高中数学 推理与证明 板块二 直接证明与间接证明完整讲义（学生版）

用心 爱心 专心1 学而思高中完整讲义 统计学而思高中完整讲义 统计 板块一板块一 随机抽样随机抽样 学生版学生版 典例分析 题型一 综合法 例 1 若 则下列结论不正确的是 11 0 ab 22 ab 2 abb 2 ba ab abab 例 2 如果数列是等差数列 则 n a A B 1845 aaaa 1845 aaaa C D 1845 aaaa 1845 a aa a 例 3 在 ABC 中若 则 A 等于 2 sinbaB A B C D 00 3060或 00 4560或 00 60120或 00 30150或 例 4 下列四个命题 若 则 若 则 1 0 2 a cos 1cos 1aa 01a 1 1a 若 x yR 满足 则的最小值是 若1a 2a 2 yx 2 log22 xy 7 8 a bR 则 其中正确的是 22 1ababab A B C D 例 5 下面的四个不等式 cabcabcba 222 4 1 1 aa 其中不成立的有2 a b b a 2 2222 bdacdcba A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 例 6 已知且 则在 a bR 0a b ab ba 2 22 2 b a a b 这四个式子中 恒成立的个数是 2 2 ba ab 2 2 22 2 baba 用心 爱心 专心2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 例 7 已知均大于 1 且 则下列各式中 一定正确的是 cba 4loglog c b c a A B C D bac cab abc cab 例 8 已知不等式对任意正实数 x y 恒成立 则正实数 a 的最小值 1 9 a xy xy 是 A 2B 4C 6D 8 例 9 为锐角 则 a b 之间关系为 sina sinsinb A B C D 不确定ab ba ab 例 10 设 M 是内一点 且内一点 且 定义 定义 ABC 2 3AB AC 30BAC f Mm n p 其中 m n p 分别是 的面积 若 则MBC MCA MAB 1 2 f Px y 的最小值是 14 xy A 8 B 9 C 16 D 18 例 11 若函数是偶函数 则 32 1 2 mxxmy 4 3 f a R 的大小关系是 1 2 aaf 4 3 f 1 2 aaf 例 12 设 cba cbacba 111 1 0 0 0则若 例 13 函数在 0 2 上是增函数 函数是偶函数 则 yf x 2yf x 1f 的大小关系是 2 5f 3 5f 例例 14 已知 向量的 夹角为 则 5 2 ba ba 与 0 120aba 2 例 15 定义运算 例如 则函数的最 aab a b bab 1 21 2 1 f xxx 用心 爱心 专心3 大值为 例 16 若 且恒成立 则的最大值是 cba Nn ca n cbba 11 n 例 17 已知集合 M 是满足下列条件的函数 f x 的全体 当时 函数值为非负实数 0 x 对于任意的 都有 0 s t f sf tf st 在三个函数中 属于集合 M 的是 1ln 12 321 xxfxfxxf x 例 18 给出下列四个命题 若 则 0ab 11 ab 若 则 0ab 11 ab ab 若 则 0ab 2 2 aba abb 若 且 则的最小值为 9 0a 0b 21ab 21 ab 其中正确命题的序号是 把你认为正确命题的序号都填上 例 19 如图 在直四棱柱 A1B1C1D1 ABCD 中 当底面四边形 ABCD 满足条件 或任何能推导出这个条件的其他条件 例如 ABCD 是正方形 菱形等 时 有 A1C B1D1 注 填上你认为正确的一种条件即可 不必考虑所有可能的情 形 图 例 20 用一根长为 12m 的铝合金条做成一个 目 字形窗户的框架 不计损耗 要 用心 爱心 专心4 使这个窗户通过的阳光最充足 则框架的长与宽应为 例 21 若 求证 0a b c abcabc bca acb 例 22 若 求证 a b c R 3 a b c abb a b cabc 例 23 已知 a b c 是全不相等的正实数 求证 3 c cba b bca a acb 例 24 证明 已知 求证 0 0 baba a b b a 例 25 已知求的最大值 0 2 2 sincosy 例 26 设 求证 0 10 2 yxa 8 1 loglog 2 a aa a yx 例 27 某公司一年购买某种货物 400 吨 每次都购买吨 运费为 4 万元 次 一年x 的总存储费用为万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则 4xx 吨 例 28 在锐角三角形中 求证 ABCCBACBAcoscoscossinsinsin 题型二 分析法 例 29 设 则 x 与 y 的大小关系为 mn 43 xmm n 34 yn mn A B C D xy xy xy xy 例 30 已知 则正确的结论是 1 1 1cacc bcc A B C D a b 大小不定ab ab ab 用心 爱心 专心5 例 31 设 a b m 都是正整数 且 a b 则下列不等式中恒不成立的是 A B 1 aam bbm aam bbm D D 1 aam bbm 1 bmb ama 例 32 已知 且 则不能等于 f xyf xfy 12f 12fff n A f 1 2f 1 nf 1 B 1 2 n n f C n n 1 D n n 1 f 1 例 33 的大小关系是 75226 与 例 34 在十进制中 那么在 5 进制中数码 0123 20044 100 100 102 10 2004 折合成十进制为 例 35 设 那么 P Q R 的大小顺序是 26 37 2 RQP 例 36 有甲 乙 丙 丁四位歌手参加比赛 其中只有一位获奖 有人走访了四位 歌手 甲说 是乙或丙获奖 乙说 甲 丙都未获奖 丙说 我获 奖了 丁说 是乙获奖 四位歌手的话只有两句是对的 则获奖的歌手 是 例 37 若是 的三边长 求证 a b c ABC 444222222 2 abca bb cc a 例 38 ABC 的三个内角 A B C 成等差数列 求证 cbacbba 311 例 39 用分析法证明 若 a 0 则 2 1 2 1 2 2 a a a a 用心 爱心 专心6 例 40 设若函数与的图象关于轴对称 求 acbxaxxf 0 2 1 xf xf 证为偶函数 2 1 xf 例 41 自然状态下鱼类是一种可再生资源 为持续利用这一资源 需从宏观上考察 其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响 用表示某鱼群在第年年初的 n xn 总量 且 0 不考虑其它因素 设在第年内鱼群的繁殖量及捕 Nn 1 xn 捞量都与成正比 死亡量与成正比 这些比例系数依次为正常数 n x 2 n xcba 求与的关系式 1 n x n x 猜测 当且仅当 满足什么条件时 每年年初鱼群的总量保持 1 xcba 不变 不要求证明 例 42 设函数 sin Rxxxxf 1 证明 Zkxkxfkxf sin2 2 2 设为的一个极值点 证明 0 x xf 2 0 4 02 0 1 x x xf 例 43 已知二次函数 cbxaxxf 2 1 若且 证明 的图像与 x 轴有两个相异交点 cba 01 f xf 2 证明 若对 且 则方程 1 x 2 x 12 xx 21 xfxf 必有一实根在区间 内 2 21 xfxf xf 1 x 2 x 3 在 1 的条件下 是否存在 使成立时 为正数 Rm amf 3 mf 题型三 反证法 用心 爱心 专心7 例 44 下列表中的对数值有且仅有一个是错误的 x358915 xlgba 2ca ca333 ba24 13 cba 请将错误的一个改正为 lg 例 45 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于 60 度 时 反设正 确的是 A 假设三内角都不大于 60 B 假设三内角都大于 60 C 假设三内角至多有一个大于 60 D 假设三内角至多有两个大于 60 例 46 已知 2 关于 p q 的取值范围的说法正确的是 33 qp A 一定不大于 2 B 一定不大于 22 C 一定不小于 D 一定不小于 222 例 47 否定结论 至多有两个解 的说法中 正确的是 A 有一个解 B 有两个解 C 至少有三个解 D 至少有两个 解 例 48 设大于 0 则 3 个数 的值 a b c 1 a b 1 b c 1 c a A 都大于 2 B 至少有一个不大于 2 C 都小于 2 D 至少有一个不小于 2 例 49 已知 l a b 若 a b 为异面直线 则 A a b 都与 l 相交 B a b 中至少一条与 l 相交 C a b 中至多有一条与 l 相交 D a b 都与 l 相交 例 50 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于 60 时 反设正确 的是 A 假设三内角都不大于 60 度 B 假设三内角都大于 60 度 C 假设三内角至多有一个大于 60 度 D 假设三内角至多有两个大于 60 度 例 51 命题 关于 x 的方程的解是唯一的 的结论的否定是 0 0 aax 用心 爱心 专心8 A 无解 B 两解 C 至少两解 D 无解或至少两解 例 52 用反证法证明命题 如果那么 时 假设的内容应为 ab 33 ab 例 53 用反证法证明 求证 中至少有一 2 f xxpxq 1 2 3 fff 个不小于 时的假设为 1 2 例 54 用反证法证明 若 0 则 时的假设为 ba ba ba 2 1 2 1 例 55 用反证法证明命题 可以被 5 整除 那么中至少有一个能被 5abNba ba 整除 那么假设的内容是 例例 56 证明 不能为同一等差数列的三项 5 3 2 例 57 对于直线 l y kx 1 是否存在这样的实数 k 使得 l 与双曲线 C 3x y 1 的交点 A B 关于直线 y ax a 为常数 对称 若存在 求出 22 k 的值 若不存在 请说明理由 例 58 已知 求证 33 2a bab R 2ab 例 59 若均为实数 且 cba 6 2 3 2 2 2 222 xzczybyxa 求证 中至少有一个大于 0 cba 例 60 求证 形如的正整数不能写成两个整数的平方和43n 例 61 若 0 1 a1 1 a n n n a a a 1 2 1 21n 1 求证 nn aa 1 用心 爱心 专心9 2 令 写出 的值 观察并归纳出这个数列的通 2 1 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 项公式 n a 3 证明 存在不等于零的常数 p 使是等比数列 并求出公比 q 的 n n a pa 值 例 62 设 函数在上是单调函数 0a 3 f xxax 1 1 求实数的取值范围 a 2 设 1 1 且 求证 0 x xf 00 xxff 00 xxf 例 63 设集合由满足下列两个条件的数列构成 W n a 2 1 2 nn n aa a 存在实数 使 为正整数 M n aM n 在只有项的有限数列 中 其中5 n a n b 12345 1 2 3 4 5aaaaa 试判断数列是否为集合的元素 12345 1 4 5 4 1bbbbb nn abW 设是各项为正的等比数列 是其前项和 n c n Sn 3 1 4 c 3 7 4 S 证明数列 并写出的取值范围 n SW M 设数列且对满足条件的的最小值 都有 n dW M 0 M nn dMn N 求证 数列单调递增 n d 例 64 设是定义在上的函数 若存在 使得在上单 f x 1 0 x 1 0 f x 0 x 调递增 在上单调递减 则称为上的单峰函数 为峰点 1 x f x 1 0 x 包含峰点的区间为含峰区间 对任意的上的单峰函数 下面研究 1 0 f x 用心 爱心 专心10 缩短其含峰区间长度的方法 1 证明 对任意的 若 则为含 21 x x 1 0 21 xx 21 xfxf 0 2 x 峰区间 若 则为含峰区间 21 xfxf 1 1 x 2 对给定的 证明 存在 满足 使得 5 00 rr 21 x x 1 0 rxx2 12 由 1 所确定的含峰区间的长度不大于 r 5 0 3 选取 由 1 可确定含峰区间或 在所 21 x x 1 0 21 xx 0 2 x 1 1 x 得的含峰区间内