高中数学 2.1《指数与指数函数》学案 湘教版必修1

1 指数与指数函数指数与指数函数 知识梳理 1 指数 1 n次方根的定义 若xn a 则称x为a的n次方根 n 是方根的记号 在实数范围内 正数的奇次方根是一个正数 负数的奇次方根是一个负数 0 的奇次方根是 0 正数 的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数 0 的偶次方根是 0 负数没有偶次方根 2 方根的性质 当n为奇数时 nn a a 当n为偶数时 nn a a 0 0 aa aa 3 分数指数幂的意义 a n m nm a a 0 m n都是正整数 n 1 a n m n m a 1 nm a 1 a 0 m n都是正整数 n 1 2 指数函数 1 指数函数的定义 一般地 函数y ax a 0 且a 1 叫做指数函数 2 指数函数的图象 O x y O x y y a x 1 1 a 1 y a x 0 a 1 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称 3 指数函数的性质 定义域 R R 值域 0 过点 0 1 即x 0 时 y 1 当a 1 时 在 R R 上是增函数 当 0 a 1 时 在 R R 上是减函数 点击双基 1 3 a 6 a 等于 A a B a C a D a 2 解析 3 a 6 a a 3 1 a 6 1 a 6 1 3 1 a 2 1 答案 A 2 2003 年郑州市质量检测题 函数y 2 3 x 的图象与直线y x的位置关系是 O x y O x y O x y O x y A B C D 解析 y 2 3 x 3 2 x 3 2 1 不可能选 D 又 当x 1 时 2 3 x x 而当x 3 时 2 3 x x 不可能选 A B 答案 C 3 2004 年湖北 文 5 若函数y ax b 1 a 0 且a 1 的图象经过二 三 四象限 则一定有 A 0 a 1 且b 0B a 1 且b 0 C 0 a 1 且b 0D a 1 且b 0 解析 作函数y ax b 1 的图象 答案 C 4 2004 年全国 理 6 函数y ex的图象 A 与y ex的图象关于y轴对称B 与y ex的图象关于坐标原点对称 C 与y e x的图象关于y轴对称D 与y e x的图象关于坐标原点对称 解析 图象法 答案 D 5 2004 年湖南 文 16 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 且a 1 的图象有两个公共点 则 a的取值范围是 解析 数形结合 由图象可知 0 2a 1 0 a 2 1 答案 0 a 2 1 6 函数y 2 1 22 2 xx 的递增区间是 解析 y 2 1 x在 上是减函数 而函数y x2 2x 2 x 1 2 1 的递减区间是 1 原函数的递增区间是 1 答案 1 典例剖析 例 1 下图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图象 则a b c d与 1 的 3 大小关系是 O x y 1 1 2 3 4 A a b 1 c dB b a 1 d c C 1 a b c dD a b 1 d c 剖析 可先分两类 即 3 4 的底数一定大于 1 1 2 的底数小于 1 然后再从 3 4 中 比较c d的大小 从 1 2 中比较a b的大小 解法一 当指数函数底数大于 1 时 图象上升 且当底数越大 图象向上越靠近于y轴 当底数大 于 0 小于 1 时 图象下降 底数越小 图象向右越靠近于x轴 得b a 1 d c 解法二 令x 1 由图知c1 d1 a1 b1 b a 1 d c 答案 B 例 2 已知 2 xx 2 4 1 x 2 求函数y 2x 2 x的值域 解 2 xx 2 2 2 x 2 x2 x 4 2x 即x2 3x 4 0 得 4 x 1 又 y 2x 2 x是 4 1 上的增函数 2 4 24 y 2 2 1 故所求函数y的值域是 16 255 2 3 例 3 要使函数y 1 2x 4xa在x 1 上y 0 恒成立 求a的取值范围 解 由题意 得 1 2x 4xa 0 在x 1 上恒成立 即a x x 4 21 在x 1 上恒 成立 又 x x 4 21 2 1 2x 2 1 x 2 1 x 2 1 2 4 1 当x 1 时值域为 4 3 a 4 3 评述 将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 已知f x ax g x logbx 且 lga lgb 0 a 1 b 1 则y f x 与y g x 的图象 A 关于直线x y 0 对称B 关于直线x y 0 对称 C 关于y轴对称D 关于原点对称 解析 lga lgb 0 ab 1 g x logbx loga 1x logax f x 与g x 的图象关于y x对称 答案 B 2 下列函数中值域为正实数的是 A y 5xB y 3 1 1 x C y 1 2 1 x D y x 21 4 解析 y 3 1 x的值域是正实数 而 1 x R R y 3 1 1 x的值域是正实数 答案 B 3 化简 3 4 2 1 4 1 3223 a b ba abba a 0 b 0 的结果是 解析 原式 3 1 2 2 1 3 1 2 2 3 a b ab abba 3 7 3 2 3 1 6 1 2 3 ba baba 3 7 3 2 3 4 6 10 ba ba b a 答案 b a 4 满足条件m 2 m mm 2的正数m的取值范围是 解析 m 0 当m 1 时 有m2 2m 即m 2 当 0 m 1 时 有m2 2m 即 0 m 1 综上所述 m 2 或 0 m 1 答案 m 2 或 0 m 1 5 2004 年湖北 理 7 函数f x ax loga x 1 在 0 1 上的最大值与最小值的和为a 则 a的值为 A 4 1 B 2 1 C 2 D 4 解析 f x 在 0 1 上是单调函数 由已知f 0 f 1 a 1 loga1 a loga2 a loga2 1 a 2 1 答案 B 6 已知 9x 10 3x 9 0 求函数y 4 1 x 1 4 2 1 x 2 的最大值和最小值 解 由 9x 10 3x 9 0 得 3x 1 3x 9 0 解得 1 3x 9 0 x 2 令 2 1 x t 则 4 1 t 1 y 4t2 4t 2 4 t 2 1 2 1 当t 2 1 即x 1 时 ymin 1 当t 1 即x 0 时 ymax 2 5 培养能力培养能力 7 若a2x 2 1 ax 2 1 0 a 0 且a 1 求y 2a2x 3 ax 4 的值域 解 由a2x 2 1 ax 2 1 0 a 0 且a 1 知 0 ax 2 1 令ax t 则 0 t 2 1 y 2t2 3t 4 借助二次函数图象知y 3 4 8 2004 年全国 18 解方程 4x 1 2x 11 解 当x 0 时 1 2x 0 原方程 4x 2x 10 0 2x 2 1 2 41 2x 2 1 2 41 0 无解 或 2x 2 1 2 41 1 知x 0 无 解 当x 0 时 1 2x 0 原方程 4x 2x 12 0 2x 2 1 2 7 2x 4 无解 或 2x 3 x log23 为原方程的解 探究创新探究创新 9 若关于x的方程 25 x 1 4 5 x 1 m 0 有实根 求m的取值范围 解法一 设y 5 x 1 则 0 y 1 问题转化为方程y2 4y m 0 在 0 1 内有实根 设f y y2 4y m 其对称轴y 2 f 0 0 且f 1 0 得 3 m 0 解法二 m y2 4y 其中y 5 x 1 0 1 m y 2 2 4 3 0 思悟小结 1 利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算 从而简化计算过程 2 指数函数y ax a 0 a 1 的图象和性质受a的影响 要分a 1 与 0 a 1 来研究 3 指数函数的定义重在 形式 像y 2 3x y 2 x 1 y 3 2 x y 3x 1 等函数都不符合形式 y ax a 0 a 1 因此 它们都不是指数函数 教师下载中心 教学点睛教学点睛 1 本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用 对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函 数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时 必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论 用好用活 指数函数单调性 是解决这一类问题的关键 2 对可化为a2x b ax c 0 或a2x b ax c 0 0 的指数方程或不等式 常借助换元法解决 但应 提醒学生注意换元后 新元 的范围 拓展题例拓展题例 例 1 若 60a 3 60b 5 求 12 1 2 1 b ba 的值 解 a log603 b log605 1 b 1 log605 log6012 1 a b 1 log603 log605 log604 b ba 1 1 12log 4log 60