高中数学竞赛讲义-函数的基本性质（练习题）

用心 爱心 专心 1 课后练习课后练习 1 已知 f x ax5 bsin5x 1 且 f 5 则 f 1 A 3B 3C 5D 5 2 已知 3x y 2001 x2001 4x y 0 求 4x y 的值 3 解方程 ln 1x2 x ln 1x4 2 2x 3x 0 4 若函数 y log3 x2 ax a 的值域为 R 则实数 a 的取值范围是 5 函数 y 8x4x5x4x 22 的最小值是 6 已知 f x ax2 bx c f x x 的两根为 x1 x2 a 0 x1 x2 a 1 若 0 t x1 试比 较 f t 与 x1的大小 7 f x g x 都是定义在 R 上的函数 当 0 x 1 0 y 1 时 求证 存在实数 x y 使得 8 设 a b c R x 1 f x ax2 bx c 如果 f x 1 求证 2ax b 4 9 已知函数 f x x3 x c 定义在 0 1 上 x1 x2 0 1 且 x1 x2 求证 f x1 f x2 2 x1 x2 求证 f x1 f x2 1 用心 爱心 专心 2 课后练习答案 1 解 f a bsin51 1 5 设 f 1 a bsin5 1 1 k 相加 f f 1 2 5 k f 1 k 2 5 3 选 B 2 解 构造函数 f x x2001 x 则 f 3x y f x 0 逐一到 f x 的奇函数且为 R 上的增函数 所以 3x y x 4x y 0 3 解 构造函数 f x ln 1x2 x x 则由已知得 f x f 2x 0 不难知 f x 为奇函数 且在 R 上是增函数 证明略 所以 f x f 2x f 2x 由函数的单调性 得 x 2x 所以原方程的解为 x 0 4 解 函数值域为 R 表示函数值能取遍所有实数 则其真数函数 g x x2 ax a 的函数值应该能够取遍所有正数 所以函数 y g x 的图象应该与 x 轴相交 即 0 a2 4a 0 a 4 或 a 0 解法二 将原函数变形为 x2 ax a 3y 0 a2 4a 4 3y 0 对一切 y R 恒成立 则必须 a2 4a 0 成立 a 4 或 a 0 5 提示 利用两点间距离公式处理 y 2222 20 2x 10 2x 表示动点 P x 0 到两定点 A 2 1 和 B 2 2 的距离之和 当且仅当 P A B 三点共线时取的最小值 为 AB 5 6 解法一 设 F x f x x ax2 b 1 x c a x x1 x x2 f x a x x1 x x2 x 作差 f t x1 a t x1 t x2 t x1 t x1 a t x2 1 a t x1 t x2 a 1 又 t x2 a 1 t x2 x1 x1 t x1 0 f t x1 0 f t x1 解法二 同解法一得 f x a x x1 x x2 x 用心 爱心 专心 3 令 g x a x x2 a 0 g x 是增函数 且 t x1 g t g x1 a x1 x2 1 另一方面 f t g t t x1 t 1 xt t t f a t x2 g t 1 f t t x1 t f t x1 7 xy f x g y 4 1 证明 正面下手不容易 可用反证法 若对任意的实数 x y 都有 xy f x g y 4 1 记 S x y xy f x g y 则 S 0 0 4 1 S 0 1 4 1 S 1 0 4 1 S 1 1 4 1 而 S 0 0 f 0 g 0 S 0 1 f 0 g 1 S 1 0 f 1 g 0 S 1 1 1 f 1 g 1 S 0 0 S 0 1 S 1 0 S 1 1 S 0 0 S 0 1 S 1 0 S 1 1 1 矛盾 故原命题得证 8 解 本题为 1914 年匈牙利竞赛试题 f a b c f 1 a b c f 0 c a 2 1 f f 1 2f 0 b 2 1 f f 1 c f 0 2ax b f f 1 2f 0 x 2 1 f f 1 x 2 1 f x 2 1 f 1 2xf 0 x 2 1 f x 2 1 f 1 2 x f 0 x 2 1 x 2 1 2 x 接下来按 x 分别在区间 1 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 1 讨论即可 用心 爱心 专心 4 9 证明 f x1 f x2 x13 x1 x23 x2 x1 x2 x12 x1x2 x22 1 需证明 x12 x1x2 x22 1 2 x12 x1x2 x22 x1 4 x3 2 x 2 22 2 2 0 1 x12 x1x2 x22 1 1 1 1 1 2 式成立 于是原不等式成立 不妨设 x2 x1 由 f x1 f x2 2 x1 x2 若 x2 x1 0 2 1 则立即有 f x1 f x2 1 成立 若 1 x2 x1 2 1 则 1 x2 x1 2 1 0 1 x2 x1 2 1 右边变为正数 下面我们证明 f x1 f x2 2 1 x2 x1 注意到 f 0 f f 1 c f x1 f x2 f x1 f f 0 f x2 f x1 f f 0 f x2 2 1 x2 2 x2 0 由 2 1 x2 x1 1 综合 原命题得证 10 已知 f x ax2 x a 1 x 1 若 a 1 求证 f x 4 5 若 f x max 8 17 求 a 的值 解 分析 首先设法去掉字母 a 于是将 a 集中 若 a 0 则 f x x 当 x 1 1 时 f x 1 4 5 成立 若 a 0 f x a x2 1 x f x a x2 1 x a x2 1 x x2 1 x a 1 1 x2 x 4 5 x 2 1 2 4 5 用心 爱心 专心 5 a 0 时 f x x 1 8 1