高中数学 均值不等式及应用教案 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 均值不等式应用均值不等式应用 一 均值不等式 1 1 若Rba 则abba2 22 2 若Rba 则 2 22 ba ab 当且仅当ba 时取 2 1 若 Rba 则 ab ba 2 2 若 Rba 则abba2 当且仅当ba 时取 3 若 Rba 则 2 2 ba ab 当且仅当ba 时取 3 若0 x 则 1 2x x 当且仅当1x 时取 若0 x 则 1 2x x 当且仅当1x 时取 若0 x 则 111 22 2xxx xxx 即或 当且仅当ba 时取 3 若0 ab 则 2 a b b a 当且仅当ba 时取 若0ab 则 22 2 ababab bababa 即或 当且仅当ba 时取 4 若Rba 则 2 2 22 2 baba 当且仅当ba 时取 注 1 3 3 已知已知 x yx y R R x y s xy p x y s xy p 若若 p p 为定值 那么当且仅当为定值 那么当且仅当 时 时 s x ys x y 有有 若若 s s 为定值 那么当且仅当为定值 那么当且仅当 时 时 p xyp xy 有有 2 求最值的条件 一正 二定 三取等 应用一 求最值应用一 求最值 解题技巧 解题技巧 技巧一 凑项技巧一 凑项 例 1 已知 5 4 x 求函数 1 42 45 yx x 的最大值 解 因450 x 所以首先要 调整 符号 又 1 42 45 x x A 不是常数 所以对42x 要进行拆 凑项 5 540 4 xx 11 42543 4554 yxx xx 231 当且仅当 1 54 54 x x 即1x 时 上式等号成立 故当1x 时 max 1y 评注 本题需要调整项的符号 又要配凑项的系数 使其积为定值 技巧二 凑系数技巧二 凑系数 例 1 当时 求 82 yxx 的最大值 解析 由知 利用均值不等式求最值 必须和为定值或积为定值 此题为两个式子 积的形式 但其和不是定值 注意到2 82 8xx 为定值 故只需将 82 yxx 凑上一个系数即可 当 即 x 2 时取等号 当 x 2 时 82 yxx 的最大值为 8 评注 本题无法直接运用均值不等式求解 但凑系数后可得到和为定值 从而可利用均值不等式求最大值 评注 本题无法直接运用均值不等式求解 但凑系数后可得到和为定值 从而可利用均值不等式求最大值 用心 爱心 专心2 变式 设 2 3 0 x 求函数 23 4xxy 的最大值 解 2 3 0 x 023 x 2 9 2 232 2 23 22 23 4 2 xx xxxxy 当且仅当 232xx 即 2 3 0 4 3 x 时等号成立 技巧三技巧三 分离分离 例 3 求 2 710 1 1 xx yx x 的值域 解析一 本题看似无法运用均值不等式 不妨将分子配方凑出含有 x 1 的项 再将其分离 当 即时 4 21 59 1 yx x 当且仅当 x 1 时取 号 技巧四技巧四 换元 换元 解析二 本题看似无法运用均值不等式 可先换元 令 t x 1 化简原式在分离求最值 22 1 7 1 10544 5 tttt yt ttt 当 即 t 时 4 259yt t 当 t 2 即 x 1 时取 号 评注 分式函数求最值 通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最 值 即化为 0 0 A ymg xB AB g x g x 恒正或恒负的形式 然后运用均值不等式来求最值 技巧五 注意 在应用最值定理求最值时 若遇等号取不到的情况 应结合函数技巧五 注意 在应用最值定理求最值时 若遇等号取不到的情况 应结合函数 a f xx x 的单调性 的单调性 例 求函数 2 2 5 4 x y x 的值域 解 令 2 4 2 xt t 则 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4 2 4 xtt t x 因 1 0 1tt t 但 1 t t 解得1t 不在区间 2 故等号不成立 考虑单调性 因为 1 yt t 在区间 1 单调递增 所以在其子区间 2 为单调递增函数 故 5 2 y 所以 所求函数的值域为 5 2 练习 求下列函数的最小值 并求取得最小值时 x 的值 1 2 31 0 xx yx x 2 1 2 3 3 yxx x 3 1 2sin 0 sin yxx x 2 已知01x 求函数 1 yxx 的最大值 3 2 0 3 x 求函数 2 3 yxx 的最大值 用心 爱心 专心3 条件求最值条件求最值 1 若实数满足2 ba 则 ba 33 的最小值是 解 ba 33 和都是正数 ba 33 632332 baba 当 ba 33 时等号成立 由2 ba及 ba 33 得1 ba即当1 ba时 ba 33 的最小值是 6 变式 若 44 loglog2xy 求 11 xy 的最小值 并求 x y 的值 技巧六 整体代换 多次连用最值定理求最值时 要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 技巧六 整体代换 多次连用最值定理求最值时 要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 2 已知0 0 xy 且 19 1 xy 求xy 的最小值 错解错解 0 0 xy 且 19 1 xy 199 2212xyxyxy xyxy 故 min12xy 错因 解法中两次连用均值不等式 在2xyxy 等号成立条件是xy 在1 99 2 xyxy 等号成立 条件是 19 xy 即9yx 取等号的条件的不一致 产生错误 因此 在利用均值不等式处理问题时 列出 等号成立条件是解题的必要步骤 而且是检验转换是否有误的一种方法 正解正解 19 0 0 1xy xy 199 106 1016 yx xyxy xyxy 当且仅当 9yx xy 时 上式等号成立 又 19 1 xy 可得4 12xy 时 min16xy 变式 1 若 Ryx 且12 yx 求 yx 11 的最小值 2 若 Ryxba 且 1 y b x a 求yx 最小 值 技巧七 已知技巧七 已知x x y y为正实数 且为正实数 且x x 2 2 1 1 求 求x x的最大值的最大值 y y 2 2 2 21 1 y y 2 2 分析 因条件和结论分别是二次和一次 故采用公式ab a 2 b 2 2 同时还应化简中y2前面的系数为 x x x 1 y 2 1 21 y 22 下面将x 分别看成两个因式 x 即x x 3 41 y 22 3 42 技巧八 已知技巧八 已知a a b b为正实数 为正实数 2 2b b abab a a 3030 求函数 求函数y y 的最小值的最小值 1 1 a ab b 分析 这是一个二元函数的最值问题 通常有两个途径 一是通过消元 转化为一元函数问题一是通过消元 转化为一元函数问题 再用单调 性或基本不等式求解 对本题来说 这种途径是可行的 二是直接用基本二是直接用基本不等式 对本题来说 因已知条 件中既有和的形式 又有积的形式 不能一步到位求出最值 考虑用基本不等式放缩后 再通过解不等式 的途径进行 法一 a ab b 30 2b b 1 30 2b b 1 2 b 2 30b b 1 用心 爱心 专心4 由a 0 得 0 b 15 令t b 1 1 t 16 ab 2 t 34 t 2 8 2t 2 34t 31 t 16 t 16 t ab 18 y 当且仅当t 4 即b 3 a 6 时 等号成立 1 18 法二 由已知得 30 ab a 2b a 2b 2 30 ab 2 2 ab2 ab 令u 则u2 2u 30 0 5 u 3 ab222 3 ab 18 y ab2 1 18 变式 1 已知a 0 b 0 ab a b 1 求a b的最小值 2 若直角三角形周长为 1 求它的面积最大 值 技巧九 取平方技巧九 取平方 5 已知x y为正实数 3x 2y 10 求函数 W 的最值 3x2y 解法一 若利用算术平均与平方平均之间的不等关系 本题很简单 a b 2 a 2 b 2 2 2 3x2y223x 2y5 解法二 条件与结论均为和的形式 设法直接用基本不等式 应通过平方化函数式为积的形式 再向 和 为定值 条件靠拢 W 0 W2 3x 2y 2 10 2 10 2 2 10 3x 2y 20 3x2y3x2y3x2y W 2 205 变式 求函数 15 2152 22 yxxx 的最大值 解析 注意到21x 与52x 的和为定值 22 2152 42 21 52 4 21 52 8yxxxxxx 又0y 所以02 2y 当且仅当21x 52x 即 3 2 x 时取等号 故 max 2 2y 评注 本题将解析式两边平方构造出 和为定值 为利用均值不等式创造了条件 应用二 利用均值不等式证明不等式应用二 利用均值不等式证明不等式 1 已知cba 为两两不相等的实数 求证 cabcabcba 222 2 正数a b c满足a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8abc 3 已知 a b cR 且1abc 求证 111 1118 abc 解 a b cR 1abc 112 1 abcbc aaaa 同理1 2 1 ac bb 1 2 1 ab cc 上述三个不等式两边均为正 分别相乘 得 111222 1118 bcacab abcabc AA 当且仅当 1 3 abc 时取等号 应用三 均值不等式与恒成立问题应用三 均值不等式与恒成立问题 例 已知0 0 xy 且1 9 1 xy 求