高中数学对称与对称问题专题复 习新课标人教A版必修2

1 对称与对称问题对称与对称问题 对称和对称问题在高中数学课本中虽然没有专门研究 但在高中数学中多处出 现 纵观历届高考试题对称问题频频考查 应引起我们足够重视 下面对这类问题的解法作了一点归纳 供同学们参考 一 对称的基本问题举例一 对称的基本问题举例 1 1 点关于点的对称点问题 点关于点的对称点问题 点关于点的对称问题是最基本对称 是解答其它对称问题的基础 利用中点坐标公式 点 yx关于原点 0 0 的对称点为 yx 点 yx关于点 ba的对称点为 2 2 ybxa 曲线0 yxf关于点 ba的对称曲线为0 2 2 ybxaf 例 1 已知点 1 4 8 5 BA 试求 A 点关于 B 点的对称点 C 的坐标 略解 6 3 C 2 2 直线关于点的对称直线问题 直线关于点的对称直线问题 直线0 CByAx关于点 ba的对称直线为0 2 2 CybBxaA 特殊地 直线0 CByAx关于原点 0 0 的对称直线为0 CyBxA 例 2 求直线043 yx关于点 1 2 P对称的直线l方程 略解 04 1 2 22 3 yx整理得0103 yx 3 3 点关于直线的对称点问题 点关于直线的对称点问题 常见的点关于直线的对称点坐标之间关系 在此再强调一次必须记熟 点 baA关于 x 轴的对称点为 baA 点 baA关于 y 轴的对称点为 baA 点 baA关于直线 y x 的对称点为 ab A 点 baA关于直线 y x 的对称点为 abA 点 baA关于直线 x m 的对称点为 2 bamA 点 baA关于直线 y n 的对称点为 2 bnaA 点 baA关于直线0 CByAx的对称点 A 的求法 令 yx A 则有 0 22 1 C by B ax A B A ax by 解此方程组 可得对称点 A 的坐标 点与对称点的中点在已知直线上 点与对称点连线的 斜率是已知直线斜率的负倒数 仅指斜率存在的情况 如斜率不存在时较简单 例 3 求点 2 2 A关于直线0942 yx的对称点坐标 解 设 yx A 是点 2 2 A关于直线0942 yx的对称点 则有 baA yx A 2 2 byax P 2 09 2 2 4 2 2 2 1 4 2 2 2 yx x y 解得 4 1 y x 所以对称点坐标为 4 1 4 4 直线关于直线的对称直线问题 直线关于直线的对称直线问题 常见的直线关于直线的对称直线关系 直线0 CByAx关于 x 轴的对称直线为直线0 CyBAx 直线0 CByAx关于 y 轴的对称直线为直线0 CByxA 直线0 CByAx关于 y x 的对称直线为直线0 CBxAy 直线0 CByAx关于 y x 的对称直线为直线0 CxByA 直线0 CByAx关于0 ayx的对称直线为直线0 CaxBayA 直线0 CByAx关于0 ayx的对称直线为直线0 CaxBayA 直线 1 l关于直线l的对称直线 2 l的一般求法 1 先求出 1 l与l的交点P 则该交点在直线 2 l上 2 再用 到角公式 kk kk kk kk 1 1 2 2 11 其中 21 kkk分别为 1 l l 2 l的斜率 求出k的 值 例 4 已知直线 0 22 01 1 yxlyxl若直线 2 l与 1 l关于 直线l对称 则 2 l的方程是 高端教学高考回览 2 A 012 yx B 012 yx C 01 yx D 012 yx 略解 1 2 l的方程是 0 2 1 1 2 xy选 B 略解 2 1 交点坐标 0 1 P 2 21 12 1 1 2 2 k k 解得 2 1 2 k 二 有关光的入射线 反射线问题二 有关光的入射线 反射线问题 例 5 光线沿直线052 1 yxl射入 遇直线 0723 yxl后反射 求反射光线所在的直线方程 略解 1 交点坐标 2 1 P 2 2 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 2 2 k k 解得 2 29 2 k 根据点斜式可得 反射光线所在的直线方程为 0 33229 yx 例 6 光线从点 A 2 4 射出 经直线072 yxl反射 若反射光线过点 B 5 8 求 1 反射光线所在直线方程 2 光线从 A 到 B 经过的路程 S 高端教学例 3 之变式 综合拓展 略解 1 点 A 2 4 关于直线072 yxl的对称点 2 10 A 根据两点式可得反 射光线所在直线方程为 0182 yx 1 ll 2 l P 入射线入射线 反射线反射线 3 2 55 BAS 三 对称问题的应用 高端教学三 对称问题的应用 高端教学 创新思维篇 创新思维篇 立意立意 利用直线的对称知识及三角形三边的关系求距离的最值 探究探究 求满足下列条件的点及最大 最小值 1 已知点 A 3 5 B 2 15 试在直线0443 yxl上找一点 P 使 PA PB 最 小 并求出最小值 2 已知点 A 4 1 B 0 4 试在直线043 yxl上找一点 P 使 PA PB 的绝对 值最大 并求出最大值 略解 1 点 A 3 5 关于直线0443 yxl的对称点 3 3 A 直线05118 yxBA 解方程组 0443 05118 yx yx 得 3 3 8 P 此时135 BAPBAPPBPA为所求最小值 若在直线l上任取异于P点的任意点 P 则由 BABPAPBPAP 三角形两边之和大于第三边 知只有所求的P点满足题意 2 2 2