高中数学 数列中的常见错误素材 新人教A版必修5

1 数列中的易错问题分析数列中的易错问题分析 1 1 1 12 2 2 nn S n nn SSn kb nnnn n 1nn n 1 n n n 1nn 一 数列基础知识上的常见错误 在数列概念考察上常见题型有 1 已知a 与S的关系 求通项a a注意分清与两种情况的讨论 形如a a f n 的递推数列可用迭代法或累加法 求通项a a 形如 f n 的递推数列可用累乘法 求通项a a 形如aa的递推数列可构造等差或等比数列求通项a 一 一 概念理解错误概念理解错误 例题例题 1 两个数列 两个数列与与的前的前项和分别为项和分别为 且 且 n a n bn nn S T 则 则 513 45 nn STnn 1010 ab 易错警示易错警示 则 513 45 nn Snk Tnk 11 5 4 nnnnnn aSSk bTTk 所以4 3 故选 C 1010 ab 从可知 比值 随着项 513 45 nn STnn n S 513 n n T 45 n 数的变化而变化 不能设为常数 这里忽略了项数的可变性而致错 nkn 解析解析 设 则 513 45 nn Snnk Tnnk 1 108 nnn aSSnk 其中 1 81 nnn bTTnk 2n nn ab 108 81 nn 所以4 3 故选 D 1010 ab 例题例题 2 已知等差数列 已知等差数列的前的前 m 项 前项 前 2m 项 前项 前 3m 项的和分别为项的和分别为 n a 若 若 求 求 23 mmm SSS 2 30 90 mm SS 3m S 易错警示易错警示 由为等差数列 得出为等差数列的结论是错误的 n a 23 mmm SSS 解析 设数列的公差为 则d 123 mm Saaaa 2 212312 mmmm Saaaaaa 31232213 mmmm Saaaaaa 1 1 2 m m Sam 21 31 2 mm m SSam 321 51 2 mm m SSam 所以是公差为的等差数列 232 mmmmm SSSSS 2 m d 所以 232 2 mmmmm SSSSS 即 3 2 9030 3090 m S 3 180 m S 二 二 公式应用错误公式应用错误 例题例题 3 已知数列已知数列 求数列 求数列的通项公式 的通项公式 n a 11 1 2n nn aaa n a 易错警示易错警示 错因一 知识残缺 忽视 n 1 时的检验 错因二 未明确规律 累加时误认为是 n 个式子相加而导致求和错 误 解析解析 由得 1 2n nn aa 1 21 2 32 3 43 1 1 2 2 2 2n nn aa aa aa aa 将这 n 1 个式子相加 得 231 1 222 2n n aa 21 n n a 当 n 1 时 此式子仍旧成立 所以通项公式为 21 n n a 例题例题 4 已知数列 已知数列的前项和为的前项和为 求数列求数列的通项公式 的通项公式 n a n S32 n n S n a 易错警示易错警示 在利用公式解题时一定要注意只有时才能成立 1nnn aSS 2n 3 当 n 1 要单独验证 这一点易被忽视 从而得出错误结论 1 2 3n n a A 解析解析 当 n 1 11 1aS 当时 2n 1nnn aSS 1 32 32 nn 1 2 3n A 由于不适合上式 因此数列的通项公式为 1 1a n a 1 1 1 2 3 2 n n n a n A 三 三 审题不细审题不细 例题例题 5 在等差数列中 记 求数列的前 30 项和 n a331 n an nn ba n b 易错警示易错警示 这里易错点是也为等差数列 而解题的关键是绝对值号内的 n b 的正负号进行讨论 当时 时 n a10n 0 11 n an 0 n a 解析解析 3012330 Saaaa 1231011121330 aaaaaaaa 755 1101130 10 20 22 aaaa 四 四 用特殊代一般用特殊代一般 例题例题 5 求数列的前 n 项和 231 1 3 5 7 21 0 n aaanaa 易错警示 易错警示 由于 1 21 n n ana nN 2321 1 357 23 21 nn n Saaanana n aS 2341 357 23 21 nn aaaanana 两式相减得 231 1 1222 2 21 nn n a Saaaana 1 2 21 1 1 n n a na a A 2 1 21 1 2 1 1 nn n ana S aa A 解析解析 上述解法只适合的情形 事实上 当时1a 1 357 23 21 n Snn 4 2 121 2 nn n 所以 2 2 1 21 1 2 1 1 1 1 nn n ana a aaS n a A 五 五 忽视分类讨论思想致误忽视分类讨论思想致误 例题 例题 设等比数列的前 n 项和为 若 求数列的公比 n a n S 369 2SSS q 易错警示易错警示 由 整理得时 应有 在等比数列中 是显然的 但是公比是可q 以为 1 的 因此在解题时应先讨论公比能否为 1 q 解析解析 若 则有 但是1q 316191 3 6 9Sa Sa Sa 1 0a 即得与题设矛盾 故 369 2SSS 1q 又由题意得即 369 2SSS 369 111 1 1 1 2 111 aqaqaq qqq 即 363 21 0qqq 33 21 1 0qq 因为 所以1q 3 10q 所以 0 解得 3 21q 3 4 2 q 二 数列综合题易错题分析二 数列综合题易错题分析 例题例题 1 已知 已知 对任意 对任意都有都有 23 123 n n f xa xa xa xa x nN 2 1 fn 1 证明 若证明 若 n 为正偶数有为正偶数有 1 fn 2 求证 求证 1 3 2 f 易错警示 易错警示 1 已知数列 已知数列 求 要分 n 1 和 2 若 若是等差数 n S n a1n n a 列 是等比数列 求的前 n 项和时用错位相减 但是不要漏掉最后 n b nn a b 一项 解析 解析 2 1 fn 2 123 1 n faaaan 1 1 21 nn SSn 11 n 当n 1时 a S 当n 1时 a 5 也适合上式当n 1时 所以 n a21n 23 35 21 n f xxxxnx 1 1 1 3579 11 21 n fnn 当为正偶数时 2341 1111111 3 5 7 23 21 2222222 nn fnn 11 22 f 23451 111111 3 5 7 23 21 222222 nn nn 2341 11111111 1 2 21 22222222 nn fn 即 231 111111 2 1 21 1 222222 nn fn 1 1 1 2 2 21 1 1 2 2 n n n 1 3 32 2 n n 3 例题例题 2 已知数列是递增数列且 求实数的取值范围 n a 2 n ann 易错警示易错警示 因为为 n 的二次函数 它的对称轴方程为 所以 2 n ann 2 n 若使数列为递增数列 则必须使 即得 本题的陷阱 在 2 1 2 2 1 它只是数列为递增数列的充分条件 并非为必要条件 所以解此题用此法是错 误的 解析解析 因为数列是递增数列所以对所有的正整数都成立 n a 1nn aa 2n 1 又因为 nN 所以 3 例题 3 已知数列为等差数列 且 2 log 1 n anN 13 3 9aa 1 求数列的通项公式 n a 6 2 证明 213243541 11111 1 nn aaaaaaaaaa 易错题分析易错题分析 错因一 是等差数列 只要知到首项与公差可知 2 log 1 n a 学生对概念理解不透 往往只想求的通项公式 而忽 2 log 1 n a 2 log 1 n a 视从三项入手 错因二 设 是等差数列 由题意得 2 log 1 nn ba n b 13 b b 而不是 此处容易发生审题错误 以为求的是 12 b b 12 b b 解析 1 设 则是等差