高中数学 奥赛辅导精品第五讲 不等式的证明

1 第五讲第五讲 不等式的证明不等式的证明 知识 方法 技能 不等式在数学中占有重要地位 由于其证明的困难性和方法的多样性 而成为竞赛和高 考的热门题型 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归 而变形的依据 是不等式的性质 不等式的性分类罗列如下 不等式的性质 这是不等式的定义 也是比较法 0 0 babababa 的依据 对一个不等式进行变形的性质 1 对称性 abba 2 加法保序性 cbcaba 3 0 0 bcaccbabcaccba 4 0Nnbababa nnnn 对两个以上不等式进行运算的性质 1 传递性 这是放缩法的依据 cacbba 2 dbcadcba 3 dbcadcba 4 0 0bcad d b c a cdba 含绝对值不等式的性质 1 0 22 axaaxaax 2 0 22 axaxaxaax 或 3 三角不等式 bababa 4 2121nn aaaaaa 证明不等式的常用方法有 比较法 放缩法 变量代换法 反证法 数学归纳法 构造 函数方法等 当然在证题过程中 常可 由因导果 或 执果索因 前者我们称之为综合法 后者称为分析法 综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略 分析问题时 我们往往 用分析法 而整理结果时多用综合法 这两者并非证明不等式的特有方法 只是在不等式证 明中使用得更为突出而已 此外 具体地证明一个不等式时 可能交替使用多种方法 赛题精讲 例 1 求证 0 cba 6 abcaccacbbcbaab 2 略解 abcaccacbbcbaab6 0 2 2 2 222 222222 bacacbcba abbacaccabbccba 6 abcaccacbbcbaab 评述 1 本题所证不等式为对称式 任意互换两个字母 不等式不变 在因式分 解或配方时 往往采用轮换技巧 再如证明时 可将cabcabcba 22222 ba 配方为 亦可利用 cabcab 2 1 222 accbba 2 22 abba 3 式相加证明 2 本题亦可连用两次基本不等式获证 caacbccb2 2 2222 例 2 求证 0 cba 3 cba cba abccba 思路分析 显然不等式两边为正 且是指数式 故尝试用商较法 略解 不等式关于对称 不妨 且 cba Rcacbbacba 则 c b b a 都大于等于 1 c a 1 333 3333333 2 3 2 3 2 3 cacbba bcaccbabcababaccabcba cba cba c a c b b a ccbbaacba abc cba 评述 1 证明对称不等式时 不妨假定个字母的大小顺序 可方便解题 n 2 本题可作如下推广 若 n a n aa i aaania 21 21 2 1 0则 21 21 n aaa n n aaa 3 本题还可用其他方法得证 因 同理 abba baba caacbccb acaccbcb 另 4 式相乘即得证 cbacba cbacba 4 设例 3 等价于 lglglg 0cbacba 则 类似例 4 可证 lglglglgabbabbaa 事实上 一般地有排序 lglglglglglglglglgacbbcaaccbbaccbbaa 3 不等式 排序原理 设有两个有序数组 则 顺 nn bbbaaa 2121 nnb ababa 2211 序和 乱序和 n jnjj bababa 21 21 逆序和 1111 bababa nnn 其中的任一排列 当且仅当或njjj n 2 1 21 是 n aaa 21 时等号成立 n bbb 21 排序不等式应用较为广泛 其证明略 它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序 数组的积的形式 如ccbbaaaccbbacbaRcba 222222333 时 c c b b a a a c c b b acba a c c b b a accbba 111111 222222 222 222 例 3 222 333222222 ab c ca b bc a b ac a cb c ba cbaRcba 求证 思路分析 中间式子中每项均为两个式子的和 将它们拆开 再用排序不等式证明 略解 不妨设 则 乱 abc cbacba 111 222 则 b c a b c a 111 222 序和 逆序和 同理 乱序和 c c b b a a 111 222 b c a b c a 111 222 逆序和 两式相加再除以 2 即得原式中第一个不等式 再考虑数 c c b b a a 111 222 组 仿上可证第二个不等式 abacbc cba 111 333 及 例 4 设 且各不相同 21 Naaa n 求证 32 1 3 1 2 1 1 22 3 2 2 1 n aaa a n n 思路分析 不等式右边各项 可理解为两数之积 尝试用排序不等式 22 1 i a i a i i 略解 设的重新排列 满足 nn aaabbb 2121 是 n bbb 21 又 1 3 1 2 1 1 222 n 所以 由于是互不相同的 22 3 2 2 1 2 3 2 2 1 3232n bbb b n aaa a nn n bbb 21 正整数 故从而 原式得证 2 1 21 nbbb n nn bbb b n 1 2 1 1 32 22 3 2 2 1 4 评述 排序不等式应用广泛 例如可证我们熟悉的基本不等式 22 abbaba 3 222333 abcabcacbbcacacbcbabaaccbbacba 例 5 利用基本不等式证明 222 cabcabcba 思路分析 左边三项直接用基本不等式显然不行 考察到不等式的对称性 可用轮换 的方法 略解 三式相加再除以 2 即得证 caacbccbabba2 2 2 223222 同理 评述 1 利用基本不等式时 除了本题的轮换外 一般还须掌握添项 连用等技巧 如 可在不等式两边同时加上 n n xxx x x x x x x 21 1 2 3 2 2 2 2 1 132 xxxx n 再如证时 可连续使用基本不等 0 256 1 1 32233 cbacbacbcaba 式 2 基本不等式有各种变式 如等 但其本质特征不等式两边的次 2 2 22 2 baba 数及系数是相等的 如上式左右两边次数均为 2 系数和为 1 例 6 已知求证 0 1 baba 8 1 44 ba 思路分析 不等式左边是 的 4 次式 右边为常数 如何也转化为 的 4ab 8 1 ab 次式呢 略解 要证即证 8 1 44 ba 8 1 444 baba 评述 1 本题方法具有一定的普遍性 如已知求证 0 1 321 i xxxx 3 2 3 1 xx 右侧的可理解为再如已知 求证 3 1 3 3 x 3 1 3 1 3 321 xxx 0 321 xxx 3221 xxxx 此处可以把 0 理解为 当然本题另有简使证法 0 13 xx 2 321 8 3 xxx 2 基本不等式实际上是均值不等式的特例 一般地 对于个正数n 21n aaa 调和平均 n n aaa n H 111 21 几何平均 n nn aaaG 21 5 算术平均 n aaa A n n 21 平方平均 2 22 2 2 1n n aaa Q 这四个平均值有以下关系 其中等号当且仅当 nnnn QAGH 时成立 n aaa 21 例 7 利用排序不等式证明 nn AG 证明 令则 故可取 使得 2 1 ni G a b n i i 1 21 n bbb 0 21 n xxx 由排序不等式有 1 1 1 3 2 2 2 1 1 x x b x x b x x b x x b n n n n n n bbb 21 乱序和 13 2 2 1 x x x x x x n 逆序和 n n x x x x x x 111 2 2 1 1 n 2121 n n n n nn G n aaa n G a G a G a 即 评述 对各数利用算术平均大于等于几何平均即可得 n aaa 1 1 1 21 nn AG 例 8 证明 对于任意正整数 R R 有 1 1 1 1 1 1 nn nn 思路分析 原不等式等价于 故可设法使其左边转化为 n 个数 1 1 1 1 1 1 nn n n 的几何平均 而右边为其算术平均 略证 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn n nnnnn n n n n n 个 评述 1 利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化 使其两边与均值不 6 等式形式相近 类似可证 1 1 1 1 1 21 nn nn 2 本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证 但较繁 例 9 n为正整数 证明 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 11 nn nnn n nn 证明 先证左边不等式 n n n n nn nn 1 3 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 11 n n n n n 1 3 1 2 1 1 1 1 n n n n 1 1 1 3 1 1 2 1 11 1 1 1 3 4 2 3 2 1 n n