高三数学第一轮复习：统计（二）（理）人教实验版（B）

高三数学第一轮复习 统计 二 高三数学第一轮复习 统计 二 理 人教实验版 理 人教实验版 B 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 高三复习专题 统计 二 二 考纲要求 1 变量的相关性 会作两个有关联变量数据的散点图 会利用散点图认识变量间的相关关系 了解最小二乘法的思想 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 2 统计案例 了解下列一些常见的统计方法 并能应用这些方法解决一些实际问 题 独立检验 了解独立性检验 只要求 2 2 列联表 的基本思想 方法及其简单应 用 回归分析 了解回归的基本思想 方法及其简单应用 三 知识分析 知识梳理 一 变量的相关性 1 变量与变量之间的关系常见的有两类 一类是确定的函数关系 另一类是变量间确实 存在关系 但又不具备函数关系所要求的确定性 它们的关系是带有随机性的 2 如果一个变量的值由小变大 另一个变量的值也由小变大 这种相关称为正相关 如 果一个变量的值由小变大时 另一个变量的值由大变小 这种相关称为负相关 3 在平面直角坐标系中 用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的图形叫散点图 4 回归直线方程 其中 ybxa aybx 二 统计案例 1 当时 有 95 的把握说事件 A 与 B 有关 2 3 841 当时 有 99 的把握说事件 A 与 B 有关 2 6 635 当时 认为事件 A 与 B 是无关的 2 3 841 2 其中 则直线就成为 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx aybx 11 11 nn ii ii xx yy nn yabx 此直线的线性回归方程 其中分别为 a b 的估计值 a b 3 相关系数 用它来衡 11 22 2222 1111 nn iiii ii nnnn iiii iiii xxyyx ynxy r xxyyxnxyny 量两个变量之间的线性相关程度 r 具有如下性质 1 1r 2 越接近于 1 的线性相关程度越强 r x y 3 越接近于 0 的线性相关程度越弱 r x y 对 r 进行显著性检验的步骤 1 提出统计假设 变量 x y 不具有线性相关关系 0 H 2 如果有 95 的把握作出推断 那么可以根据 1 0 95 0 05 与 n 2 在 数学 2 3 选修 附录 2 中查出一个 r 的临界值 其中 1 0 95 0 05 称为检验水平 0 05 r 3 计算样本相关系数 r 4 作出统计推断 若 则否定 表明有 95 的把握认为 x 与 y 之间具 0 05 rr 0 H 有线性相关关系 若 则没有理由拒绝原来的假设 即就自前数据而言 没 0 05 rr 0 H 有充分理由认为 y 与 x 之间有线性相关关系 要点解析 一 变量的相关性 1 对相关关系的理解应当注意以下两点 1 相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系 而函数关系可以看成是两个非随 机变量之间的关系 因此 不能把相关关系等同于函数关系 2 函数关系是一种因果关系 而相关关系不一定是因果关系 也可能是伴随关 系 例如 有人发现 对于在校儿童 鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系 然而 学 会新词并不能使脚变大 而是涉及到第三个因素 年龄 当儿童长大一些 他们的阅读 能力会提高 而且由于长大 脚也变大 2 在分析两个变量的相关关系时 可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相 关关系 然后利用最小二乘法求出回归直线方程 3 求线性回归方程的关键是求回归系数 a 和 b 其中回归系数 b 可借助于计 ybxa 算器完成 因为 即 所以点 一定满足线性回归方程 即aybx ybxa x y 回归直线一定过点 x y 4 求线性回归方程的步骤 1 先把数据制成表 从表中计算出 x y 222 12n xxx 的值 1122nn x yx yx y 2 计算回归系数 a b 3 写出线性回归方程 ybxa 二 统计案例 1 分析两个变量相关关系的常用方法 1 利用散点图进行判断 把样本数据表示的点在平面直角坐标系中作出 从而得到 散点图 如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近 那么就说这两个变量之 间具有线性相关关系 2 利用相关系数 r 来判断 而且越接近于 1 相关程度越大 越接近 1r r r 于 0 相关程度越小 2 对具有相关关系的两个变量进行统计分析时 首先进行相关性检验 在确认具有线性 相关关系后 再求回归直线方程 3 独立性检验的一般步骤 1 根据样本数据制成 2 2 列联表 2 根据公式 计算的值 2 2 11221221 1112212211211222 n n nn n nnnnnnnn 2 3 比较与临界值的大小关系作统计推断 2 典型例题典型例题 例 1 下列关系中 带有随机性相关关系的是 正方形的边长与面积之间的关系 水稻产量与施肥之间的关系 人的身高与年龄之间的关系 降雪量与交通事故的发生率之间的关系 解析 解析 两变量之间的关系有两种 函数关系与带有随机性的相关关系 正方形的边长与面积之间的关系是函数关系 水稻产量与施肥之间不是严格的函数关系 但是具有相关性 因而是相关关系 人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系 也不是相关关系 因为人的年龄达到 一定时期身高就不发生明显变化了 因而它们不具有相关关系 降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系 答案 答案 例 2 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y 万元 有如下的统计资料 使用年限 x23456 维修费用 y2 23 85 56 57 0 若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系 试求 1 线性回归方程的回归系数 abxy b a 2 估计使用年限为 10 年时 维修费用是多少 解析 解析 1 制表如下 i12345合计 i x 2345620 i y 2 23 85 56 57 025 iiy x 4 411 422 032 542 0112 3 2 i x 4916253690 5y 4x 5 1i ii 5 1i 2 i 3 112yx 90 x 于是有 b23 1 10 3 12 4590 545 3 112 2 08 0 423 1 5xbya 2 回归直线方程为 08 0 x23 1 y 当年时 10 x 万元 38 1208 0 3 1208 0 1023 1 y 即估计使用 10 年时 维修费用是 12 38 万元 例 3 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验 得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 x 之间相应的一组 观察值如下表 x s 5101520304050607090120 y m 610101316171923252946 1 画出表中数据的散点图 2 求 y 对 x 的回归直线方程 3 试预测腐蚀时间为 100s 时腐蚀深度是多少 分析 分析 1 将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点 便得到具有相关关系的两个 变量的一组数据的图形 即得散点图 2 按求线性回归方程的步骤和公式 写出线性回 归方程 3 利用回归方程分析 解析 解析 1 散点图如图 2 根据公式求腐蚀深度 y 对腐蚀时间 x 的回归直线方程的步骤如下 先把数据列成表 ii x i y 2 i x 2 i y iiy x 156253630 21010100100100 31510225100150 42013400169260 53016900256480 640171600289680 750192500361950 8602336005291380 9702549006251750 10902981008412610 11120461440021165520 合计51021436750542213910 计算的值 b a 由上表分别计算平均数得 y x 11 214 y 11 510 x 代入公式 xbya xnx yxnyx b n 1i 22 i n 1i ii 得 注意 不必把化为小数 以减小误差 y x 36 5 11 510 304 0 11 214 a 304 0 11 510 1136750 11 214 11 510 1113910 b 2 写出回归直线方程 腐蚀深度 y 对腐蚀时间 x 的回归直线方程为 36 5 x304 0 y 这里的回归系数 它的意义是 腐蚀时间 x 每增加一个单位 s 深度 y 增304 0 b 加 0 304 个单位 m 3 根据上面求得的回归直线方程 当腐蚀时间为 100s 时 m 76 3536 5 100304 0 y 即腐蚀深度大约是 m76 35 例 4 对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行了 3 年的 跟踪研究 调查他们是否又发作过心脏病 调查结果如下表所示 又发作过心脏病未发作心脏病合计 心脏搭桥手术39157196 血管清障手术29167196 合计68324392 试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别 解析 解析 假设做过心脏搭桥手术与又发作心脏病没有关系 由于 196ba 167d 29c 157b 39a 392n 324db 68ca 196dc 由公式可得的观测值为 2 78 1 32468196196 2915716739 392 db ca dc ba bcad n 2 2 2 因为 841 3 78 1 k 例 5 一个车间为了规定工时定额 需要确定加工零件所花费的时间 为此进行了 10 次 试验 测得的数据如下 1 y 与 x 是否具有相关关系 2 如果 y 与 x 具有相关关系 求回归直线方程 3 根据求出的回归直线方程 预测加工 200 个零件所用的时间为多少 解析 解析 1 列出下表 i12345678910 i x 102030405060708090100 i y 626875818995102108115122 iiy x 62013602250324044505700714086401035012200 7 91y 55x 9998 0 7 911087777 551038500 7 91551055950 y10y x10 x yx10yx r 55950yx 87777y 38500 x 22 10 1i 10 1i 22 i 22 i 10 1i ii 10 1i 10 1i ii 10 1i 2 i 2 i 因此 由于 因此 x 与 y 之间有很强的线性相关关系 因而可求回归直线765 0 9998 0 r 方程 2 设所求的回归直线方程为 axby 则有 210 1i 22 i 10 1i ii 551038500 7 91551055950 x10 x yx10yx b 668 0 96 5455668 07 91xbya 模拟试题模拟试题 1 为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性 甲 乙两位同学各自独立作了 10 次和 15 次试验 并且利用线性回归方法 求得回归直线分别为 已知两人所得的试验数 1 l 2 l 据中 变量 x 和 y 的数据的平均值都相等 且分别都是 那么下列说法正确的是 ts A 直线和一定有公共点 1 l 2 lt s B 直线和相交 但交点不一定是 1 l 2 l t s C 必有 21 l l D 必定重合 21 ll 与 2 由一组样本数据得到的回归直线方程为 那 y x y x y x nn2211 axby 么下面说法不正确的是 A 直线一定过点 axby y x B 直线至少经过点中的一点 axby y x y x y x nn2211 C 直线的斜率为 axby n 1i 2 2 i n 1i ii nxx ynxyx D 直线和各点的偏差是该 axby y x y x y x nn2211 n 1i 2 ii abx y 坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线 3 在研究吸烟与患肺癌的关系中 通过收集数据 整理分析数据得 吸烟与患肺癌有关 的结论 并且有 99 以上的把握认为这个结论是成立的 下列说法中正确的是 A 100 个吸烟者中至少有 99 人患有肺癌 B 1 个人吸烟 那么这个人有 99 的概率患有肺癌 C 在 100 个吸烟者中一定有患肺癌的人 D 在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 4 经过对的统计量的研究 得到了若干个临界值 当 2 706 时 我们认为事件 2 2 A 与 B A 有 95 的把握认为 A 与 B 有关 B 有 99 的把握认为 A 与 B 有关系 C 没有充分理由说明事件 A 与 B 有关系 D 不能确定 5 考察黄烟经过培养液处理与否跟发生青花病的关系 调查了 457 株黄烟 得到下表中 数据 培养液处理未处理合计 青花病25210235 无青花病80142222 合计105352457 根据表中数据可知 2 A 40 682B 31 64C 45 331D 41 61 6 在研究某种新药对鸡瘟的防治效果问题时 得到了以下数据 活鸡数死亡数合计 新措施13218150 对照11535150 合计24753300 以下结论正确的是 A 我们有 95 的把握认为新措施防治鸡瘟有效 B 我们没有充足的理由认为新措施防治鸡瘟有效 C 我们有 99 的把握认为新措施防治鸡瘟有效 D 我们有 95 的把握认为新措施防治鸡瘟无效 7 观察两个相关变量的如下数据 x1 2 3 4 5 54321 y 9 0 2 1 3 9 3 1 5 54 12 92 10 9 则两个变量间的回归直线方程为 A B 1x5 0y xy C D 3 0 x2y 1xy 8 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系 得出下面的数据表 出生时间 性别 晚上 白天 合计 男婴 20 30 50 女婴 9 21 30 A 密切相关B 没有必然的关系 C 有关系的概率为 50 D 有关系的概率为 95 9 某地区某种病的发病人数呈上升趋势 统计近四年这种病的新发病人数的线性回归分 析如下表所示 如果不加控制 仍按这个趋势发展下去 请预测从 2007 年初到 2010 年底 的四年时间里 该地区这种病的新发病人数约为 年份 i x该年新发病人数 i y 20032400 20042491 20052586 20062684 25 2540y 5 2003x 186623xbya 7 94 xnx yxnyx b n 1i 22 i n 1i ii 10 下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表 得病 不得病 合计 干净水 52 466 518 不干净水 94 218 312 合计 146 684 830 据表中数据我们可得出的统计分析推断是 11 下面是两个变量的一组数据 x12345678 y 1491625364964 则 x 与 y 两个变量之间的回归直线方程为 12 每立方米混凝土的水泥用量 x 单位 kg 与 28 天后混凝土的抗压强度 单位 之间的关系有如下数据 3 cm kg x150160170180190200210220230240250260 y 56 958 361 664 668 171 374 177 480 282 686 489 7 1 画出散点图 2 如果 y 与 x 之间具有线性相关关系 求回归直线方程 3 如果两种用量下的抗压强度相差 12 5 则水泥用量相差多少 13 关于两个变量 x 和 y 的一组数据如下表所示 x21232527293235 y 711212466115325 试判断 x 与 y 之间是否有线性相关关系 14 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y 万元 有如下的统计资料如 下表所示 使用年限 x23456 维修费用 y2 23 85 56 57 0 若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系 试求 1 线性回归方程的回归系数 axby a b 2 求残差平方和 3 求相关指数 2 R 4 估计使用年限时 维修费用是多少 试题答案试题答案 1 解析 由线性回归方程得直线经过定点 x y yxbaaxby 及 axby 故选 A 答案 A 2 解析 回归直线方程的得出与此直线是否过 axby 中的点无关 故选 B y x y x y x nn2211 答案 B 3 解析 本题主要考查对独立性检验的结果与实际问题的差异的理解 独立性检验的结 论是一个数学统计量 它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的 故选择 D 答案 D 4 答案 C 5 解析 根据公式 61 41 352105222235 2108014225 457 2 2 答案 D 6 解析 623 61811535132 300 2 2 因为 所以有 95 的把握认为新措施对防治鸡瘟有效 841 3 623 6 答案 A 7 解析 本题主要考查回归直线方程经过样本点的中心 因此只需求即可 y xy x 答案 B 8 解析 由公式得 811 0 50305129 9302120 80 2 2 因为 841 3 811 0 所以婴儿的性别与出生时间没有关系 答案 B 9 答案 11676 10 解析 由已知 21 54 684146312518 4669421852 830 2 2 由于 635 6 21 54 说明该地区的传染病与饮用不干净水是有关的 答案 该地区的传染病与饮用不干净水是有关的 11 解析 根据表中的数据 可以计算出有关数据 列成下表 序号 i x i y 2 i x iiy x 11111 22448 339927 44161664 552525125 663636216 774949343 886464512 362042041296 5 25204 8 1 y 5 436 8 1 x 有 155 49 5 25xbya 9 5 48204 5 255 481296 x8x yx8yx b 1296yx 204x 28 1i 22 i 8 1i ii i 8 1i i 8 1i 2 i 于是回归直线方程为 x915y 答案 x915y 12 解析 1 散点如图所示 则 304 0 205125186000 6 7220512182943 xnx yxnyx b 212 1i 22 i 12 1i ii 28 10205304 0 6 72xbya 所以所求的线性回归方程为 28 10 x304 0 y 3 设两种水泥用量为 则对应抗压强度为 21 x x 28 10 x304 0 y 28 10 x304 0 y 2211 由题意 5 12 xx 304 0 yy 2121 所以 12 41xx 21 即当两种水泥用量下的抗压强度相差 12 5 时 水泥用量相差 41 12kg 13 解析 4 27 353229272