高三数学第一轮复习单元讲座 第13讲 直线 圆的方程教案 新人教版

专心 爱心 用心1 普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 数学数学 人教版人教版 高三新数学第一轮复习教案 讲座高三新数学第一轮复习教案 讲座 1313 直线 圆的方程直线 圆的方程 一 课标要求 一 课标要求 1 直线与方程 1 在平面直角坐标系中 结合具体图形 探索确定直线位置的几何要素 2 理解直线的倾斜角和斜率的概念 经历用代数方法刻画直线斜率的过程 掌 握过两点的直线斜率的计算公式 3 根据确定直线位置的几何要素 探索并掌握直线方程的几种形式 点斜式 两点式及一般式 体会斜截式与一次函数的关系 2 圆与方程 回顾确定圆的几何要素 在平面直角坐标系中 探索并掌握圆的标准方程与一般方 程 二 命题走向二 命题走向 直线方程考察的重点是直线方程的特征值 主要是直线的斜率 截距 有关问题 可与三角知识联系 圆的方程 从轨迹角度讲 可以成为解答题 尤其是参数问题 在 对参数的讨论中确定圆的方程 预测 2007 年对本讲的考察是 1 2 道选择或填空 解答题多与其他知识联合考察 本讲对于数形结合思想的考 察也会是一个出题方向 2 热点问题是直线的倾斜角和斜率 直线的几种方程形式和求圆的方程 三 要点精讲三 要点精讲 1 倾斜角 一条直线 L 向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角 叫做直线的 倾斜角 范围为 0 2 斜率 当直线的倾斜角不是 900时 则称其正切值为该直线的斜率 即k tan 当直线的倾斜角等于 900时 直线的斜率不存在 过两点 p1 x1 y1 p2 x2 y2 x1 x2 的直线的斜率公式 k tan 若 12 12 xx yy x1 x2 则直线 p1p2的斜率不存在 此时直线的倾斜角为 900 4 直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件 确定直线方程 的形式很多 但必须注意各种形式的直线方程的适用范围 名称方程说明适用条件 斜截式 y kx b k 斜率 b 纵截距 倾斜角为 90 的直线不 能用此式 点斜式 y y0 k x x0 x0 y0 直线上倾斜角为 90 的直线不 专心 爱心 用心2 已知点 k 斜率能用此式 两点式 12 1 yy yy 12 1 xx xx x1 y1 x2 y2 是直 线上两个已知点 与两坐标轴平行的直线 不能用此式 截距式 1 a x b ya 直线的横截距 b 直线的纵截距 过 0 0 及与两坐标 轴平行的直线不能用此 式 一般式 Ax By C 0 分别 B A A C B C 为斜率 横截距和纵截距 A B不能同时为零 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在 垂直于x 轴 的直线 两点式不能表 示平行或重合两坐标轴的直线 截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的 直线 5 圆的方程 圆心为 半径为r的圆的标准方程为 baC 0 222 rrbyax 特殊地 当时 圆心在原点的圆的方程为 0 ba 222 ryx 圆的一般方程 圆心为点 半径0 22 FEyDxyx 2 2 ED 其中 2 4 22 FED r 04 22 FED 二元二次方程 表示圆的方程的充要条件是 0 22 FEyDxCyBxyAx 项项的系数相同且不为 0 即 没有xy项 即B 0 2 x 2 y0 CA 04 22 AFED 四 典例解析四 典例解析 题型 1 直线的倾斜角 例 1 1995 全国 5 图中的直线l1 l2 l3的斜率分别为 k1 k2 k3 则 A k1 k2 k3B k3 k1 k2 C k3 k2 k1D k1 k3 k2 答案 D 解析 直线l1的倾斜角 1是钝角 故k1 0 直线l2与l3 图 专心 爱心 用心3 的倾斜角 2 3均为锐角 且 2 3 所以k2 k3 0 因此k2 k3 k1 故应选 D 点评 本题重点考查直线的倾斜角 斜率的关系 考查数形结合的能力 例 2 过点 P 2 1 作直线分别交x轴 y轴l 的正半轴于A B两点 求的值最小时直PAPB 线的方程 l 解析 依题意作图 设 BAO 则 PAPB 12 sincos PAPB 2 2 44 2sin cossin cossin 当 即时的值最小 此时直线的倾斜角为 135 sin21 45PAPB l 斜率 kl tan1351 故直线的方程为 即 l yx 112 xy 30 点评 求直线方程是解析几何的基础 也是重要的题型 解这类题除用到有关概念 和直线方程的五种形式外 还要用到一些技巧 题型 2 斜率公式及应用 例 3 1 05 年江西高考 设实数x y满足 则的最大值是 xy xy y 20 240 230 y x 2 1997 全国文 24 已知过原点O的一条直线与函数y log8x的图象交于 A B两点 分别过点A B作y轴的平行线与函数y log2x的图象交于C D两点 1 证明点C D和原点O在同一条直线上 2 当BC平行于x轴时 求点A的坐标 解析 1 如图 实数x y满足的区域为图中阴影部分 包括边界 而 表示点 x y 与原点连线的斜率 则直线AO 的斜率最大 其中A点坐标 y x y x 0 0 为 此时 所以的最大值是 1 3 2 kOA 3 2 y x 3 2 y B P 2 1 O A x 专心 爱心 用心4 点评 本题还可以设 则 斜率 k 的最大 y x k ykx 值即为的最大值 但求解颇费周折 y x 2 证明 设A B的横坐标分别为x1 x2 由题设知x1 1 x2 1 点 A x1 log8x1 B x2 log8x2 因为A B在过点O的直线上 所以 2 28 1 18 loglog x x x x 又点C D的坐标分别为 x1 log2x1 x2 log2x2 由于 log2x1 3log8x1 log2x2 3log8x2 2log log 8 18 x 2log log 8 28 x 所以OC的斜率和OD的斜率分别为 2 28 2 22 1 18 1 12 log3log log3log x x x x k x x x x k ODOC 由此得kOC kOD 即O C D在同一条直线上 由BC平行于x轴 有 log2x1 log8x2 解得 x2 x13 将其代入 得x13log8x1 3x1log8x1 2 28 1 18 loglog x x x x 由于x1 1 知 log8x1 0 故x13 3x1 x1 于是点A的坐标为 log833 3 点评 本小题主要考查对数函数图象 对数换底公式 对数方程 指数方程等基础 知识 考查运算能力和分析问题的能力 例 4 05 年全国高考 当时 函数的最小值0 2 x 是 A 2 B C 4 D 4 3 解析 原式化简为 则y看作点 A 0 5 与点的连线的斜率 Bxx sincos232 专心 爱心 用心5 因为点B的轨迹是 Xx Yx x sin cos 2 32 0 2 即 过A作直线 代入上式 由相切 0 可求出 由图象知 kYkX 5k 4 的最小值是 4 故选C 点评 也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等 但将问题转化为 直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰 题型 3 直线方程 例 5 已知直线的点斜式方程为 求该直线另外三种特殊形式的方程 yx 1 3 4 2 解析 1 将移项 展开括号后合并 即得斜截式方程 yx 1 3 4 2 2 因为点 2 1 0 均满足方程 故它们为直线上 5 2 yx 1 3 4 2 的两点 由两点式方程得 yx 1 5 2 1 2 02 即 yx 1 3 2 2 2 3 由知 直线在y轴上的截距yx 3 4 5 2 b 5 2 又令 得y 0 x 10 3 故直线的截距式方程 xy 10 3 5 2 1 点评 直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系 它是直线在不同条件下的 不同表现形式 要掌握好它们之间的互化 在解具体问题时 要根据问题的条件 结论 灵活恰当地选用公式 使问题解得简捷 明了 例 6 直线经过点 P 5 4 且与两坐标轴围成的三角形面积为 5 求直线l 的方程 l 专心 爱心 用心6 解析 设所求直线的方程为 l 直线过点 P 5 4 即 l 54 1 ab 45abab 又由已知有 即 1 2 5a b ab 10 解方程组 得 或 45 10 abab ab a b 5 2 4 a b 5 2 故所求直线的方程为 或 l xy 5 2 4 1 xy 52 1 即 或85200 xy 25100 xy 点评 要求的方程 须先求截距a b的值 而求截距的方法也有三种 l 1 从点的坐标或中直接观察出来 a 0 0 b 2 由斜截式或截距式方程确定截距 3 在其他形式的直线方程中 令得轴上的截距b 令得出x轴上x 0yy 0 的截距a 总之 在求直线方程时 设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要 解题 时善于观察 勤于思考 常常能起到事半功倍的效果 题型 3 直线方程综合问题 例 5 2003 北京春理 12 在直角坐标系xOy中 已知 AOB三边所在直线的方程 分别为x 0 y 0 2x 3y 30 则 AOB内部和边上整点 即横 纵坐标均为整数的点 的总数是 A 95 B 91 C 88 D 75 答案 B 解析一 由y 10 x 0 x 15 x N N 转化为求满足不等式 3 2 y 10 x 0 x 15 x N N 所有整数y的值 然后再求其总数 令x 0 y有 11 个整 3 2 数 x 1 y有 10 个 x 2 或x 3 时 y分别有 9 个 x 4 时 y有 8 个 x 5 或 6 时 y 分别有 7 个 类推 x 13 时y有 2 个 x 14 或 15 时 y分别有 1 个 共 91 个整点 故 选B 专心 爱心 用心7 解析二 将x 0 y 0 和 2x 3y 30 所围成的三角形补成一个 矩形 如图所示 对角线上共有 6 个整点 矩形中 包括边界 共有 16 11 176 因此所求 AOB内部和边上的整点共有 91 个 2 6176 点评 本题较好地考查了考生的数学素质 尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头 脑 通过不等式解等知识探索解题途径 例 6 2003 京春理 22 已知动圆过定点P 1 0 且与定直线l x 1 相切 点C在l上 求动圆圆心的轨迹M的方程 设过点P 且斜率为 的直线与曲线M相交于A B两点 3 i 问 ABC能否为正三角形 若能 求点C的坐标 若不能 说明理由 ii 当 ABC为钝角三角形时 求这种点C的纵坐标的取值范围 解法一 依题意 曲线M是以点P为焦点 直线l为准线的抛物线 所以曲 线M的方程为y2 4x 解法二 设M x y 依题意有 MP MN 所以 x 1 化简得 y2 4x 22 1 yx i 由题意得 直线AB的方程为 y x 1 3 由消y得 3x2 10 x 3 0 4 1 3 2 xy xy 解得x1 x2 3 3 1 所以A点坐标为 B点坐标为 3 2 3 32 3 1 3 AB x1 x2 2 3 16 假设存在点C 1 y 使 ABC为正三角形 则 BC AB 且 AC AB 即 图 图 专心 爱心 用心8 3 16 3 2 1 3 1 3 16 32 13 222 222 y y 由 得 42 y 2 2 2 y 2 3 3 4 3 32 解得y 9 314 但y 不符合 9 314 所以由 组成的方程组无解 因此 直线l上不存在点C 使得 ABC是正三角形 ii 解法一 设C 1 y 使 ABC成钝角三角形 由得 1 1 3 x xy y 2 3 即当点C的坐标为 1 2 时 A B C三点共线 故y 2 33 又 AC 2 1 2 y 2 y2 3 1 3 32 3 34 9 28y BC 2 3 1 2 y 2 2 28 4y y2 33 AB 2 2 3 16 9 256 当 CAB为钝角时 cosA AC 2 AB 2 即 9 256 3 34 9 28 3428 22 yyyy 专心 爱心 用心9 即y 时 CAB为钝角 3 9 2 当 AC 2 BC 2 AB 2 即 9 256 3428 3 34 9 28 22 yyyy 即y AC 2 BC 2 即 22 3428 3 34 9 28 9 256 yyy y 即 0 3 2 0 3 4 3 3 4 22 yyy 该不等式无解 所以 ACB不可能为钝角 因此 当 ABC为钝角三角形时 点C的纵坐标y的取值范围是 32 9 32 3 310 yyy或 解法二 以AB为直径的圆的方程为 x 2 y 2 2 3 5 3 3 2 3 8 圆心 到直线l x 1 的距离为 3 3 2 3 5 3 8 所以 以AB为直径的圆与直线l相切于点G 1 3 32 当直线l上的C点与G重合时 ACB为直角 当C与G点不重合 且A B C三 点不共线时 ACB为锐角 即 ABC中 ACB不可能是钝角 因此 要使 ABC为钝角三角形 只可能是 CAB或 CBA为钝角 过点A且与AB垂直的直线方程为 3 1 3 3 3 32 xy 令x 1 得y 9 32 专心 爱心 用心10 过点B且与AB垂直的直线方程为y 2 x 3 3 3 3 令x 1 得y 3 3 10 又由解得y 2 1 1 3 x xy 3 所以 当点C的坐标为 1 2 时 A B C三点共线 不构成三角形 3 因此 当 ABC为钝角三角形时 点C的纵坐标y的取值范围是y 3 310 y 2 9 32 3 点评 该题全面综合了解析几何 平面几何 代数的相关知识 充分体现了 注重 学科知识的内在联系 题目的设计新颖脱俗 能较好地考查考生综合运用数学知识解 决问题的能力 比较深刻地考查了解析法的原理和应用 以及分类讨论的思想 方程的 思想 该题对思维的目的性 逻辑性 周密性 灵活性都进行了不同程度的考查 对运算 化简能力要求也较高 有较好的区分度 题型 4 圆的方程 例 7 1 已知 ABC的三个项点坐标分别是A 4 1 B 6 3 C 3 0 求 ABC外接圆的方程 分析 如果设圆的标准方程 将三个顶点坐标分别代入 222 xaybr 即可确定出三个独立参数a b r 写出圆的标准方程 如果注意到 ABC外接圆的圆 心是 ABC三边垂直平分线的交点 由此可求圆心坐标和半径 也可以写出圆的标准方 程 解法一 设所求圆的方程是 222 xaybr 因为A 4 1 B 6 3 C 3 0 都在圆上 所以它们的坐标都满足方程 于是 可解得 222 222 222 4 1 6 3 3 0 abr abr abr 2 1 3 25 a b r 专心 爱心 用心11 所以 ABC的外接圆的方程是 22 1 3 25xy 解法二 因为 ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上 也在BC的垂直平分线 上 所以先求AB BC的垂直平分线方程 求得的交点坐标就是圆心坐标 线段AB的中点为 5 1 线段 3 1 2 64 AB k 0 3 1 363 BC k BC的中点为 33 22 AB的垂直平分线方程为 1 1 5 2 yx BC的垂直平分线方程 33 3 22 yx 解由 联立的方程组可得 1 3 x y ABC外接圆的圆心为 1 3 半径 22 41 13 5rAE 故 ABC外接圆的方程是 22 1 3 25xy 点评 解法一用的是 待定系数法 解法二利用了圆的几何性质 2 求过A 4 1 B 6 3 C 3 0 三点的圆的方程 并求这个圆的半 径长和圆心坐标 分析 细心的同学已经发现 本题与上节例 1 是相同的 在那里我们用了两种方法求圆 的方程 现在再尝试用圆的一般方程求解 解法三 可以比较一下哪种方法简捷 解析 设圆的方程为 22 0 xyDxEyF 因为三点A 4 1 B 6 3 C 3 0 都在圆上 所以它们的坐标都是方 程 的解 将它们的坐标分别代入方程 得到关于D E F的一个三元一次方程组 解得 22 22 22 4140 6 3 630 3 0300 DEF DEF DEF 2 6 15 D E F 所以 圆的方程是 22 26150 xyxy 圆心是坐标 1 3 半径为 22 1 45 2 rDEF 点评 待定系数法 是求圆的方程的常用方法 一般地 在选用圆的方程形式时 若问题涉及圆心和半径 则选用标准方程比较方便 否则选用一般方程方便些 E x y OC B A 图 4 1 专心 爱心 用心12 例 8 若方程 xymxmym 2224 232 141690 1 当且仅当在什么范围内 该方程表示一个圆 m 2 当在以上范围内变化时 求圆心的轨迹方程 m 解析 1 由 xymxmym 2224 232 141690 当且仅当时 1670 2 mm 即时 给定的方程表示一个圆 mm 1 7 1 2 设圆心坐标为 则 为参数 xy xm ym m 3 41 1 7 1 2 m 消去参数 为所求圆m yx4 31 2 yxx431 20 7 4 2 心轨迹方程 点评 圆的一般方程 圆心为点 半径0 22 FEyDxyx 2 2 ED 其中 2 4 22 FED r 04 22 FED 题型 5 圆的综合问题 例 9 如图 2 在平面直角坐标系中 给定y轴正半轴上两点A 0 a B 0 b 试在x轴正半轴上求一点C 使 ACB取得最大值 ab 0 解析 设C是x轴正半轴上一点 在 ABC中由正弦定理 有 sin ACB ab R 2 其中 R 是 ABC的外接圆的半径 可见 当 R 取得最小值时 ACB取得最大值 专心 爱心 用心13 在过A B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中 当且仅当点C是圆与x轴的切 点时 半径最小 故切点C即为所求 由切割线定理 得 OCOAOBab 2 所以 即点C的坐标为时 ACB取得最大值 OCab ab 0 点评 圆是最简单的二次曲线 它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用 对一些数学问题 若能作一个辅助圆 可以沟通题设与结论之间的关系 从而使问题得 解 起到铺路搭桥的作用 例 10 已知 O 过定点A 0 p p 0 圆心 O 在抛物线x2 2py上运动 MN 为圆 O 截x轴所得的弦 令 AM d1 AN d2 MAN 1 当 O 点运动时 MN 是否有变化 并证明你的结论 2 求 的最大值 并求取得最大 2 1 d d 1 2 d d 值的 值 解析 设 O x0 y0 则x02 2py0 y0 0 O 的半径 O A O 的方程为 x x0 2 y y0 2 x02 y0 p 2 令y 0 并把x02 2py0 2 0 2 0 pyx 代入得x2 2x0 x x02 p2 0 解得xM x0 p xN x0 p MN xN xM 2p 为定值 2 M x0 p 0 N x0 p 0 d1 d2 则 d12 d22 4p2 2x02 d1d2 2 0 2 pxp 2 0 2 pxp 4 0 4 4xp 2 2 2 1 2 d d 2 1 d d 21 2 1 2 2 dd dd 4 0 4 2 0 2