高中数学 《函数的基本性质-3.1单调性与最大（小）值》说课稿2 新人教A版必修1

1 1 3 11 3 1 单调性与最大 小 值 单调性与最大 小 值 2 2 从容说课从容说课 最值问题是生产 科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题 是高中数学 的一个重点 它涉及到高中数学知识的各个方面 解决这类问题往往需要综合运用各种技 能 灵活选择合理的解题途径 本节课利用单调性求函数的最值 目的是让学生知道学习函 数的单调性是为了更好地研究函数 利用单调性不仅仅确定函数的值域 最值 更重要的是 在实际应用中求解利润 费用的最大与最小 用料 用时的最少 流量 销量的最大 选 取的方法最多 最少等问题 三维目标三维目标 一 知识与技能 1 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的 它是函数单调性的应用 2 启发学生学会分析问题 认识问题的能力和创造地解决问题的能力 二 过程与方法 1 通过渗透数形结合的数学思想 对学生进行辩证唯物主义的教育 2 探究与活动 明白考虑问题要细致 说理要明确 三 情感态度与价值观 理性描述生活中的最大 小 最多 少 等现象 教学重点教学重点 领会函数最值的实质 明确它是一个整体概念 教学难点教学难点 利用函数的单调性求最值 教具准备教具准备 多媒体课件 PowerPoint 教学过程教学过程 一 创设情景 引入新课 师 前面我们学习了函数的单调性 知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化 与自变量增大之间的关系 请大家看某市一天 24 小时内的气温变化图 说出气温随时间变 化的特点 生 从图象上看出0 时 4 时之间气温下降 4 时 14 时之间气温逐渐上升 14 时 24 时气温逐渐下降 师 好 请继续回答 某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低 生 14 时气温达到最高 4 时气温达到最低 师 从图象上看出 14 时的气温为全天的最高气温 它表示在 0 24 时之间 气温 于 14 时达到最大值 从图象上看出 图象在这一点的位置最高 这就是本节课我们要研 究函数的最大 最小值问题 点明本节课的内容 并板书课题 单调性与最大 小 值 2 二 讲解新课 2 师 上面我们从直观的感受知道了最值的概念 下面给出严格的定义 一起看课件 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的 x I 都有f x M 2 存在x0 I 使得f x0 M 那么 我们称M是函数 y f x 的最大值 记为ymax f x0 师 定义中的两个条件缺一不可 只有 1 没有 2 不存在最大值点 而只有 2 没有 1 M不一定是函数y f x 的最大值 比照最大值的定义 哪位同学说出最小值的 定义 生 我们只需把 f x M 改为 f x M 然后将最大值改为最小值即可 师 回答的简洁而正确 点击课件 读一遍最小值的定义 1 对于任意的x I 都有f x M 2 存在x0 I 使得f x0 M 那么 我们称M是函数y f x 的最小值 记为 ymin f x0 师 函数的最大值从图象上看是在指定的区间里最高位置对应的点的纵坐标 好像有 一种一览众山小的情景 同样函数的最小值从图象上看是在指定的区间里最低位置对应的点 的纵坐标 好像有一种坐井观天的情景 请大家思考 是否每个函数都有最大值 最小值 举例说明 生 一个函数不一定有最值 例如y 在定义域内没有最大值也没有最小值 x 1 师 对 有的函数可能只有一个最大 或小 值 例如y 3x 2 x 0 3 如果一 个函数存在最值 那么函数的最大值和最小值都是唯一的 但取最值时的自变量可以有多 个 如y x2 x 2 2 最大值只有一个为 4 而取最大值的x有两个x 2 让学生自己出一些函数题给同桌解 加深对最值的理解 接下来看函数最值的应用 例 1 菊花 烟花是最壮观的烟花之一 制造时一般是期望在它达到最高点 大 约是在距地面高度 25 m 到 30 m 处 时爆裂 如果在距地面高度 18 m 的地方点火 并且烟 花冲出的速度是 14 7 m s 1 写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式 2 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少 精确到 1 m 方法引导 这是物理中的上抛运动 s v0t at2 又v0与重力加速度g的方向相反 2 1 所以s v0t gt2 2 1 解 1 设烟花在t s 时距地面的高度为h m 则由物体运动原理可知 h t 4 9t2 14 7t 18 2 作出函数h t 4 9t2 14 7t 18 的图象 图略 显然 函数图象的顶点就 是烟花上升的最高点 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻 纵坐标就是这时距地面的 高度 由二次函数的知识 对于函数h t 4 9t2 14 7t 18 我们有 当t 1 5 时 函数有最大值 h 29 9 4 2 7 14 9 4 4 7 1418 9 4 4 2 于是 烟花冲出后 1 5 s 是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度约为 29 m 注 1 此题利用数学模型解决物理问题 2 需由已知条件先确定函数式 3 3 此题实质为已知二次函数 求其定义域上的最大值 三 课堂练习 1 求下列函数的最值 1 y x2 2x 3 x R R 2 y x2 2x 3 x 2 5 3 y x2 2x 3 x 2 0 4 y x2 2x 3 x 2 4 让学生讨论 求解 并结合图象说明理由 总结归纳求解这类问题的一般方法 作图要求 在坐标系内画出y x2 2x 3 完整的图象 但定义域内的部分用实线画出 其余部分用虚线画出 答案 1 x 1 时 ymin 2 2 x 2 时 ymin 3 x 5 时 ymax 18 3 x 0 时 ymin 3 x 2 时 ymax 11 4 x 1 时 ymin 2 x 2 或 4 时 ymax 11 求二次函数在闭区间上最值问题的方法 是弄清对称轴与区间的相互位置 利用图象 结合单调性求解 课后研究 求下列函数的最值 1 y x2 3x 1 x t t 1 t R R 2 y x2 2ax 5 x 2 3 a R R 例 2 求函数y 在区间 2 6 上的最大值和最小值 1 2 x 方法引导 由函数y x 2 6 的图象可知 函数y 在区间 2 6 1 2 x1 2 x 上递减 所以 函数y 在区间 2 6 的两个端点上分别取得最大值和最小值 1 2 x 解 设x1 x2是区间 2 6 上的任意两个实数 且x1 x2 则 f x1 f x2 1 2 1 x1 2 2 x 1 1 1 1 2 21 12 xx xx 1 1 2 21 12 xx xx 由 2 x1 x2 6 得x2 x1 0 x1 1 x2 1 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以 函数y 是区间 2 6 上的减函数 1 2 x 因此 函数y 在区间 2 6 的两个端点上分别取得最大值与最小值 即在x 2 1 2 x 时取得最大值 最大值是 2 在x 6 时取得最小值 最小值是 0 4 注 闭区间上的单调函数的最值在区间的端点处取得 2 北京市的一家报刊摊点 从报社买进 北京晚报 的价格是每份是 0 20 元 卖出的 4 价格是每份 0 30 元 卖不掉的报纸可以以每份 0 05 元的价格退回报社 在一个月 按 30 天计算 里 有 20 天每天可卖出 400 份 其余 10 天每天只能卖出 250 份 但每天从报社 买进的份数必须相同 这个摊主每天从报社买进多少份 才能使每月所获的利润最大 并 计算他一个月最多可赚得多少元 解 若设每天从报社买进x 250 x 400 x N N 份 则每月共可销售 20 x 10 250 份 每份可获利润 0 10 元 退回报社 10 x 250 份 每份亏损 0 15 元 建立月纯利润 函数f x 再求f x 的最大值 可得一个月的最大利润 设每天从报社买进x份报纸 每月获得的总利润为y元 则依题意 得 y 0 10 20 x 10 250 0 15 10 x 250 0 5x 625 x 250 400 函数y在 250 400 上单调递增 x 400 时 ymax 825 元 即摊主每天从报社买进 400 份时 每月所获得的利润最大 最大利润为 825 元 四 课堂小结 师 请同学小结一下这节课的主要内容 请一个思路清晰 善于表达的学生口述 教师可从中给予提示 生甲 这节课我们学习了函数最值的定义 定义中两点是缺一不可的 另外 若函数的 最大值和最小值存在 则都是唯一的 但取最值时的自变量可以有多个 有些函数不一定有 最值 有最值的不一定同时有最大值最小值 生乙 今天学了两类函数的最值的求法 二次函数在闭区间上最值问题 关键是弄清 对称轴与区间的相互位置 利用图象 结合单调性求解 单调函数在闭区间上的最值 关 键是先判断函数的单调性 然后在区间的端点处取得 五 布置作业 1 课本 P45习题 1 3 A 组第 6 7 8 题 B 组第 3 题 2 补充 某鱼塘目前鱼群总量为x千克 经过一年的成长与繁殖 第二年鱼群的总 量变为 h 千克 反映x与h间的函数关系为h x rx 1 其中常数r r 1 是 N x 鱼群的增长系数 N N 0 是该鱼塘环境所能负荷的最大鱼