高中数学百大经典例题——复数加减（新课标）

用心 爱心 专心 复数的加减运算复数的加减运算 例例 计算 1 2 43 53 ii 54 23 ii 3 33 22 65 iii 分析 分析 根据复数加 减法运算法则进行运算 解 解 1 6 45 33 43 53 iiii 2 77 5 2 43 54 23 iiii 3 33 22 65 iii i 326 325 11i 确定向量所表示的复数确定向量所表示的复数 例例 如图 平行四边形 OABC 顶点 O A C 分别 表示 0 试求 i 23 i 42 1 所表示的复数 所表示的复数 AOBC 2 对角线所表示的复数 CA 3 对角线所表示的复数及的长度 OBOB 分析 分析 要求某个向量对应的复数 只要找出所求的向量的始点和终点 或者用向量的相 等直接给出所求的结论 解 1 OAAO 所表示的复数为 AO i 23 AOBC 所表示的复数为 BC i 23 2 OCOACA 所表示的复数为CA iii25 42 23 3 对角线 它所对应的复数为OCOAABOAOB iii61 42 23 用心 爱心 专心 3761 22 OB 求正方形的第四个顶点对应的复数求正方形的第四个顶点对应的复数 例例 复数 它们在复平面上的对应点是一个正方iz21 1 iz 2 2 iz21 3 形的三个顶点 求这个正方形的第四个顶点对应的复数 分析分析 1 利用或者求点 D 对应的复数 BCAD DCAB 解法解法 1 设复数 所对应的点分别为 A B C 正方形的第四个顶点 D 对应的 1 z 2 z 3 z 复数为 则yix Ryx OAODAD 21 iyix iyx 2 1 OBOCBC iii31 2 21 BCAD 31 2 1 iiyx 解得 32 11 y x 1 2 y x 故点 D 对应的复数 2i 分析分析 2 利用正方形的性质 对角钱相等且互相平分 相对顶点连线段的 中点重合 即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解 解法解法 2 设复数 所对应的点分别为 A B C 正方形的第四个顶点 D 对应的 1 z 2 z 3 z 复数为 yix Ryx 因为点 A 与点 C 关于原点对称 所以原点 O 为正方形的中心 点 O 也是 B 与 D 点的中点 于是由0 2 yixi 1 2 yx 故 D 对应的复数为 2i 小结 小结 解题 1 一定要善于发现问题中可能被利用的条件 寻找最佳的解题方法 解法 2 利用正方形是如 C 对称固形 解题思路较巧 根据条件求参数的值根据条件求参数的值 例例 已知 分别对应向量 iaaz 5 3 2 1 iaaaz 12 1 2 2 Ra 用心 爱心 专心 O 为原点 若向量对应的复数为纯虚数 求的值 21 OZ OZ 12Z Za 分析 分析 对应的复数为纯虚数 利用复数减法先求出对应的复数 再利用复数 12Z Z 12Z Z 为纯虚数的条件求解即得 解 解 设向量对应复数 12Z Zz 2112 OZOZZZ 12 1 5 3 22 21 iaaaiaazzz iaaaaa 12 5 1 3 22 iaaaa 6 2 22 为纯虚数 即z 06 02 2 2 aa aa 0 2 3 0 1 2 aa aa 1 a 求复数的轨迹方程求复数的轨迹方程 例例 求对应的点的轨迹方程 rz iz432 解 解 则iz432 432iz 又 故有rz 22rz ri2 43 对应点的轨迹是以为圆心 为半径的圆 i 43 r2 小结 小结 由减法的几何意义知表示复平面上两点 间的距离 1 zz z 1 z 当 表示复数对应的点的轨迹是以对应的点为圆心 半径为的圆 rzz 1 z 1 zr 当 表示以复数 的对应点为端点的线段的垂直平分线 1 zz 2 zz 1 z 2 z 求复数的最大值与最小值求复数的最大值与最小值 例例 设复数满足 求的最大值和最小值 iziz342234 z 分析 分析 仔细地观察 分析等式 实质是一实数等式 由iziz342234 其特点 根据实数的性质知若 则 因此已知等式可化为aa 0 a0234 iz 用心 爱心 专心 解 解 由已知等式得02 34 iz 即 它表示的以点 P 4 3 为圆02