悬臂梁固有频率的计算

1 悬臂梁固有频率的计算悬臂梁固有频率的计算 试求在处固定 处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率 求解前五阶 0 x xl 解 解 法一 欧拉法一 欧拉 伯努利梁理论伯努利梁理论 悬臂梁的运动微分方程为 42 42 0 w x tw x t EIA xt 悬臂梁的边界条件为 22 22 0 0 1 0 0 2 0 3 EI 0 4 x lx l dwww w xx dxxxx 该偏微分方程的自由振动解为 将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到 x t W x T t w 其中 1234 x C cossincoshsinhWxCxCxCx t AcostBsintTww 2 4 A EI 将边界条件 1 2 带入上式可得 进一步整理可得 13 C0C 24 C0C 再将边界条件 3 4 带入可得 12 x C coscosh sinsinh WxxCxx 要 12 coscosh C sinsinh 0Cllll 12 sinsinh C coscosh 0Cllll 求有非零解 则它们的系数行列式必为零 即 12 CC和 coscosh sinsinh 0 sinsinh coscosh llll llll 所以得到频率方程为 该方程的根 表示振动系统的固有频率 cos cosh 1 nn ll nl 满足上式中的各 的值在书 P443 表 8 4 中给出 1 2 2 4 1 2 nn EI wln Al nl 1 2 n 现罗列如下 12345 1 8751044 6940917 85475710 99554114 1372lllll 2 若相对于的值表示为 根据式中的 可以表示为 n 2 C 2n C 1n C 2n C 21 coscosh sinsinh nn nn nn ll CC ll 因此由此可得 1 coscosh x C cosx coshx sinx sinhx 1 2 sinsinh nn nnnnnn nn ll Wn ll 到悬臂梁的前五阶固有频率 分别将 n 1 2 3 4 5 带入可得 111 222 222 123 444 1 875104 4 694091 7 854757 EIEIEI AlAlAl 11 22 22 45 44 10 995541 14 1372 EIEI AlAl 法二 铁摩辛柯梁梁理论法二 铁摩辛柯梁梁理论 1 悬臂梁的自由振动微分方程 42424 42224 1 0 w x tw x tEwIw EIAI kGkGxtxtt 边界条件 0 0 0w xx 1 0 x lx l w xx 2 设方程的通解为 易知边界条件 1 满足此通解 将通解带入上面的微分方程 Csincos n n x w x tw t l 可得到频率方程为 其中 4222222244 42 224 r 1 0 nn nrnrEn ww kGllkGl 22 IEI r AA 若转动惯量与剪切变形的影响均忽略 上式的频率方程简化为 当 n 1 2 3 4 5 时可 2222 22 n nEI n w lAl 分别求得固有频率为 22222 12345 22222 491625EIEIEIEIEI wwwww A lA lA lAlAl 3 多自由度系统频率的计算方法多自由度系统频率的计算方法 等效质量 连续系统悬臂梁简化为 5 个相等的集中质量 12345 m 5 mmmmm 1 1 邓克莱法邓克莱法 邓克莱公式为 其中 111222555 2 1 1 aaammm 33333 1122334455 8964 3753751253753 lllll aaaaa EIEIEIEIEI 将其代入上式可求得系统的基频为 此基频比用伯努 12345 m 5 mmmmm 1 2 1 4 2 887 EI w Al 利 欧拉梁求得的一阶固有频率偏小 误差为 17 42 与邓克莱法的推导预期相符 1 2 2 1 4 1 875104 EI Al 2 瑞利法瑞利法 系统的质量矩阵 刚度矩阵和柔度矩阵分别为 0000 0000 1 0000 5 0000 0000 m m Mm m m 33333 33333 33333 33333 3333 4117 375150375750375 814426 15037537575375 41492718 375375125250125 114276488 75075250375375 7261888 375375125375 lllll EIEIEIEIEI lllll EIEIEIEIEI lllll EIEIEIEIEI lllll EIEIEIEIEI llll EIEIEI 3 3 l EIEI 1 3 517798627932221270004500 225854181181 862791117211244719450015750 586193181181 32221124471562212616314221 5493322244 2700094500261633827982500 1811812231181 4500157501422182500 1811814418 EI K l 6029 130 4 取静变形曲线为假设阵型 设有 40141279436600 TA 32 3 1122000EI28401503l m 649418m 75EI TTT A MAA KAA M MA l 所以 此基频比用伯努利 欧拉梁求得的一阶固有 44 8 648 57 A A TT TT A KAEIA MAEI RR A MAlA M MAl 频率偏大 误差为 15 23 与瑞利法的推导预期相符 1 2 2 1 4 1 875104 EI Al 3 里茨法里茨法 系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出 设阵型为 12 12345 13579 TT 则可求出分别为 MK T 33 T 33 5595 95165 78375EI57375EI 181l181l 57375EI78375EI 181l181l mm MM mm KK 将代入得 可以求得 MK 2 0Kw MA 2 0Kw M 以及 1 3 EI 59 08 m w l 2 3 EI 3 53 m w l 1 2 11 A A 0 5780 29 所以系统前两阶主阵型的近似为 5 1 1 2 2 1 0000 1 0000 0 6303 1 5915 A A 0 422 0 2607 A A 0 71 2 1831 0 1090 2 7746 0 4787 3 3662 4 雅克比法雅克比法 动力矩阵为 由雅可比法求解其特征值和特征向量为 其固有频率 33333 33333 33333 33333 3 l ml m4l m11l m7l m 375EI150EI375EI750EI375EI l m8l m14l m4l m26l m 150EI375EI375EI75EI375EI 4l m14l m9l m27l m18l m 375EI375EI125EI250EI125EI 11l m4l m27l m64l m88l m 750EI75EI250EI375EI375EI 7l m2 375EI DM 3333 6l m18l m88l ml m 375EI125EI375EI3EI 阵型为 2 93 0 0 0 0 0 18 70 0 0 0 0 0 52 7 0 0 0 0 0 100 0 0 3 EI m 0 0 0 158 11 l 0 0459 0 166