抛物线专题复习讲义及练习(答案)

抛物线抛物线 1 抛物线的标准方程 类型及其几何性质 0 p 2 抛物线的焦半径 焦点弦 0 2 2 ppxy的焦半径 PF 2 P x 0 2 2 ppyx的焦半径 PF 2 P y 过焦点的所有弦中最短的弦 也被称做通径 其长度为 2p AB 为抛物线pxy2 2 的焦点弦 则 BAx x 4 2 p BAy y 2 p AB pxx BA 考点考点 1 抛物线的定义抛物线的定义 题型题型 利用定义利用定义 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 例 1 已知点 P 在抛物线 y2 4x 上 那么点 P 到点 Q 2 1 的距离与点 P 到抛物线焦 点距离之和的最小值为 解题思路 将点 P 到焦点的距离转化为点 P 到准线的距离 解析 过点 P 作准线的垂线l交准线于点 R 由抛物线的定义知 PRPQPFPQ 当 P 点为抛物线与垂线l的交点时 PRPQ 取得最小值 最小值为点 Q 到准线的距离 因准线方程为 x 1 故最小值为 3 名师指引 灵活利用抛物线的定义 就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距 离之间的转换 一般来说 用定义问题都与焦半径问题相关 新题导练 1 已知抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点为F 点 111222 P xyP xy 333 P xy 在抛 物线上 且 1F P 2F P 3F P成等差数列 则有 A 321 xxx B 321 yyy C 231 2xxx D 231 2yyy 解析 C 由抛物线定义 213 2 222 ppp xxx 即 231 2xxx 2 已知点 4 3 AF 是抛物线xy8 2 的焦点 M 是抛物线上的动点 当MFMA 最小时 M 点坐标是 A 0 0 B 62 3 C 4 2 D 62 3 解析 设 M 到准线的距离为MK 则MKMAMFMA 当MKMA 最小时 M 点坐标是 4 2 选 C 考点考点 2 抛物线的标准方程抛物线的标准方程 题型题型 求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程 例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程 并求对应抛物线的准线方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线240 xy 上 解题思路 以方程的观点看待问题 并注意开口方向的讨论 解析 1 设所求的抛物线的方程为 2 2ypx 或 2 2 0 xpy p 过点 3 2 229 3 24 pp或 29 34 pp 或 抛物线方程为 2 4 3 yx 或 2 9 2 xy 前者的准线方程是 1 3 x 后者的准线方程为 9 8 y 2 令0 x 得2y 令0y 得4x 抛物线的焦点为 4 0 或 0 2 当焦点为 4 0 时 4 2 p 8p 此时抛物线方程 2 16yx 焦点为 0 2 时2 2 p 4p 此时抛物线方程 2 8xy 所求抛物线方程为 2 16yx 或 2 8xy 对应的准线方程分别是4 2xy 名师指引 对开口方向要特别小心 考虑问题要全面 新题导练新题导练 3 若抛物线 2 2ypx 的焦点与双曲线 2 2 1 3 x y 的右焦点重合 则p的值 解析 413 2 p p 4 若抛物线的顶点在原点 开口向上 F 为焦点 M 为准线与 Y 轴的交点 A 为抛物线上 一点 且3 17 AFAM 求此抛物线的方程 解析 设点 A是点A在准线上的射影 则3 AA 由勾股定理知22 MA 点 A 的横坐标为 2 3 22 p 代入方程pyx2 2 得2 p或 4 抛物线的方程yx4 2 或 yx8 2 考点考点 3 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 题型 有关焦半径和焦点弦的计算与论证题型 有关焦半径和焦点弦的计算与论证 例 3 设 A B 为抛物线pxy2 2 上的点 且 90 AOB O 为原点 则直线 AB 必过的定 点坐标为 解题思路 由特殊入手 先探求定点位置 解析 设直线 OA 方程为kxy 由 pxy kxy 2 2 解出 A 点坐标为 2 2 2 k p k p pxy x k y 2 1 2 解出 B 点坐标为 2 2 2 pkpk 直线 AB 方程为 2 2 1 2 2 k pkxk pky 令 0 y得px2 直线 AB 必过的定点 0 2 p 名师指引 1 由于是填空题 可取两特殊直线 AB 求交点即可 2 B 点坐标可由 A 点坐标用 k 1 换 k 而得 新题导练 6 若直线10axy 经过抛物线 2 4yx 的焦点 则实数a 解析 1 7 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A B 若 A B 在抛物线准线上的射影为 11 B A 则 11FB A A 45 B 60 C 90 D 120 解析 C 基础巩固训练 1 过抛物线xy4 2 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A B 两点 它们的横坐标之和等于 42 2 Raaa 则这样的直线 A 有且仅有一条 B 有且仅有两条 C 1 条或 2 条 D 不存在 解析 C 44 1 52 22 aaapxxAB BA 而通径的长为 4 2 在平面直角坐标系xOy中 若抛物线 2 4xy 上的点P到该抛物线焦点的距离为 5 则点 P 的纵坐标为 A 3 B 4 C 5 D 6 解析 B 利用抛物线的定义 点 P 到准线1 y的距离为 5 故点 P 的纵坐标为 4 3 两个正数 a b 的等差中项是 9 2 一个等比中项是2 5 且 b a 则抛物线 2 yba x 的焦点坐标为 A 1 0 4 B 1 0 4 C 1 0 2 D 1 0 4 解析 D 1 4 5 abba 4 如果 1 P 2 P 8 P是抛物线 2 4yx 上的点 它们的横坐标依次为 1 x 2 x 8 x F 是抛物线的焦点 若 21 Nnxxx n 成等差数列且45 921 xxx 则 5F P A 5 B 6 C 7 D 9 解析 B 根据抛物线的定义 可知1 2 iii p PFxx 1i 2 n 21 Nnxxx n 成等差数列且45 921 xxx 5 5 x 5F P 6 5 抛物线 4 2 Fxy的焦点为 准线为 l l 与 x 轴相交于点 E 过 F 且倾斜角等于 60 的 直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A AB l 垂足为 B 则四边形 ABEF 的面积 等于 A 33 B 34 C 36 D 38 解析 C 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H 设 nmA 则 1 1 mOFOHFHmABAF 32 3 1 21 nmmm 四边形 ABEF 的面积 32 13 2 2 1 36 6 设O是坐标原点 F是抛物线 2 4yx 的焦点 A是抛物线上的一点 FA 与x轴正 向的夹角为60 则OA 为 解析 21 过 A 作ADx 轴于 D 令FDm 则mFA2 即mm22 解得2 m 32 3 A 21 32 3 22 OA 综合提高训练 7 在抛物线 2 4yx 上求一点 使该点到直线45yx 的距离为最短 求该点的坐标 解析 解法 1 设抛物线上的点 4 2 xxP 点P到直线的距离 17 544 2 xx d 17 174 17 4 2 1 4 2 x 当且仅当 2 1 x时取等号 故所求的点为 1 2 1 解法 2 当平行于直线45yx 且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求 设该直 线方程为bxy 4 代入抛物线方程得044 2 bxx 由01616 b得 2 1 1 xb 故所求的点为 1 2 1 8 已知抛物线 2 axyC a为非零常数 的焦点为F 点P为抛物线c上一个动点 过点P且与抛物线c相切的直线记为l 1 求F的坐标 2 当点P在何处时 点F到直线l的距离最小 解 1 抛物线方程为y a x 1 2 故焦点F的坐标为 4 1 0 a 2 设 2 0000 axyyxP 则 2 2 0 axkPaxy 的切线的斜率点处抛物线 二次函数在 直线l的方程是 2 00 2 0 xxaxaxy 0 2 2 00 axyxax 即 4 1 14 4 1 1 2 4 1 0 2 0 2 22 0 2 0 a xa a ax ax a d 0 0 0 0 的坐标是此时时上式取 当且仅当Px LF0 0 P的距离最小到切线处时 焦点在当 9 设抛物线 2 2ypx 0p 的焦点为 F 经过点 F 的直线交抛物线于 A B 两 点 点 C 在抛物线的准线上 且 BC X 轴 证明直线 AC 经过原点 O 证明 因为抛物线 2 2ypx 0p 的焦点为 0 2 p F 所以经过点 F 的直线 AB 的方 程可设为 2 p xmy 代人抛物线方程得 22 20ypmyp 若记 11 A x y 22 B xy 则 21 y y是该方程的两个根 所以 2 12 y yp 因为 BC X 轴 且点 C 在准线 2 p x 上 所以点 C 的坐标为 2 2 p y 故直线 CO 的斜率为 21 11 2 2 yyp k p yx 即k也是直线OA的斜率 所以直线AC经过原点O 10 椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上有一点 M 4 5 9 在抛物线pxy2 2 p 0 的准线 l 上 抛物 线的焦点也是椭圆焦点 1 求椭圆方程 2 若点 N 在抛物线上 过 N 作准线 l 的垂线 垂足为 Q 距离 求 MN NQ 的最小值 解 1 1 2 2 2 2 b y