高中数学《推理与证明》同步练习1 新人教A版选修1-2

用心 爱心 专心1 高中新课标选修 高中新课标选修 1 21 2 推理与证明测试题 推理与证明测试题 一 选择题 1 直接证明中最基本的两种证明方法是 类比法和归纳法 综合法和分析法 反证法和二分法 配方法和换元法 答案 2 人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理 发明了潜水艇 运用的是 归纳推理 类比推理 演绎推理 逻辑推理 答案 3 用P表示已知 Q表示要证的结论 则综合法的推理形式为 11223n PQQQQQQQ 11223n PQQQQQQQ 11223n QQQQQQQP 11223n QQQQQQQP 答案 4 我们把平面几何里相似形的概念推广到空间 如果两个几何体大小不一定相等 但形状 完全相同 就把它们叫做相似体 下面几何体中 一定属于相似体的是 两个球体 两个长方体 两正四面体 两个正三棱柱 两个正四棱柱 答案 5 古希腊数学家把数13 61015 21 且且且且且且叫做三角形数 它们有一定的规律性 第 25 个三角 形数与第 23 个三角形数的差为 48 49 50 51 答案 6 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是 用心 爱心 专心2 与已知矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾 自相矛盾 答案 7 下面是用三段论形式写出的演绎推理 其结论错误的原因是 因为对数函数log 01 a yx aa 且在 0 且 上是增函数 大前提 而 1 2 logyx 是对数函数 小前提 所以 1 2 logyx 在 0 且 上是增函数 结论 推理形式错误 小前提错误 大前提错误 以上都可能 答案 8 下列推理正确的是 把 a bc 与log a xy 类比 则有log loglog aaa xyxy 把 a bc 与sin xy 类比 则有sin sinsinxyxy 把 a bc 与 xy a 类比 则有 xyxy aaa 把 a bc 与 a bc类比 则有 a bca ba c 答案 9 在证明命题 对于任意角 44 cossincos2 的过程 44222222 cossin cossin cossin cossincos2 中应用了 分析法 综合法 分析法和综合法综合使用 间接证法 答案 10 图 1 是一个水平摆放的小正方体木块 图 2 图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成 的 按照这样的规律继续叠放下去 至第七个叠放的图形中 小正方体木块总数应是 用心 爱心 专心3 25 66 91 120 答案 11 用反证法证明命题 三角形的内角至多有一个钝角 时 假设正确的是 假设至少有一个钝角 假设至少有两个钝角 假设没有一个钝角 假设没有一个钝角或至少有两个钝角 答案 12 已知 231 1233 34333 nn nnabc 对一切x N都成立 那么 abc且且的值为 11 24 abc 且 1 4 abc 1 0 4 abc 且 不存在这样的abc且且 答案 二 填空题 13 综合法的特点是 分析法的特点是 答案 由因导果 即由已知看可知 逐步推出未知 执果索因 即从未知看需知 逐步靠 拢已知 14 将演绎推理 sin yx x R是周期函数 写成三段论的形式为 答案 三角函数是周期函数 大前提 sin yx x R是三角函数 小前提 所以sin yx x R是周期函数 结论 15 若三角形内切圆的半径为r 三边长为abc且且 则三角形的面积等于 用心 爱心 专心4 1 2 Sr abc 根据类比推理的方法 若一个四面体的内切球的半径为R 四个面的面 积分别是 1234 SSSS且且且 则四面体的体积V等于 答案 1234 1 3 R SSSS 16 观察111341359135716 且且且且 猜想一般规律是 答案 2 135 21 nn 三 解答题 17 把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比 试由 平行四边形对边相等 得出平 行六面体的相关性质 解 如图 由平行四边形的性质可知 acbd 且 于是类比平行四边形的性质 在平行六面体 1111 ABCDABC D 中 我们猜想 1 11 11 11 11 1 11 ADD ABB C CA B BAD C CDA B C DABCD SSSSSS 四边形四边形四边形四边形四边形四边形 18 证明下列等式 并从中归纳出一个一般性的结论 2cos2 2cos22 2cos222 4816 且且且 证明 2 2cos22 42 1cos 12 4 2cos2222 8224 1 1cos122 82 2cos22222 1622 用心 爱心 专心5 1 2cos222 2n n 个根号 19 已知a是整数 2 a是偶数 求证 a也是偶数 证明 反证法 假设a不是偶数 即a是奇数 设21 ann Z 则 22 441ann 2 4 nn 是偶数 2 441nn 是奇数 这与已知 2 a是偶数矛盾 由上述矛盾可知 a一定是偶数 20 用三段论证明 直角三角形两锐角之和为90 证明 因为任意三角形三内角之和为180 大前提 而直角三角形是三角形 小前提 所以直角三角形三内角之和为180 结论 设直角三角形ABC两锐角分别为AB且 则有180ABC 因为等量减等量 差相等 大前提 90 9018090AB 小前提 所以90AB 结论 21 已知 22 1ab 22 1xy 求证1axby 分别用综合法和分析法来证 证法一 用综合法 22 2axax 22 2byby 2222 2 axbyabxy 又 22 1ab 22 1xy 2 2axby 1axby 证法二 用分析法 要证1axby 成立 只需证1 0axby 只需证2220axby 又 22 1ab 22 1xy 用心 爱心 专心6 只需证 2222 220abxyaxby 即要证 22 0axby 显然成立 1axby 22 设0a 且1a 1 x f x aa 1 求值 0 1 ff 1 2 ff 2 由 1 的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式 并加以证明 3 若n N 求和 1 2 1 0 1 fnfnffff n 解 1 111 0 1 1 a ff aaaaa 12 111 1 2 a ff aaaaaa 2 由 1 归纳得到对一切实数x 有 1 a f xfx