高中数学 4.1.2圆的一般方程学案 新人教A版必修2

用心 爱心 专心 1 圆的一般方程圆的一般方程 1 圆的一般方程的特征 2 与标准方程的互化 3 用待定系数法求圆的方程 4 求与圆有关的点的轨迹 例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程 如果是 请求出圆的圆心及半径 1 4x2 4y2 4x 12y 9 0 2 4x2 4y2 4x 12y 11 0 解析 1 将原方程变为 x2 y2 x 3y 9 4 0 D 1 E 3 F 9 4 D2 E2 4F 1 0 此方程表示圆 圆心 1 2 3 2 半径r 1 2 2 将原方程化为 x2 y2 x 3y 11 4 0 D 1 E 3 F 11 4 D2 E2 4F 1 0 此方程不表示圆 例 2 求过三点A 0 0 B 1 1 C 4 2 的圆的方程 并求这个圆的半径长和圆 心坐标 分析 据已知条件 很难直接写出圆的标准方程 而圆的一般方程则需确定三个系数 而条件恰给出三点坐标 不妨试着先写出圆的一般方程 解 设所求的圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 A 0 0 B 1 1 C 4 2 在圆上 所以它们的坐标是方程的解 把它们的坐标 代入上面的方程 可以得到关于D E F的三元一次方程组 即 0 20 42200 F DEF DEF 解此方程组 可得 D 8 E 6 F 0 所求圆的方程为 x2 y2 8x 6y 0 22 1 45 2 rDEF 用心 爱心 专心 2 4 3 22 DF 得圆心坐标为 4 3 或将x2 y2 8x 6y 0 左边配方化为圆的标准方程 x 4 2 y 3 2 25 从而求出圆的半径r 5 圆心坐标为 4 3 例 3 已知线段AB的端点B的坐标是 4 3 端点A在圆上 x 1 2 y2 4 运动 求 线段AB的中点M的轨迹方程 解 设点M的坐标是 x y 点A的坐标是 x0 y0 由于点B的坐标是 4 3 且M是线 段AB中重点 所以 00 43 22 xy xy 于是有x0 2x 4 y0 2y 3 因为点A在圆 x 1 2 y2 4 上运动 所以点A的坐标满足方程 x 1 2 y2 4 即 x0 1 2 y02 4 把 代入 得 2x 4 1 2 2y 3 2 4 整理得 22 33 1 22 xy 所以 点M的轨迹是以 3 3 2 2 为圆心 半径长为 1 的圆 经典习题经典习题 例 1 下列各方程表示什么图形 若表示圆 求出圆心和半径 1 x2 y2 x 1 0 2 x2 y2 2ac a2 0 a 0 3 2x2 2y2 2ax 2ay 0 a 0 解析 1 因为D 1 E 0 F 1 所以D2 E2 4F 0 方程 1 不表示任何图形 2 因为D 2a E 0 F a2 M A x y O B 用心 爱心 专心 3 所以D2 E2 4F 4a2 4a2 0 所以方程 2 表示点 a 0 3 两边同时除以 2 得x2 y2 ax ay 0 所以D a E a F 0 所以D2 E2 4F 0 所以方程 3 表示圆 圆心为 2 2 a a 半径 22 12 4 22 rDEFa 点评 也可以先将方程配方再判断 例 2 已知一圆过P 4 2 Q 1 3 两点 且在y轴上截得的线段长为4 3 求 圆的方程 分析 涉及与圆的弦长有关的问题时 为简化运算 则利用垂径直径定理和由半弦长 弦心距 半径所构成的三角形解之 解析 法一 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 将P Q的坐标分别代入 得 4220 310 DEF DEF 令x 0 由 得y2 Ey F 0 由已知 y1 y2 4 3 其中y1 y2是方程 的两根 y1 y2 2 y1 y2 4y1y2 E2 4F 48 解 联立成的方程组 得 2 0 12 D E F D 10 或E 8 F 4 故所求方程为 x2 y2 2x 12 0 或x2 y2 10 x 8y 4 0 法二 求得PQ的中垂线方程为x y 1 0 所求圆的圆心C在直线 上 故设其坐标为 a a 1 又圆C的半径 22 4 1 rCPaa 由已知圆C截y轴所得的线段长为4 3 而圆C到y轴的距离为 a 222 4 3 2 ra 代入 并将两端平方 得a2 5a 5 0 解得a1 1 a2 5 12 13 37rr 故所求的圆的方程为 x 1 2 y2 13 或 x 5 2 y 4 2 37 评析 1 在解本题时 为简化运算 要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标 否 则计算要复杂得多 2 涉及与圆的弦长有关问题 常用垂径定理和由半弦长 弦心距及半径所构成的直 角三角形解之 以简化运算 例 3 已知方程x2 y2 2 t 3 x 2 1 t2 y 16t4 9 0 表示一个圆 求 1 t的取值范围 用心 爱心 专心 4 2 该圆半径r的取值范围 解析 原方程表示一个圆的条件是 D2 E2 4F 4 t 3 2 4 1 t