高三数学解题方法谈：数形结合

数数 形形 结结 合合 高考解题的一把利刃高考解题的一把利刃 数形结合思想的实质是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来 具有直观 明了 易懂等优越性 如能准确把握 威力巨大 这也是高考考查的重点 让我们看看其在函数 中的神奇效果 一 研究函数的性质 例 1 2005 年北京卷 13 题 对于函数 f x定义域中任意的 1212 xx xx 有如 下结论 1212 f xxf xf x A 1212 f x xf xf x A 12 12 0 f xf x xx 1212 22 xxf xf x f 当 lgf xx 时 上述结论中正确结论的序号是 解析 作出图象如图 1 由图可知 不正确 而 显然不成立 为运算律 成立 表示 12 xx 与 12 f xf x 同号 由增函数的定义知 lgf xx 在其定义域上为增 函数成立 所以答案为 点评 本题综合考查函数的概念 图象及性质 选项 侧重考查单调性 选项 考查 函数图象 若用代数方法研究 难度较大 通过图象的特征及其变化趋势则容易判断 二 研究函数的最值 例 2 2006 年全国 理科 12 题 函数 19 1 n f xxn 的最小值为 190 171 90 45 解析 绝对值往往是使试题增加难度的 添加剂 如果试图进行分类讨论 几乎不可 能完成 必须另寻妙法 1x 的几何意义是什么 是数轴上的点 x到点 1 的距离 那么 12xx 就是点x到点 1 与到点 2 的距离之和 如图 2 当 12 x 时 12xx 的最小值为 1 又当x 2 时 123xxx 的最小值为 2 依次 类推 当x 10 时 所求最小值为02 129 90 故选 求等差数列前 9 项的和当然是 小菜一碟 而此时绝对值的几何意义则成了解题的关 键 这个解题过程可用 一点突破 全线贯通 来形容 三 研究方程的解 例 3 2005 年上海春招理 16 题 设定义域为 R R 的函数 lg11 01 xx f x x 则关于x的方程 2 0fxbf xc 有 7 个不同实数解的充要条件是 b0 b 0 且c 0 b 0 且c 0 b 0 且c 0 解析 lg 1 1 01 lg 1 1 xx f xx xx 其图象如图 3 所示 f x的图象关于1x 对称 且 0f x 若方程 2 0fxbf xc 有 7 个不同实数根 则方程 2 0tbtc 有两个不 相等的实根 且一根为正 一根为 0 否则 若方程 有两个相等的非负实根 则方程 至多有 4 个解 若方程 有两个不相等的正实根 则方程 有 8 个解 因为 0f x 满足方程 则0c 又 0f x 也满足方程 所以 0bf x 所以b 0 且c 0 故选 C 点评 在中学阶段所涉及的函数 正 反比例函数 一次 二次函数 指数 对数函 数等都要充分联系函数图象 借助图象的直观形象 达到求解的目的 例 4 设方程4 1 x axa 的解为 1 x 方程log4 1 a xxa 的解为 2 x 求 12 xx 分析 给出的1a 是不定的 所求得的 12 xx 都不固定 但原方程可分别变形为 4 x ax 和log4 a xx 因为 x ya 与logayx 互为反函数 所以函数 x ya 的图象与函数logayx 的图象关于直线yx 对称 而 12 xx 可分别看作直线 4yx 与函数 x ya 的图象及函数logayx 的图象交点的横坐标 如图 4 直线 4yx 与直线yx 互相垂直 点 与点 关于直线yx 对称 设点 为线段AB的 中点 且点P为直线yx 与直线4yx 的交点 则问题可转化为求点 的横坐标 解 如图 4 由 4yx yx 解