相似三角形的判定-共边共角型与嵌入型-学生-郭亚琦-数学

源于名校 成就所托源于名校 成就所托 1 相似三角形的判定相似三角形的判定 知识精要知识精要 判定三角形相似的方法有 预备定理 三个判定定理 斜边 直角边定理 其中使用频 率最高的是 两角对应相等 两三角形相似 和 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相 似 所有的判定方法只需证明两点 一是角相等 另一个是边成比例 证明 角相等 应特 别注意 1 特殊角 如直角 2 特殊关系 如公共角 对顶角 等腰三角形的两底角 等角的余角 等角的补角等 根据图形的结构 可将判定三角形相似的方法概括为三种基本类型 共角共边型 嵌入 型 旋转翻折型 类型一 共角共边型类型一 共角共边型 共角共边型 是指有一个角为公共角或对顶角的两个三角形 只要再证明一个角相等 或者证明夹公共角 对顶角 的两边对应成比例就能证明两个三角形相似 共以下四种基本 图形 图中的 ABC 和 ADE 有一个公共角或一组对顶角 又有一组对应角相等或两条夹边 对应成比例 例题精解例题精解 例例 1 如图 ABC 中 D E 分别在 AC AB 上 且 ABD ACE 联结 DE 求证 ADE ABC 源于名校 成就所托源于名校 成就所托 2 点评 1 若将题中条件 ABD ACE 变为 BD AC CE AB 则结论 2 证明过程中比例式既是由 ABD ACE 得到的结论 又是判定 AC AE AB AD ADE ABC 的条件 也就是说 证明第一对三角形相似得到的结果 角相等或边成比例 作为条件马上用于证明第二对三角形相似 这是证明三角形相似常用的方法 引申 1 若设 BD CE 的交点为 F 则还可以证明 和 可得到 4 对相似三角形 2 若条件 ABD ACE 变为 BD AC CE AB 即使 BD CE 成为 ABC 的高 则共可得到 8 对相似三角形 举一反三 1 如图 D 是 Rt ABC 斜边 AB 上的中点 过 D 作 DF AB 交 BC 于 E 交 A 的延 长线于点 F 求证 DC2 DE DF 2 如图 平行四边形 ABCD 中 点 E 在 BC 上 AE 交 BD 于 F 已知 BE2 EF AE 求证 DC2 BF BD 源于名校 成就所托源于名校 成就所托 3 3 如图 等边三角形 ABC 中 D E 分别在 BC AB 上 且 EBAEDCBD 2 1 2 1 AD 交 CE 于 F 求证 AD DF 2 9 4 AB 点评 等腰三角形和等边三角形中相等的角为相似三角形准备了 天然 的条件 本题 整个图形呈旋转对称造就了诸多的边角相等关系和线段成比例关系 类型二 嵌入型类型二 嵌入型 嵌入型 是指一个角镶嵌在一个三角形或四边形的内部 这个角的顶点与三角形的顶 点重合 或者这个角的顶点在三角形或四边形的一条边上 而这个角的两条边分别与三角形 或四边形的两条边相交 例例 1 如图 ABC 中 BAC 90 AB AC 点 D E 在边 BC 上 DAE 45 1 写出图中的相似三角形 2 求证 AB2 BE DC 源于名校 成就所托源于名校 成就所托 4 点评 本题中 ADE 嵌入 ABC 内 两个三角形有一个公共顶点 A 称之为 正嵌 型 如例 2 图所示 如果嵌入的三角形顶点在该角的对边上 称之为 反嵌型 如图所示 在 ABC 中 BAC 90 AB AC 点 D 在斜边 BC 上 E F 分别在 AC AB 上 EDF 45 可以证明 BDF CED 举一反三 1 如图 ABC 中 AB AC D 是 BC 的中点 E F 分别在 AB AC 上 且 EDF B 联 结 EF 找出图中相似三角形并说明理由 2 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AD 3 BC 7 AB DC 4 点 P 在边 BC 上 点 E 在边 DC 上 APE 60 联结 AE 1 求证 AB CE BP PC 2 APE 能否与 ABP 相似 若能够 求此时点 P 的位置 若不能够 请简要说明理由 源于名校 成就所托源于名校 成就所托 5 3 正方形 ABCD 中 点 E F 分别在 BC CD 上 AEF 90 联结 AF 1 找出图中一定相似的三角形并加以证明 2 AEF 或 ADF 能否与 ABE 相似 如果能 求此时点 E 的位置 如不能 试说明理由 类型三 旋转翻折型类型三 旋转翻折型 旋转翻折型 可以看做先使其中一个三角形经过放大或缩小 再与另一个三角形呈旋 转对称或轴对称的位置关系 例例 1 如图 若 1 2 3 写出入中所有相似的三角形 并简要说明理由 源于名校 成就所托源于名校 成就所托 6 举一反三 1 如图 ABC 中 D 是 BC 的中点 且 AD AC DE BC 交 AB 于点 E CE 交 AD 于点 F 求证 DF CF AC AB 2 如图 CD 为 Rt ABC 斜边 AB 上的高 G 为 DC 延长线上一点 AF BG 垂足为 F AF 交 CD 于 E 求证 CD2 DE DG 3 如图 ABC 中 点 D 在 BC 上 ADE B BAD CAE 1 求证 AD AC AB AE 2 当 BAC 90 时 求证 EC BC 源于名校 成就所托源于名校 成就所托 7 内容提炼内容提炼 1 将三角形相似的判定与三角形全等的判定进行类比 三角形全等AAS ASASASSSSHL 三角形相似AASASSSSHL 可以看出 判定 相似 比判定 全等 要求要低一些 例如 两个角对应相等 无法判定 全等 但可以判定相似 再例如 两组对边对应成比例 的要求也比 两条边对应相等 的要求低 因为 两条边对应相等 是 两边对应成比例 中当比例系数为 1 时的特殊情况 实际上 相似 的含义知识 像 而 全等 的含义则是 一模一样 全等 的要求当 然要高一些 2 正因为判定相似比判定全等的要求低 所以相似形的图形变化更多 解题方法也更 灵活 判定三角形相似首先要观察图形中有没有相等的角 例如 两个三角形没有公共角 是否等腰三角形的两个底角或等腰梯形同一底上的两个角 等等 其次 要把已知的乘积式 化为比例式 考察所涉及的线段围成的三角形是否相似 有时还需要经过中间比转化 3 组成相似三角形的图形往往相互交错 互相渗透 图形中常包含证明相似三角形 隐含条件 本节涉及的隐含条件分别为 在共边共角型中 提供了公共角 或对顶角 相等 反嵌入型中的三角形外交等于不相邻的两个内角和 旋转型中的旋转角相等 巩固提高 必做题 要求步骤完整 思路清晰 巩固提高 必做题 要求步骤完整 思路清晰 1 满足下列条件的两个三角形不一定相似的是 A 有一个角都等于 30 的两个直角三角形 B 有一个角都等于 30 的两个等腰三角形 B 两直角边之比为 1 2 的两个直角三角形 D 两条边之比为 1 2 的两个等腰三角形 2 如图 在 ABC 中 点 D E 分别在边 AC AB 上 BD 平分 ABC ACE ABD 与 BEF 一定相似的三角形为 A BFC B BDC C BDA D CEA 源于名校 成就所托源于名校 成就所托 8 3 如图 梯形 ABCD 中 DC AB AD BC 点 P 在 DC 上 点 Q 在 BP 上 若 APB D PAQ PBA 则图中相似的三角形共有 A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 4 在 ABC 中 AB AC A 40 若 DEF 与 ABC 相似 则 D 的度数为 5 已知 ABC 与 A B C 相似 A A 90 AB 3 AC 4 A B 6 则 B C 6 如图 若 B C AE EC 3 AD 2 则 DB 7 如图 梯形 ABCD 中 AD BC BD 平分 ABC A BDC 若 AB 4 BC 8 则 CD 8 如图 四边形 ABCD 中 AD BC 若 AB 8 BC 4 AC 6 AD 9 则 CD 9 如图 ABC 中 D 在 AC 上 若 ABD C AD 9 DC 7 则 BD BC 10 如图 平行四边形 ABCD 中 AC 交 BD 于 O 已知 求证 22 2 1 BDBC 22 2 1 ACAB 11 如图 ABC 中 AB AC 射线 BF 交高 AD 于 G 交 AC 于 E 作 CF AB 交 BF 于 F 源于名校 成就所托源于名校 成就所托 9 求证 GFGEBG 2 12 如图 在 ABC 中 AB AC 点 D 在 BC 延长线上 点 E 在 AC 上 联结 AD 联结 BE 并延长 交 AD 于 F 联结 FC 已知 EBC D 1 求证 AD BC BD BE 2 点 E 在 AC 上什么位置上 能使 FC BD 证明你的结论 探究题探究题 1 如图 D E 分别在等边三角形 ABC 的边 CB 和边 BC 的延长线上 已知 BC2 DB CE 求