高中数学 第2章2.2.2知能优化训练 新人教B版选修1-2

1 高中数学高中数学 第第 2 2 章章 2 2 22 2 2 知能优化训练知能优化训练 新人教新人教 B B 版选修版选修 1 21 2 1 反证法是 A 从结论的反面出发 推出矛盾的证法 B 对其否命题的证明 C 对其逆命题的证明 D 分析法的证明方法 解析 选 A 反证法是先否定结论 在此基础上 运用演绎推理 导出矛盾 从而肯定 结论的真实性 2 否定 自然数a b c中恰有一个偶数 时正确的反设为 A a b c都是奇数 B a b c都是偶数 C a b c中至少有两个偶数 D a b c中或都是奇数或至少有两个偶数 解析 选 D 利用 p命题可得反设是a b c中或都是奇数或至少有两个偶数 3 设a b c均为正实数 P a b c Q b c a R c a b 则 PQR 0 是 P Q R同时大于零 的 解析 必要性显然成立 PQR 0 包括P Q R同时大于零或其中有两个为负两种 情况 假设P Q分别小于零 则 2b 0 这与b为正实数矛盾 同理 P R同时小于零或 Q R小于零的情况亦得到矛盾 故P Q R同时大于零 答案 充分必要条件 4 任何三角形的外角都至少有两个钝角 的否定应是 解析 至少有两个的否定是至多有一个 答案 存在一个三角形 其外角最多有一个钝角 5 已知数列 an 满足 a1 an 1 an n 4 其中 为实数 n为正整数 求 2 3 证 对任意实数 数列 an 不是等比数列 证明 假设存在一个实数 使 an 是等比数列 则有a a1a3 即 3 2 4 2 2 2 3 4 9 即 2 4 9 2 4 4 9 4 9 整理得 9 0 产生矛盾 所以假设不成立 故 an 不是等比数列 一 选择题 1 M不是N的子集 的充分必要条件是 A 若x M 则x N B 若x N 则x M C 存在x1 M x1 N 又存在x2 M x2 N D 存在x0 M x0 N 解析 选 D 若M是N的子集 则对任意的x M 都有x N 因此该命题的否定为 存在x0 M 使得x0 N 则M不是N的子集 2 命题 关于x的方程ax b a 0 的解是唯一的 的结论的否定是 A 无解 B 两解 C 至少两解 D 无解或至少两解 解析 选 D 唯一 的意思是 有且只有一个 其反面是 没有 或 至少两个 2 3 已知函数f x ax3 bx2 cx d的图象如图 则 A b 0 B 0 b 1 C 1 b 2 D b 2 解析 选 A 由f 0 0 知d 0 而 0 1 2 为f x 0 的三根 故f x ax x 1 x 2 ax3 3ax2 2ax 易知b 3a 0 4 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个大于或等于 60 时 假设正确 的是 A 三个内角都小于 60 B 三个内角都大于 60 C 三个内角至多有一个大于 60 D 三个内角至多有 2 个大于 60 解析 选 A 至少有一个大于或等于的否定是都小于 5 已知 l a b 若a b为异面直线 则 A a b都与l相交 B a b中至少有一条与l相交 C a b中至多有一条与l相交 D a b都不与l相交 解析 选 B 逐一从假设选项成立入手分析 易得 B 正确 6 已知x1 0 x1 1 且xn 1 n 1 2 3 试证明数列 xn 或者对 xn x2n 3 3x2n 1 任意的正整数n都满足xnxn 1 当此题用反证法否 定结论时 应为 A 对任意的正整数n 有xn xn 1 B 存在正整数n 使xn xn 1 C 存在正整数n 使xn xn 1且xn xn 1 D 存在正整数n 使 xn xn 1 xn xn 1 0 解析 选 D 要证明结论的含义是数列 an 为单调数列 因此它的否定是数列 an 不为 单调数列 即为常数列或存在不具备单调的项 二 填空题 7 用反证法证明命题 若a2 b2 0 则a b全为 0 a b为实数 时 应假设 解析 a b全为 0 的否定是a b不全为 0 答案 a b不全为 0 a b为实数 8 和两异面直线AB CD都相交的直线AC BD的位置关系是 解析 假设AC与BD共面于 则点A C B D都在 内 AB与CD共面于 这与AB CD异面的条件矛盾 AC与BD异面 答案 异面 9 有下列叙述 a b 的反面是 a b x y 的反面是 x y或x y 三角形的外心在三角形外 的反面是 三角形的外心在三角形内 三角形最多有一个钝角 的反面是 三角形没有钝角 3 其中正确的叙述有 个 解析 对于 a b 的反面为 a b 故 不正确 对于 x y 的反面是 x y 即 x y或x y 故 正确 对于 三角形的外心在三角形外 的反面是 三角形的外心不在三角形外 即 三角形外心在三角形内或在三边上 故 不正确 对 于 三角形最多有一个钝角 的反面为 三角形最少有两个钝角 故 不正确 答案 1 三 解答题 10 已知 非零实数a b c构成公差不为 0 的等差数列 求证 不可能构成等差数列 1 a 1 b 1 c 证明 假设 成等差数列 则 1 a 1 b 1 c 2 b 1 a 1 c 2ac bc ab 又a b c成等差数列 2b a c 把 代入 2ac b a c b 2b b2 ac 由 平方 4b2 a c 2 把 代入 4ac a c 2 a c 2 0 a c 代入 b a 故a b c 公差为 0 这与已知矛盾 所以 不可能成等差数列 1 a 1 b 1 c 11 设 an 是公比为q的等比数列 Sn是它的前n项和 1 求证 数列 Sn 不是等比数列 2 数列 Sn 是等差数列吗 为什么 解 1 证明 反证法 若 Sn 是等比数列 则S S1S3 即a 1 q 2 22 1 2 a1 a1 1 q q2 a1 0 1 q 2 1 q q2 即q 0 与q 0 矛盾 故 Sn 不是等比数列 2 当q 1 时 Sn 是等差数列 当q 1 时 Sn 不是等差数列 否则若S1 S2 S3成等差数列 即 2S2 S1 S3 2a1 1 q a1 a1 1 q q2 由于a1 0 2 1 q 2 q q2 q q2 又q 0 q 1 这与假设q 1 相矛盾 综上可知 当q 1 时 Sn 是等差数列 当q 1 时 Sn 不是等差数列 12 求证 抛物线上任意四点所构成的四边形不可能是平行四边形 证明 设抛物线的方程为y2 2px p 0 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 是 抛物线y2 2px上不 同的四点 则有y 2pxi xi i 1 2 3 4 于是kAB 同理可 2i y2i 2p y2 y1 x2 x1 2p y2 y1 以求得kBC kCD kAD 假设四边形ABCD是平行四边形 则 2p