答第四章-热力学第一定律

普通物理学教程普通物理学教程 热学热学 秦允豪编 秦允豪编 习题习题解答解答 第四章第四章 热力学第一定律热力学第一定律 4 2 1 解 2 1 V V PdVW CT 1 RTbvP bv RT P bv bv dv bv RT W i f v v f i ln 2 v B RTPv1 v B RTP1 ifi f v v vv BRT v v RTdv v B RTW f i 11 ln1 4 2 2 应用 4 3 式 2 1 V V PdVW 且 kPiVPV i VVPP ii 故有 f i f v v ii V Vi ii VVPdVVVPW 1 1 1 iiff ifii VPVP VVVP 1 1 1 1 11 应用了 ffii VPVP 4 4 2 1 2 v a bv RT P dv v a dv bv RT PdvW 2 a VVbV bV RT 121 2 11 ln 2 d v a cTu 2 当 CV 时 VV V dt du dT dQ C CCV TCCdTQ T T 2 1 4 4 3 水蒸气的凝结热即为定压状况下单位质量物质相变时吸收 或释放 的热量 在等 压下此值即为比焓变化 即 kJh m H lV 4 244459 100 0 2545 系统放热 4 4 4 铜升温过程 是等压过程 2 1 2 1 2 1 2 2 1 T T T T T T PP bTaTdTbTadTCQH 2 1 2 212 2 TT b TTa 1 224 47107 2 300120092 5 2 1 3001200103 2 molJ 4 4 5 1 5 461908468 2 3 8669 2 1 29154 2 3 2 1 223 molJhhhQ HNNHP 4 4 6 在定压情况下 2 1molH 和 2 2 1 molO 化合生成mol 1 水时吸收的热量为 15 10858 2 molJHQ 系统放热 QQ 每产生一个水分子有两个电子自阴极到阳极 生成mol 1 水有A N2 电子到阳极 总电量为 Cq 2319 1002 61060 1 2 eNq A 2 两极间电压为 qA 84 82 10858 2 1002 6 1060 1 2229 1 5 2319 Q A 4 4 7 设mol 1 固体状态方程为 bPaTvv 0 内能表示为 aPTCTu 0 vCba 均为常数 求 1 hmol 2 VP CmolC 解 1 由摩尔焓定义 bPaTvPaPTCTPvuh 0 2 0 bPPvCTh 2 a P P T H C P P T h C P P T h C CPbPPvCT T CP 2 0 b V V T u C aTvv b P 0 1 TaTvv b a CTu 0 T b a v b a v b a CaTvvTa b a C T u C V V 2 00 2 或 aPT b a CbPTa b a C 2 4 4 8 因缓慢加热 可认为气体吸热膨胀是一个等压过程 质量为m的气体吸热 dTmCdQ P 1 由 RT m PV RT PV m 2 1 2 ln 2 1T T C R PV T dT C R PV Q P T T P J 33 53 10 7 24 273 293 ln1099 0 31 8 11001 1 1029 4 5 1 1 导热板固定 A 中气体为等容加热 B 中气体为定压膨胀 且为准静态的 搁 板导热 TTT BA TCCTCTCQ VPAVBP K R Q RR Q CC Q T VP 71 6 31 8 6 4 334 6 2 5 2 7 JTRTCQ VA 4 13971 6 31 8 2 5 2 5 JQQQ AB 195 4 139 4 334 2 隔板活动 A 气体等压膨胀 隔板绝热 B 中气体温度不变 0 B Q 0 B T TCQQ PA K R Q C Q T P 50 11 31 8 7 4 3342 7 2 4 5 2 利用 dz RT g dp 证明 1 0 0 1 TC gh PP P 证明 1 由绝热过程方程 CPT 1 1 0 0 P P TT 1 2 将 1 代入dP表达中 dZ P P RT g PdP 1 0 0 dzP RT g P dP P1 0 0 1 hP P dzP RT g dPP 0 0 0 1 1 0 hP RT g P P P 1 0 0 1 1 0 1 1 1 hP RT g PP 1 0 0 1 0 1 1 h RT g P P 0 1 0 1 1 2 3 注意到 RCP 1 即 R CP 1 3 3 代入 2 0 1 0 1 TC gh P P P 1 0 0 1 TC gh PP P DIS 将 2 式整理 代 3 进可得 1 0 0 1 P P g TC h P 4 5 3 理想气体按 P a V 0 膨胀 证明TV a CC V 2 0 证明 1 将 P a V 0 整理得 2 0 2 aPV 多方指数 2 n 2 11221122 1 1 VPVPTCVPVP n TCAuQ VV TR M CTR M TC VV 3 TV a C TV PV C T PV CR M C T Q C VVVV 2 0 2 NOT VV C M C V C 为热容量 V C 为摩尔热容量 4 5 4 注意到 P M PVRT C 4 67 1 000 11 11 u RT u RT uTCu V Const C u 1 2 2 000 11 11 H RT HT R HTCh P Const C h 1 2 4 5 5 1 右则初态 000 TVP 终态 222 TVP 由绝热过程方程 1 0 2 0 2 P P T T 1 1 1 0 2 002 P P TCTTCuA VV右 00 3 1 0 1 0 2 1 8 27 1 8 27 RTTCTCCT VVV R R CV2 1 5 1 2 由 1 式 0 3 1 02 3 2 8 27 TTT 3 左侧初态亦为 000 VTP 终态为 111 TVP 活塞可移动 021 8 27 PPP 由 RTPV 0 0 0 0 00 2 2 0 00 2 2 2 9 4 8 27 2 3 V P T T VP P T T VP P RT V 0201 9 14 2VVVV 00 00 00 0 00 11 1 4 21 9 14 8 27 TT VP VP T VP VP T 4 由第 1 所求 左侧对右侧作功 0 2 1 TCA V 001 2 1 TCTTCAuQ VV 右 00001 2 19 4 19 2 1 4 21 RTTCTCTTC VVV 4 5 6 过程很迅速 可认为是绝热的 由 CTV 1 1 2 1 1 2 V V T T 3 3 4 rV mr T T rr696 4 4615 103 103 14 13 1 2 5 1 13 1 2 1 12 DIS 该题估算的结果与r的取值相关性太大 1 上面的运算取 mr696 4 1 2 但当 4 1 2 5 2 7 R R C C V P 对应双原子 常温情况 显然与题意不合 2 若为双原子 取高温 286 1 7 9 2 5 2 9 R R 则 mrr3232 1 7 9 3 1 102 21 3 由此 按绝热膨胀模型对 火球 半径的估算无实在意义 4 5 7 该题描述测 方法是 1929 年 Riichhardt 设计的 简易描述为如图 令平衡位置 0 y y向下为正 1 0 y 处 活塞受合力为零 0 0 PAmgAP mgAPPA 0 1 活塞偏离 0 y 处 受合力不为零 当活塞运动至 0 y 之下时 气体被压缩 可认为绝热的 气体压力变为 AP 1 且 PP 1 VyAV 故 dVV P 可记为dP 有 dPPP 1 活塞受合力 AdPAdPPPAAPmgAPF 10 负号表合力方向与y反向 指向平衡位置 0 y 气缸内气体变化过程可视为绝热过程 满足 CPV 微分得 0 1 dPVdVPV 0 VdPPdV 因 AydV 上式化为 y V PA dV V P dP 因此得 y V PA AdPF 2 2 2 式满足 kyF 准弹性力 活塞作简谐振动 2 活塞活动的微分方程为 kyF dt yd m 2 2 m k 2 22 2 PA mV k m T 3 3 将 3 式改写为 2 0 0 22 22 2 44 AP mV PTA mV 4 5 8 1 如图 水银总长度为h 0 y 处两 边水银等高 为平衡位置 总质量为m 截面为 A 水银密度Ah m 左管水银柱下y 则高差为 y2 yAV2 压强差为 ygP2 指向 0 y 处的回复力 kyy h mg ygA Ah m ygAPAF 2 22 F 是准弹性力 水银柱将作谐振动 水银柱运动的微分方程为 kyF dt yd m 2 2 m k 1 g h k m T 2 22 2 1 DIS 考虑水银柱 与地球系统的机械 能守恒 得运动方 程亦可求解 中图为振动初态 全部水银静止 质 量为 maxm 上升 max y 具有 maxmaxgy m 的 势能 右为振动任意状态 全部水银以v运动 具有 2 2 1 mv 动能 m为全部水银质量 m 部分上升y 具有 mgy 的势能 由机械能守恒 maxmax 2 2 1 gymmvmgy gSm hSm Sym maxmax y dt dy v 以上五式得 ConstSgyyyhSySgy maxmax 2 2 1 Constyhgy 22 2 1 02 yyhygy 0 2 y h g y g h T 2 2 2 1 2 水银柱振荡时 右端被封闭气柱经历绝热过程 设水银柱平衡时 右端气柱长 L 左 端水银上升任意位置y时 右端气柱长度为 yL 由绝热过程 LSPSyLPy 0 其中 00 ghP 可改写为 00 1 P yL L PPy 对微小振动 Ly gy L h P L y P L y P L y PPy 0 0000 1111 由功能关系 P Agymmvgym maxmax 2 2 1 式中P A 是由于右端空气压强 y P 与左端空气压强 0 P 对水银柱作功之和 且 y yP SdyPPA 0 0 或 SdyPPdA yP0 将上述功能关系改写为 P ASgyyyhSySgy maxmax 2 2 1 对t求导 将P dA 代入 ySPP dt dA yyShySgy y P 0 2 把 0 PPy 结果代入 gy L h PPyhgy y 0 0 2 或 02 1 0 yg L h g h y 上式为右端封闭后 绝热条件下 水银柱作微小振动的运动方程 故水银柱作谐振动 g L h g h 02 2 1 L gh g h T 0 2 2 2 2 3 由 T1和 T2得 L h g L h g h g h T T 2 1 2 2 0 0 2 2 1 1 2 2 2 1 0 T T h L 4 5 9 1 氮为双原子气体 RCV 2 5 经历了多方过程 RCn2 即 R n R CC Vn 2 1 R n R R2 12 5 12 n RR 3 n 故该过程满足的方程为 CPV n CPV 3 2 由过程方程 0 3 0 3 00 644PVVPVP 64 0 P P 2 0 2 0 3 00 3 1 16 1 2 1 VV VP V dV CPdVA JVP106415 27331 8 32 15 16 15 2 1 00 负号表对外作功 000 0 1122 4 642 5 2 5 VPV P VPVPRTC M u V 00000 00 32 155 15 32 5 162 5 RTVPVP VP J532015 27331 8 32 155 内能减少 112212 22VPVPTTR M TC M Q n JRTVP VP 425615 27331 8 8 15 8 15 16 2 000 00 系统放热 DIS JAQu532010644256 故不必每一个量都求解 4 5 10 1 CPV n n V V P P 1 2 2 1 2 112212 2 5 2 5 VPVPTTR M TC M u V 225353 103 21005 2 2 5 100 1103 2105 0101 4 2 5 J 5 62 内能降低 3 TC M Q n 其中 R R R n R CC Vn 2 5 12 12 5 1 JVPVPTTR M 5 62 2 5 2 5 112212 4 AQu JQuA1255 625 62 4 5 11 一定量理想气体 经历 bVaP a b为常数 的过程方程 求C 解 1 bVaP bdVdP 1 对一mol气体 RTPV RdTVdPPdV 2 由 2 式代入 1 RdTbVdVPdV RdTdVbVP 或VbP RdT dV aP RPdT bVbVaP RPdT VbP RPdT PdV 22 3 2 由热力学第一定律微分表达式 dAdQdu 对一mol气体 PdVdTCdTC nV dTCdQ n 为多方过程 将 3 式代入 dT aP RP CPdVdTCdTC VVn 2 故 aP RP CC Vn 2 4 3 由 4 式 PfCC Vn 该过程热容量不是常数 2 119 1 3 2 1 4 ln 05 0 10 0 ln ln ln 1 2 2 1 V V P P n 4 5 12 理想气体mol热容为T a CCm 0 求准静态过程方程 解 由热力学第一定律微分表达式 dAdQdu dTCdTCPdV Vm dTCCPdV mV 1 由 RTPV V RT P T a CCm 0 代入 1 dT T a dT T CC dT T T a CC V dV R V V 2 0 0 2 2 两边积分 T a TCCVR V lnln 0 T a TV CCR V 0 lnln T a T V CC R V 0 ln T a CC R e T V V 0 即 ConstVTe RCC T a V 0 4 6 1 1 如图一 等温线1 T 与绝热线交于 aa VPa 由 CPV 0 VdPPdV V P V P T 由 CPV 0 V dV P dP V P V P S 将上述两式代入a的参数 依题意 714 0 a a a a V P V P 4 1 714 0 1 R RR CV 2 5 4 01 2 将TP 图转化为 VP 图 二 该循环过程的功 342312 AAAA 0 12 A 11121123 22RTRTRTVVPA 2ln 2 lnln 1 1 1 1 1 2 134 RT P P RT V V RTA 02ln12ln 111 RTRTRTA 该循环为正 循环 对外 系统作净功 3 12311 QQQ 2lnln 1 1 2 131 RT V V RTQ 11112 2 5 2RTTTCQ V 2ln25 2ln12 2 5 2ln 2ln1 11 1 1 RTRT RT Q A 4 6 2 1 JRA3141010114 3 352 0 系统对外作功 2 3535 101102103102 2 3 3 aaCCACV VPVPTTCu J60010104 2 3 35 3 ABCACABC AuQ JSRA ACABC 5571021013157 2 1 53 31 2 JQABC1157557600 4 循环过程为 VP 图上的园 过程方程为 122 2 0 2 0 V V P P 其中 33 0 2 0 10 5mVmNP 为标度 若改变P V 轴标度 循环过程为椭园 其过程为 1 22 2 0 2 0 2 0 2 0 V VV P PP 吸热和放热的转折点是绝热曲线与循环曲线的切点 如图 交 切 点处斜率应满足 绝热循环 dV dP dV dP 令 0 V V x 0 P P y 则 绝热曲线 循环曲线 绝循 Constyx xy dx dy dx dy 122 22 由此得 x y y x 2 2 3 5 2 3 2 5 R R C C V P 转折点在循环曲线上 故其坐标 yx 应满足的二元二次方程组为 122 02523 22 yx yyxx 该方程组的两个解 即为两转折点 M N 的坐标 4 6 3 ac 过程方程 2 2 0 0 V V P P 可改写为 Const V P PV 2 0 02 故 ac 过程为多方过程 其多方指数 2 n 1 abVba TTCQ 且 a b T T P P 0 0 9 ab TT9 000 129 2 3 RTTTRQ ba bcPcb TTCQ 且 CPV 2 C P RT P 2 3 0 2 3 0 2 0 9 P T P T c 0 27TTc 000 45927 2 5 RTTTRQ cb canca TTCQ R R R n R CC Vn 6 11 32 3 1 000 7 4727 6 11 RTTTRacQ 2 3 16 57 7 47 1 4512 7 47 111 00 0 1 2 RTRT RT QQ Q Q Q cbba ac 4 6 4 解 1 由图可知 两个循环绝热线相同 则 22 QQ 4 3 2 22 ln V V RTQQ 1234 1 2 21 1 T T QA A Q A 4 3 12 1 2 2 1 1 T T QA A Q A 注意到 22 QQ 由上两式得 KT A A TTT473273 800 106 1 273373 3 221 1 2 3 42 473 273 11 1 2 T T 4 7 1 解 设锅炉 地下水 暖水系统温度分别为1 T 2 T 3 T 如图为热机 和制冷 机 组合而成的动力暖气装置示意图 KT483210273 1 KT28815273 2 KT33360273 3 热机的效率 1 3 1 1 T T Q A 1 1 3 1Q T T A 制冷机的制冷系数 23 22 TT T A Q A TT T Q 23 2 2 则暖气系统所得的热量为 212143 QQQAAQQQQ 1 1 3 23 2 1 23 2 1 1Q T T TT T QA TT T Q 1 3 23 2 1 11 T T TT T Q 483 333 1 288333 288 111 1 3 23 2 H T T TT T H HHH3986 11 483 150 45 288 1 4 7 2 1 其中 PA 21 22 TT T A Q 2 如图所示 夏天空调制冷时为逆向卡诺循环 无论连续工作还是间断工作 其作功 装置提供的平均功率统记为P 显然连续工作时 0 PP 极大 间