高中数学《数列》文字素材6 苏教版必修5

用心 爱心 专心1 数列配对求和数列配对求和 配对 是处理数列求和问题的一种重要方法 它利用加法的交换律和结合律将 不 规则和 转化为 规则和 化繁为简 本文简单介绍数列配对求和的两种形式 以期对同 学们有所启发和帮助 形式一 相邻两项直接配对形式一 相邻两项直接配对 这是处理项数为偶数的数列求和的方法 例例 1 1 已知数列的前项和 求的值 n an 1 15913 1 43 n n Sn 16 S 解析 解析 采用相邻两项直接配对 这里为偶数 16n 16 15 913 4 153 4 163 S 共配成8对4 832 形式二 留下一项 其余相邻两项配对形式二 留下一项 其余相邻两项配对 这是处理项数为奇数的数列求和的方法 例例 2 2 若等差数列共有项 求证 n a21n 1n SSa 偶偶 分别为奇数项 偶数项的和 SS 偶偶偶 分析分析 132121nn Saaaa 偶242n Saaa 偶 SS 偶偶 1 a留下其余相邻 两项配对 13254212 nn aaaaaaa n共配成对 11n an da 还可以留下最后一项 其余相邻两项配对 证明证明 123421221111 2 nnnn SSaaaaaaandandanda 偶偶 其实是数列的前项的中项 所以上面 式 又可写成中 这 1n a n a21n SSa 偶偶 是等差数列的一条性质 有着广泛的应用 因此 同学们不仅要会用这种方法配对求和 还要熟练掌握这个常用结论 用心 爱心 专心2 三法求数列通项公式三法求数列通项公式 求数列的通项公式就是寻找一列数的排列规则 也就是找每一个数与它的序号间的对 应关系 这是数列中常见的问题 但由于其概括性强 对初学者来说是一个难点 如何突 破难点呢 下面举例说明这部分常见的经典问题 以提高同学们的认识 一 归纳猜想法 一 归纳猜想法 通过写出数列前几项 观察 猜测通项公式 例例 1 1 根据下面各数列前几项的值写出数列的一个通项公式 1 2 171319 偶偶偶偶7 77 777 7777 偶偶偶偶 3 2 468 3 15 35 63 偶偶偶偶 4 5 05 0 5 05 0 偶偶偶偶偶偶偶偶 解析解析 1 应解决两个问题 一是符号问题 可考虑用或表示 二是各 1 n 1 1 n 项的绝对值的排列规则 不难发现后面数的绝对值总比前面数的绝对值大 6 故该数列的 一个通项公式为 1 65 n n an 2 这是一个循环数列 先联想数列的通项 又发现所求数列的通项1111111111 偶偶偶偶 与数列的通项有关 而 于是易知 9 99 999 9999 偶偶偶偶9999101 n n 个 7 101 9 n n a 3 这是一个分数数列 其分子由偶数构成 可用表示 而分母可分解为 2n 每一项都是两个相邻奇数的积 可用表示 故所求数列的1 33 5 57 偶偶偶 21 21 nn 一个通项公式为 2 21 21 n n a nn 4 数列的各项具有周期性 联想基本数列 则易得所求数列的一个通项1010 偶偶偶偶 公式为 5sin 2 n n a 例例 2 2 写出数列的一个通项公式 13 83283 803 10 204080 偶偶偶偶 解解 数列的前 4 项可写为 1 3 1 10 a 2 3 4 20 a 3 3 7 40 a 4 3 10 80 a 猜想可知 1 3 1 32 10 2 n n n an 二 分离法二 分离法 将与自然数有关的两式相减 从中提取通项 例例 3 3 数列满足 求 n a 123 234 1 1 2 n aaanan nn n a 解解 当时 1n 123 234 1 1 2 n aaanan nn 用心 爱心 专心3 当时 2n 1231 234 1 1 n aaanann n 得 化简 得 1 3 1 n nan n 3 n an 又当时 1n 1 3 13a 故 3 n an n N 三 累积法三 累积法 它适用于的递推式求通项 1 n n a f n a 例例 4 4 数列满足 求 n a 1 1 2 a 2 123nn aaaan a n a 解解 将与相减 得 即 2 11 1 nn Sna 2 nn Sn a 22 11 1 nnn anan a 1 2 n n an an 上式中取 将所得到的个式子相乘