高中数学 2.1.2《椭圆的几何性质》教案（5） 湘教版选修1-1VIP

1 第五课时第五课时 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 教学目标教学目标 1 掌握椭圆的几何性质 掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系 2 熟练地求弦长 面积 对称等问题 3 培养对数学的理解能力及分析问题 解决问题的能力 教学过程教学过程 1 1 复习回顾 复习回顾 椭圆的定义 几何性质 判断直线与圆的位置关系的方法 2 探索研究 直线与椭圆的位置关系 坐标法 围绕直线与椭圆的公共点展开的 将直线方程与椭圆方 程组成方程组 消元后得到一个一元二次方程 当 0 时 直线与椭圆相切 当 0 时 直线与椭圆相交 当 0 时 直线与椭圆相离 3 反思应用 例 1 当 m 为何值时 直线 l y x m 与椭圆 9x2 16y2 144 相切 相交 相离 分析 将直线方程 y x m 代入椭圆 9x2 16y2 144 中 得 9x2 16 x m 2 144 整理 得 25x2 32mx 16m2 144 0 32m 2 4 25 16m2 144 576m2 14400 当 0 即 m 5 时 直线与椭圆相切 当 0 即 5 m 5 时 直线与椭圆相交 当 0 即 m 5 或 m 5 时 直线与椭圆相离 例 2 已知斜率为 1 的直线 l 经过椭圆 x2 4y2 4 的右焦点交椭圆于 A B 两点 求弦长 AB 分析 设 A x1 y1 B x2 y2 由椭圆方程知 a2 4 b2 1 c2 3 右焦点 0 3 F 直线 l 的方程为3 xy 代入椭圆得08385 2 xx 5 8 8 2 2 5 8 5 38 21 2 21122121 xxxxxxABxxxx 小结 弦长公式 1 12 2 xxkAB 例 3 过椭圆 x2 16 y2 4 1 内一点 M 2 1 引一条弦 AB 使 AB 被点 M 平分 求弦 AB 所在 直线的方程 解一 当弦 AB 的斜率不存在时 弦 AB 的方程为 x 2 不合题意舍去 设弦 AB 所在直线的方程为 y 1 k x 2 代入椭圆方程并整理得 4k2 1 x2 8 2k2 k x 4 k2 1 2 16 0 又设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2为 方程的两个根 于是 14 2 4 2 2 21 k kk xx 又 M 为 AB 的中点 2 14 2 2 2 2 2 21 k kkxx 解之得 k 1 2 故所求弦 AB 的方程是 x 2y 4 0 解二 设 A x1 y1 B x2 y2 M 2 1 为 AB 的中点 x1 x2 4 y1 y2 2 又 A B 两点在椭圆上 x12 4y12 16 x 22 4y22 16 两式相减得 2 x12 x22 4 y12 y22 0 2 1 2 1 4 21 21 21 21 AB k yy xx xx yy 故所求弦 AB 的方程是 x 2y 4 0 解三 设 A x y 由 M 2 1 为 AB 的中点得 B 4 x 2 y A B 两点在椭圆上 x2 4y2 16 4 x 2 4 2 y 2 16 两式相减得 x 2y 4 0 由于过 A B 的直线只有一条 故所求弦 AB 的方程是 x 2y 4 0 小结 解一常规解法 解二是解决有关中点弦问题的常用方法 解三利用曲线系解题 例 4 试确定实数 m 的取值范围 使椭圆 x2 4 y2 3 1 上存在两点关于直线 l y 2x m 对称 解一 设存在 A x1 y1 B x2 y2 关于直线 l y 2x m 对称 故可设直线 AB 的方程为 y 2x t 代入椭圆方程 x2 4 y2 3 1 并整理得 x2 tx t2 3 0 则 t2 4 t2 3 0 解得 2 t 2 x1 x2 t AB 的中点 M 为 t 2 3t 4 M 在直线 l 上 3t 4 2t 2 m 即 m t 4 从而 1 2 m 1 2 解二 设存在 A x1 y1 B x2 y2 关于直线 l y 2x m 对称 则 AB l 且 AB 的中点 M 在 l 上 设 AB 的中点 M x0 y0 则 x1 x2 2x0 y1 y2 2y0 又 A B 两点在椭圆上 3x12 4y12 12 3x 22 4y22 12 两式相减得 3 x12 x22 4 y12 y22 0 4 3 4 3 2 1 0 0 21 21 21 21 y x yy xx xx yy 即 y0 3x0 2 又 y0 2x0 m 解得 x0 2m y0 3m 点 M 在椭圆内 1 34 2 0 2 0 yx 即 m2 3m2 1 解得 1 2 m 1 2 例 5 椭圆中心在坐标原点 焦点在 x 轴上 2 3 e 过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆于 P Q 两点 且 PQ 20 9 OP OQ 求此椭圆的方程 解 设椭圆方程为 x2 a2 y2 b2 1 a b 0 左焦点 F c 0 当 PQ x 轴时 FP FQ b2 a 由 OP OQ 知 FO FQ 即 c b2 a ac a2 c2 即 e2 e 1 0 解得 2 15 2 15 ee 这与条件2 3 e不符 PQ 不垂直 x 轴 设 PQ y k x c P x1 y1 Q x2 y2 2 3 e 设 a 2t tc3 则 b t 椭圆方程可化为 x2 4y2 4t2 t 0 将直线 PQ 的方程代入椭圆方程得 041238 41 222222 ttktxkxk 则 x1 x2为方程的根 3 2 222 21 2 2 21 41 412 41 38 k ttk xx k tk xx OP OQ x1x2 y1y2 0 即0 3 3 2121 txktxkxx 整理得 03 3 1 22 21 2 21 2 tkxxtkxxk 03 41 24 41 412 1 22 2 24 2 2222 tk k tk k ttkk 整理得 k2 4 11 此时 9 4 27 332 2 21 21 t xx t xx PQ 20 9 9 20 1 12 2 xxk 即1 9 20 9 16 27 332 11 4 1 2 2 t tt 所以所求椭圆方程为 x2 4 y2 1 4 归纳总结 数学思想 数形结合 函数与方程 知识点 直线与椭圆的位置关系 弦长公式 中点弦问题 对称问题 作业 1