高中数学数列的概念与简单的表示方法新人教A版必修5

数列的概念及表示方法数列的概念及表示方法 一 知识点回顾 一 知识点回顾 1 数列的概念 数列是按一定的顺序排列的一列数 在函数意义下 数列是定义域为正整数 N 或其子集 1 2 3 n 的函数 f n 数列的一般形式为 a1 a2 an 简记为 an 其中 an是数列 an 的第 项 2 数列的通项公式 一个数列 an 的 与 之间的函数关系 如果可用一个公式 an f n 来表 示 我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式 3 在数列 an 中 前 n 项和 Sn与通项 an的关系为 n a 2 1 n n an 4 求数列的通项公式的其它方法 公式法 等差数列与等比数列采用首项与公差 公比 确定的方法 观察归纳法 先观察哪些因素随项数 n 的变化而变化 哪些因素不变 初步归纳出公式 再取 n 的特珠值进行检验 最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 递推关系法 先观察数列相邻项间的递推关系 将它们一般化 得到的数列普遍的递推 关系 再通过代数方法由递推关系求出通项公式 二 典型例题 例例 1 1 根据下面各数列的前 n 项的值 写出数列的一个通项公式 31 2 53 4 75 8 97 16 1 2 6 13 23 36 1 1 2 2 3 3 解 解 an 1 n 12 12 12 nn n an 673 2 1 2 nn 提示 a2 a1 1 a3 a2 4 a4 a3 7 a5 a4 10 an an 1 1 3 n 2 3n 5 各式相加得 673 2 1 43 1 2 1 1 53 10741 1 2 nn nn nan 将 1 1 2 2 3 3 变形为 2 13 2 02 2 11 2 06 2 15 2 04 4 1 12 2 2 1 1 1 1 n n n n n a 变式训练变式训练 1 1 某数列 an 的前四项为 0 2 0 2 则以下各式 an 2 2 1 1 n an n 11 an 0 2 为为为 为为为 n n 其中可作为 an 的通项公式的是 A B C D 解解 D 例例 2 2 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 求通项 Sn 3n 2 Sn n2 3n 1 解解 an Sn Sn 1 n 2 a1 S1 解得 an 1 1 2 32 1 n n n an 2 22 1 5 nn n 例例 3 3 根据下面数列 an 的首项和递推关系 探求其通项公式 a1 1 an 2an 1 1 n 2 a1 1 an 1 1 3 n n a n 2 a1 1 an 1 1 n a n n n 2 解 解 an 2an 1 1 an 1 2 an 1 1 n 2 a1 1 2 故 a1 1 2n an 2n 1 an an an 1 an 1 an 2 a3 a2 a2 a1 a1 3n 1 3n 2 33 3 1 13 2 1 n 3 n n a a n n 1 1 an 1 21 1 1 2 3 2 2 1 1 n n n n a a a a a a a a a n n n n n n nn n1 1 2 1 2 3 变式训练变式训练 3 3 已知数列 an 中 a1 1 an 1 2 2 n n a a n N 求该数列的通项公式 解 方法一解 方法一 由 an 1 2 2 n n a a 得 2 111 1 nn aa n a 1 是以1 1 1 a 为首项 2 1 为公差的等差数列 n a 1 1 n 1 2 1 即 an 1 2 n 方法二 方法二 求出前 5 项 归纳猜想出 an 1 2 n 然后用数学归纳证明 例例 4 4 已知函数 xf 2x 2 x 数列 an 满足 log2 n af 2n 求数列 an 通项公式 解 解 naf n a n a n 222 log 2 log 2 log 2 n a a n n 2 1 得nnan 1 2 变式训练变式训练 4 4 知数列 an 的首项 a1 5 前 n 项和为 Sn且 Sn 1 2Sn n 5 n N 1 证明数列 an 1 是等比数列 一 选择题 一 选择题 1 数列 1 3 6 10 的一个通项公式是 A n2 n 1B 2 1 nn C n n 1 D 2 1 nn 2 已知数列的通项公式为an n n 1 则下述结论正确的是 A 420 是这个数列的第 20 项B 420 是这个数列的第 21 项 C 420 是这个数列的第 22 项D 420 不是这个数列中的项 3 在数列 an 中 已知a1 1 a2 5 an 2 an 1 an 则a2000 A 4B 5C 4D 5 4 设数列 an 的首项为 1 对所有的n 2 此数列的前n项之积为n2 则这个数列的 第 3 项与第 5 项的和是 A 9 25 B 25 21 C 16 61 D 275 256 5 在数列 an 中 cba cbn an an其中 均为正实数 则an与 1 n a的大小关系是 A an 1 n aC an 1 n aD 不能确定 6 数列 an 的前n项和 22 2 2 1 12 n n n aaaS 则 A 2n 1 2B 3 1 2n 1 C 4n 1D 3 1 4n 1 二 填空题 二 填空题 7 数列 an 中 a1 3 an 1 an 2n 3 则an 8 已知数列 an 满足 a1 1 an an 1 an 2 a2 a1 n 2 则该数列的通项公式 an 9 已知 an 的前n项和 Sn n2 4n 1 则 a1 a2 a10 的值为 10 已知 an 中 a1 1 an 1 12 1 1 n a a n n 则a12 三 解答题三 解答题 11 已知数列 an 的前n项和为pnnSn 2 数列 bn 的前n项和为 Tn 3n2 2n 1 I 若a10 b10 求 p 的值 II 取数列