高中数学 2.2.3两条直线的位置关系学案二 新人教B版必修2

用心 爱心 专心 1 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 考试目标考试目标 主词填空主词填空 1 两直线平行的充要条件 已知两直线分别为 l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 则l1 l2k1 k2且b1 b2 2 两直线垂直的充要条件 已知两直线分别为 l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 则l1 l2k1 k2 1 3 两条直线的夹角 设直线l1的斜率为k1 l2的斜率为k2 l1到l2的角为 l1与l2的夹角为 则 tan tan 12 12 1kk kk 12 12 1kk kk 4 点到直线的距离 点P0 x0 y0 到直线Ax By C 0 的距离d 22 00 BA CByAx 5 两平行线间的距离 两平行线l1 Ax By C1 0 与l2 Ax By C2 0 C1 C2 之间的距离d 22 21 BA CC 6 对称问题 1 P x y 关于Q a b 的对称点为 2a x 2b y 2 P x0 y0 关于直线Ax By C 0 的对称点是 22 00 22 22 00 22 22 22 BA BCABxyBA BA ACAByxAB 题型示例题型示例 点津归纳点津归纳 例例 1 1 已知两直线l1 x m2y 6 0 l2 m 2 x 3my 2m 0 当m为何值时 l1与 l2 1 相交 2 平行 3 重合 解前点津解前点津 对直线的斜率存在与否 进行讨论 转化为 斜截式 后 才能使用 充要条件 规范解答规范解答 当m 0 时 l1 x 6 0 l2 x 0l1 l2 当m 0 时 则化为斜截式方程 l1 y x l2 y 2 1 m 2 6 m 3 2 3 2 x m m 当 即m 1 m 3 时 l1与l2相交 2 1 m m m 3 2 当 即m 1 时l1 l2 3 26 3 21 2 2 m m m m 用心 爱心 专心 2 当 即m 3 时 l1与l2重合 3 26 3 21 2 2 m m m m 综上所述知 当m 1 m 3 且m 0 时 l1与l2相交 当m 1 或m 0 时 l1 l2 当 m 3 时 l1与l2重合 解后归纳解后归纳 判断两直线的位置关系 关键是化直线方程为 斜截式 若y的系数 含有参数 则必须分类讨论 例例 2 2 求经过点P 2 3 且被两条平行线 3x 4y 7 0 及 3x 4y 3 0 截得的线段长为 的直线方程 5 解前点津解前点津 画图可知 所求直线有两条 选择应用夹角公式 可 避免讨论 规范解答规范解答 AC 2 AB 在 Rt ABC中 22 43 37 5 求出 BC 1 则 tan ABC 2 设所求直线斜率为k 则 2 解之 k 或 k k 4 3 1 4 3 2 1 2 11 x 2y 4 0 11x 2y 16 0 为所求 解后归纳解后归纳 本题利用了图形的性质 重视利用数形结合的方法 从而发现解题思路 例例 3 3 一条光线经过点P 2 3 射在直线l x y 1 0 上 反射后穿过点Q 1 1 1 求光线的入射线方程 2 求这条光线从P到Q的长度 解前点津解前点津 先求出Q关于直线l的对称点Q 的坐标 从而可确定过Q Q 的直线 方程 规范解答规范解答 1 设点Q x y 为Q关于直线l的对称点 且QQ 交l于M点 k1 1 kQQ 1 QQ 所在直线方程为x y 0 由得M坐标为 又 M为QQ 中点 故由 0 01 yx yx 2 1 2 1 Q 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 y x 设入射线与l交点为N 且P N Q 共线 得入射线方程为 即 5x 4y 2 0 22 2 23 2 xy 2 l是QQ 的垂直平分线 因而 NQ NQ PN NQ PN NQ PQ 41 22 23 22 即这条光线从P到Q的长度是 41 用心 爱心 专心 3 解后归纳解后归纳 无论是求曲线关于直线的对称方程 还是解答涉及对称性的问题 关键 在于掌握点关于直线的对称点的求法 例例 4 4 已知三条直线l1 2x y a 0 a 0 直线l2 4x 2y 1 0 和直线l3 x y 1 0 且l1与l2的距离是 5 10 7 1 求a的值 2 求l3到l1的角 3 能否找到一点P 使得P点同时满足下列三个条件 P是第一象限的点 P点到 l1的距离是P点l2的距离的 P点到l1的距离与P到l3的距离之比是 若能 2 1 25 求P点坐标 若不能 说明理由 解前点津解前点津 求解本题用到三个公式 平行线间的距离公式 直线到直线的 到角 公式 点到直线的距离公式 规范解答规范解答 1 由l2 2x y 0 l1与l2的距离d 化简得 2 1 10 57 1 2 2 1 22 a a 0 a 3 2 7 2 1 a 2 由 1 l1 2x y 3 0k1 2 而k3 1 tan 3 1 21 1 2 1 31 31 kk kk 0 arctan3 3 设点P x0 y0 若P点满足条件 则P点在与l1 l2平行的直线L 2x y c 0 上 且 即c 或c 5 2 1 2 1 5 3 c c 2 13 6 11 2x0 y0 0 或 2x0 y0 0 2 13 6 11 若P点满足条件 由点到直线的距离公式 有 即 2x0 y0 3 x0 y0 1 x0 2y0 4 0 或 2 1 5 2 5 32 0000 yxyx 3x0 2 0 由P在第一象限 3x0 2 0 不可能 由方程组 舍去 由 2 1 3 042 0 2 13 2 0 0 00 00 y x yx yx 18 37 9 1 042 0 6 11 2 0 0 00 00 y x yx yx 得 P即为同时满足三个条件的点 解后归纳解后归纳 3 属于 存在性问题 的解答 往往从 假设存在入手 推出某种结 论 肯定的或否定的 然后检验这种结论是否满足题设中的各条件 对应训练对应训练 分阶提升分阶提升 一 基础夯实 用心 爱心 专心 4 1 如果直线ax 2y 2 0 与直线 3x y 2 0 平行 那么系数a A 3 B 6 C D 2 3 2 3 2 点 0 5 到直线y 2x的距离是 A B C D 2 5 5 2 3 2 5 3 已知直线 2x y 2 0 和mx y 1 0 的夹角为 那么m值为 4 A 或 3 B 或 3 C 或 3 D 或 3 3 1 3 1 3 1 3 1 4 若直线l1 y kx k 2 与l2 y 2x 4 交点在第一象限内 则实数k的取值范围是 A B 2 C 2 D 2 3 2 3 2 3 2 5 两条直线A1x B1y C1 0 及A2x B2y C2 0 垂直的充要条件是 A A1A2 B1B2 0 B A1A2 B1B2 C 1 D 1 21 21 BB AA 21 21 BB AA 6 如果直线ax y 2 0 与直线 3x y b 0 关于直线x y 0 对称 那么 a b值为 A a b 6 B a b 6 C a 3 b 2 D a 3 b 6 3 1 3 1 7 过两直线y x 和y 3x的交点 并与原点相距为 1 的直线有 3 1 3 10 A 0 条 B 2 条 C 1 条 D 3 条 8 对 0 的角 两直线l1 x y sin cos 与l2 x cos y 1 的交点为 4 A 在单位圆上 B 在单位圆外 C 在单位圆内 但不是圆心 D 是单位圆的圆心 9 已知A 3 8 和B 2 2 在x轴上有一点M 使得 AM BM 最短 那么点M的坐标是 A 1 0 B 1 0 C 0 D 0 5 22 5 22 10 设直线l1 x sin y 6 0 l2 x y 0 则直 cos1 cos1 2 2 3 线l1与l2的位置关系是 A 平行 B 垂直 C 平行或重合 D 相交但不垂直 二 思维激活 11 直线l1 2x 5y 20 0 l2 mx 2y 10 0 与两坐标轴围成的四边形有外接圆 则实数m的 值等于 12 直线ax 4y 2 0 与直线 2x 5y c 0 垂直相交于点 1 m 则a c m 13 两条平行直线分别过点A 6 2 和B 3 1 各自绕A B旋转 若这两条平行线距离 最大时 两直线方程分别是 14 p q满足 2p q 1 0 则直线px 2y q 0 必过定点 用心 爱心 专心 5 三 能力提高 15 已知直线l与点A 3 3 和B 5 2 的距离相等 且过两直线l1 3x y 1 0 和l2 x y 3 0 的交点 求直线l的方程 16 直线l过点 1 0 且被两平行线 3x y 6 0 和 3x y 3 0 所截得的线段长为 9 求直线l 的方程 17 求函数y 的最小值 841 22 xxx 18 已知点A 4 1 B 0 4 试在直线l 3x y 1 0 上找一点P 使 PA PB 的绝对值最 大 并求出这个最大值 用心 爱心 专心 6 第第 2 2 课课 两条直线的位置关系习题解答两条直线的位置关系习题解答 1 B 由 3 即得a 6 2 a 2 B 直接利用公式计算 3 C k1 2 k2 mtan得 2m 1 m 2 解之即得 21 2 4m m 4 C 解方程组 k k y k k x xy kkxy 2 64 2 2 42 2得 由 2 3 2 2 3 2 22 0 2 64 0 2 2 k kk k k k k k 或 5 A 当l1 l2分别与坐标轴垂直时 C 答案不满足 6 A 因直线ax y 2 0 关于直线y x的对称直线为ay x 2 0 故x ay 2 0 与 3x y b 0 重合 故 a b 6 3 1 a 1 b 2 3 1 7 B 交点P为 1 3 单位圆的两条切线 8 C 由x ysin cos 且xcos y 1 cossin1 sin cossin1 sincos 2 y x x2 y2 1 但x y 0 不成立 2 42 cossin1 sinsin1 9 B 因B关于x轴对称点为B 2 2 则直线AB 的方程可求得为 2x y 2 令y 0 得 x 1 10 B 两直线的斜率之积k1 k2 sin sin cos1 sin cos1 1 cos1 sin 2 又 sin sin k1 k2 1 l1 l2 2 2 3 11 四边形对角互补时有外接圆 由于两坐标轴互相垂直 1m 5 25 2m 12 a 10 c 12 m 2 两直线垂直 所以 1a 10 又两直线都过点 1 m 5 2 4 a 故 12 2 052 02410 c m cm m 用心 爱心 专心 7 13 AB的斜率kAB 当两直线都与AB垂直时 平行线距离最大 3 1 63 21 所求直线为 3x y 20 0 3x y 10 0 14 由 2p q 1 0直线为px 2y 2p 1 0 x 2 p 2y 1 0 令故定点为 2 1 2 012 02 y x y x 得 2 1 2 15 解方程组 得交点C 1 2 03 013 yx yx 当A B两点在l的同侧时 l AB 而kAB 故l为 y 2 x 1 即 2 1 53 23 2 1 x 2y 5 0 当A B两点在l异侧时 则l过线段AB中点 4 由两点式知l方程为 2 5 化之x 6y 11 0 14 2 2 5 1 2 x y 综上所述知 l的方程是 x 2y 5 0 或x 6y 11 0 16 如图所示 当l的斜率不存在时 l方程为x 1 它与两平行线交 点为 1 3 和 1 6 其距为 3 6 9 符合题意 当l的斜率存在时 设l y k x 1 由 063 1 yx xky 及 解得l与两平行直线的交点分别为 033 1 yx xky 3 6 3 3 3 3 3 6 k k k k k k k k 及 故由 92 得 k 故此时l y x 1 即 4x 3y 4 0 22 3 9 3 9 k k k3 4 3 4 综上所述知 l的方程为 4x 3y 4 0 或x 1 17 y 2 2 2 2 22 20 2 10 0 841 xxxxx 令A