高中数学《平面向量的实际背景及基本概念》教案3 新人教A版必修4

用心 爱心 专心1 课课 题 题 2 12 1 平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念 教学目的 教学目的 1 了解平面向量的实际背景 2 掌握向量的几何表示 3 理解向量的有关概念 4 逐步培养学生观察 分析 综合和类比能力和 知识重组 意识和 数形结合 能 力 教学重点 教学重点 向量的概念 相等向量的概念 向量的几何表示 教学难点 教学难点 向量的概念和共线向量的概念 授课类型 授课类型 新授课 授课方式 授课方式 讲授式 探究式 教教 具具 多媒体 实物投影仪 内容分析内容分析 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的 反过来 向量的理论和方法 又成 为解决物理学和工程技术的重要工具 向量之所以有用 关键是它具有一套良好的运算性 质 通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算 这样通过向量就能较容易地研究空 间的直线和平面的各种有关问题 向量不同于数量 它是一种新的量 关于数量的代数运算在向量范围内不都适用 因 此 本章在介绍向量概念时 重点说明了向量与数量的区别 然后又重新给出了向量代数 的部分运算法则 包括加法 减法 实数与向量的积 向量的数量积的运算法则等 之后 又将向量与坐标联系起来 把关于向量的代数运算与数量 向量的坐标 的代数运算联系起 来 这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法 向量法和坐标法 本章共分五大节 第一节是 平面向量的实际背景及基本概念 内容包括向量的物 理背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量 本节从物理学中的位移 力这些既有大小又有方向的量出发 抽象出向量的概念 并 重点说明了向量与数量的区别 然后介绍了向量的几何表示 向量的长度 零向量 单位 向量 平行向量 共线向量 相等向量等基本概念 在 向量的物理背景与概念 中介绍向量的定义 在 向量的几何表示 中 主要介 绍有向线段 有向线段的三个要素 向量的表示 向量与有向线段的区别与联系 向量的 长度 零向量 单位向量 平行向量 在 相等向量与共线向量 中 主要介绍相等向量 共线向量定义等 教学过程教学过程 一 引入一 引入 同学们都知道 数学是一门基础学科 是解决其它一些学科问题的有力工具 其实数 学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的 成为理论后又反过来对其它学科起作 用 比如同学们学习的物理 它与数学就有非常密切的关系 二 新授课二 新授课 一 向量的物理背景与概念 一 向量的物理背景与概念 提问 请同学们回忆在物理中所学习过哪些既有大小又有方向的量 用心 爱心 专心2 在现实生活中 我们会遇到很多量 其中一 些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来 如 长度 质量等 还有一些量 如我们在物理中所学 习的位移 力是一个既有大小又有方向的量 例如 物体受到的重力是竖直向下的 图2 1 1 物体的 质量越大 它受到的重力越大 物体在液体中受到 的浮力是竖直向上的 图 2 1 2 物体浸在液体 中的体积越大 它受到的浮力越大 被拉长的弹簧 的弹力是向左的 图 2 1 3 被压缩的弹簧的弹力是向右的 图 2 1 4 并且在弹性限度 内 弹簧拉长或压缩的长度越大 弹力越大 我们可以对位移 力我们可以对位移 力 这些既有大小又有方向的量进行抽象 形成一种新的量 这这些既有大小又有方向的量进行抽象 形成一种新的量 这 种量就是我们本章所要研究的种量就是我们本章所要研究的 向量 向量 向量是数学中的重要概念之一 向量和数一样也能进行运算 而且用向量的有关知识 还能有效地解决数学 物理等学科中的很多问题 在这一章 我们将学习向量的概念 运 算及其简单应用 这一节课 我们将学习向量的有关概念 向量的概念 向量的概念 我们把既有大小又有方向的量叫向量 物理学中常称为矢量 而把那些只有大小 没有方向的量如 年龄 身高长度 面积 体积 质量等 称 为数量 物理学中常称为标量 注意 注意 1 数量与向量的区别 数量只有大小 是一个代数量 可以进行代数运算 比较 大小 向量有方向 大小 双重性 不能比较大小 二 向量的几何表示 二 向量的几何表示 引入 引入 由于实数与数轴上的点一一对应 所以数量常常用数轴上的一个点表示 而且不 同的点表示不同的数量 对于向量 我们常用带箭头的线段 有向线段有向线段来表示 线段按一定比例 标度 画 出 它的长短表示向量的大小 箭头的指向表示向量的方向 有向线段 有向线段 带有方向的线段叫有向线段 如图 我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向 以 A 为起点 B 为终点的有向线段记作AB 起点写在终点的前面 已知AB 线段 AB 的长度也叫做有向线段AB的长度 记作AB 有向线段的三要素 有向线段的三要素 起点 方向 长度 知道了有向线段的起点 方向和长度 它的 终点就唯一确定 向量的表示方法 向量的表示方法 几何表示 几何表示 用有向线段表示 字母表示 字母表示 用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如 CDAB 用字母a b c等表示 问题问题 1 1 向量就是有向线段 有向线段就是向量 的说法对吗 提问 向量是自由向量 只有大小和方向两个要素 与起点无关 只要大小和方向相同 则这两个向量就是相同的向量 有向线段有起点 大小和方向三个要素 起点不同 尽管大小和方向相同 也是不同 的有向线段 A 起点 B 终点 用心 爱心 专心3 向量的长度 或称模 向量的长度 或称模 向量AB的大小 也就是向量AB的长度长度 或称模模 记作AB 零向量 单位向量概念 零向量 单位向量概念 长度为 0 的向量叫零向量 记作0 注意0与 0 的区别 及书写方法 长度等于 1 个单位的向量 叫单位向量 说明 零向量 单位向量的定义都是只限制大小 不确定方向 例例 1 1 如图 2 1 6 试根据图中的比例尺以及三地的位置 在图中分别用向量表示 A 地至 B C 两地的位移 并求出 A 地至 B C 两地的实际距离 精确到 1km 解 AB表示 A 地至 B 地的位移 且 AB 240km AC表示 A 地至 C 地的位移 且 AC 300km 三 平行向量 共线向量与相等向量 三 平行向量 共线向量与相等向量 平行向量定义 平行向量定义 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 我们规定0与任一向量平行 说明 1 综合 才是平行向量的完整定义 2 向量cba 平行 记作cba 共线向量定义 共线向量定义 平行向量也叫做共线向量 这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上 说明 1 平行向量可以在同一直线上 要区别于两平行线的位置关系 2 共线向量可以相互平行 要区别于在同一直线上的线段的位置关系 相等向量定义 相等向量定义 长度相等且方向相同的向量叫相等向量相等向量 说明 1 向量a与b相等 记作ba c b a 用心 爱心 专心4 2 零向量与零向量相等 3 任意两个相等的非零向量 都可用同一条有向线段来表示 并且与有向线段的起点无 关 在平面上 两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量 因为向量完全由它 的方向和模确定 问题问题 2 2 两个向量是否可以比较大小 向量不能比较大小 我们知道 长度相等且 方向相同的两个向量表示相等向量 但是两个向量之间只有相等关系 没有大小之分 对 于向量a b ba 或ba 这种说法是错误的 例例 2 2 判断下列命题是否正确 若不正确 请简述理由 向量AB与CD是共线向量 则A B C D四点必在一直线上 单位向量都相等 若AB DC 则四边形ABCD是平行四边形 若一个向量的模为 0 则该向量的方向不确定 共线的向量 若起点不同 则终点一定不同 解 不正确 共线向量即平行向量 只要求方向相同或相反即可 并不要求两个向量AB AC在同一直线上 不正确 单位向量模均相等且为 1 但方向并不确定 不正确 正确 不正确 如图AC与BC共线 虽起点不同 但其终点却相同 评述 本题考查基本概念 对于零向量 单位向量 平行向量 共线向量的概念特征 及相互关系必须把握好 三 练习三 练习 1 下列各量中不是向量的是 A 浮力 B 风速 C 位移 D 密度 2 下列说法中错误的是 A 零向量是没有方向的 B 零向量的长度为 0 C 零向量与任一向量平行 D 零向量的方向是任意的 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点 那么这些向量的终点所构成的图形是 A 一条线段 B 一段圆弧 C 圆上一群孤立点 D 一个单位圆 4 已知非零向量ba 若非零向量ac 则c与b必定 5 已知a b是两非零向量 且a与b不共线 若非零向量c与a共线 则c与b必定 6 设在平面上给定了一个四边形ABCD 点K L M N分别是AB