陕西省宝鸡市金台区2013届高三数学11月质量检测试题 理（含解析）新人教A版

1 陕西省宝鸡市金台区陕西省宝鸡市金台区 20132013 届届高三高三 1111 月质量检测数学试卷 理科 月质量检测数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 本大题共一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 本大题共 1010 小题 小题 每小题每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 1 5 分 已知集合 M x log2x 1 N x x2 2x 0 则 a M 是 a N 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 计算题 分析 由 M x log2x 1 x 0 x 2 N x x2 2x 0 x 0 x 2 知 a M a N a N 推不出 a M 解答 解 M x log2x 1 x 0 x 2 N x x2 2x 0 x 0 x 2 a M a N a N 推不出 a M a M 是 a N 充分不必要条件 故选 A 点评 本题考查必要条件 充分条件 充要条件的性质和应用 是基础题 解题时要认真 审题 注意集合和不等式等知识的灵活运用 2 5 分 下列函数中 既是偶函数 又是在区间 0 上单调递减的函数是 A y lnx B y x2C y 2 x D y cosx 考点 奇偶性与单调性的综合 专题 探究型 函数的性质及应用 分析 对于 A 函数的定义域为 0 故 y lnx 非奇非偶 对于 B 是偶函数 在区间 0 上单调递增 对于 C 是偶函数 在区间 0 上 函数为 y 2 x在区间 0 上单调递 减 对于 D 是偶函数 在区间 0 上 不是单调函数 2 解答 解 对于 A 函数的定义域为 0 故 y lnx 非奇非偶 即 A 不正确 对于 B 是偶函数 在区间 0 上单调递增 即 B 不正确 对于 C 是偶函数 在区间 0 上 函数为 y 2 x在区间 0 上单调递 减 故 C 正确 对于 D 是偶函数 在区间 0 上 不是单调函数 即 D 不正确 故选 C 点评 本题考查函数单调性与奇偶性的综合 考查学生分析解决问题的能力 属于中档 题 3 5 分 2013 茂名二模 已知 x y R i 为虚数单位 且 xi y 1 i 则 1 i x y 的值为 A 2B 2iC 4D 2i 考点 复数相等的充要条件 专题 计算题 分析 由复数相等的条件求出 x y 然后直接代入求值 解答 解 由 xi y 1 i 得 所以 x 1 y 1 所以 x y 1 1 2 所以 1 i x y 1 i 2 2i 故选 D 点评 本题考查了复数相等的充要条件 两个复数相等 当且仅当实部等于实部 虚部等 于虚部 此题是基础题 4 5 分 已知圆 O x2 y2 4 直线 l 过点 P 1 1 且与直线 OP 垂直 则直线 l 的方程 为 A x 3y 4 0B y 1 0C x y 0D x y 2 0 考点 直线与圆的位置关系 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 求出圆心与 P 的连线的斜率 然后求出直线 l 的斜率 利用点斜式方程求出直线 l 的方程即可 解答 解 因为圆 O x2 y2 4 的圆心坐标 0 0 所以直线 OP 的斜率为 1 直线 l 过点 P 1 1 且与直线 OP 垂直 直线 l 的斜率为 1 所以直线 l 的方程为 y 1 x 1 即 x y 2 0 故选 D 点评 本题考查圆的圆心坐标与直线的方程的求法 直线的多项式方程的求法 考查计算 3 能力 5 5 分 2009 福建 如图 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形 且体 积为 则该几何体的俯视图可以是 A B C D 考点 简单空间图形的三视图 专题 压轴题 图表型 分析 解法 1 结合选项 正方体的体积否定 A 推出正确选项 C 即可 解法 2 对四个选项 A 求出体积判断正误 B 求出体积判断正误 C 求出几何体的体 积判断正误 同理判断 D 的正误即可 解答 解 解法 1 由题意可知当俯视图是 A 时 即每个视图是变边长为 1 的正方形 那么 此几何体是立方体 显然体积是 1 注意到题目体积是 知其是立方体的一半 可 知选 C 解法 2 当俯视图是 A 时 正方体的体积是 1 当俯视图是 B 时 该几何体是圆柱 底面积是 高为 1 则 体积是 当俯视是 C 时 该几何是直三棱柱 故体积是 当俯视图是 D 时 该几何是圆柱切割而成 其体积是 故选 C 点评 本题是基础题 考查几何体的三视图的识别能力 作图能力 依据数据计算能力 注意三视图的投影规则是主视 俯视 长对正 主视 左视高平齐 左视 俯视 宽 相等 6 5 分 2011 西城区一模 右面茎叶图表示的是甲 乙两人在 5 次综合测评中的成绩 其中一个数字被污损 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 4 A B C D 考点 众数 中位数 平均数 茎叶图 专题 图表型 分析 由已知的茎叶图 我们可以求出甲乙两人的平均成绩 然后求出 即甲的平均 成绩不超过乙的平均成绩的概率 进而根据对立事件减法公式得到答案 解答 解 由已知中的茎叶图可得 甲的 5 次综合测评中的成绩分别为 88 89 90 91 92 则甲的平均成绩 90 设污损数字为 X 则乙的 5 次综合测评中的成绩分别为 83 83 87 99 90 X 则乙的平均成绩 88 4 当 X 8 或 9 时 即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率 P 1 故选 C 点评 本题考查的知识点是平均数 茎叶图 古典概型概率计算公式 其中根据已知茎叶 图求出数据的平均数是解答本题的关键 7 5 分 2009 天津 设函数 f x x lnx x 0 则 y f x A 在区间 1 l e 内均有零点 B 在区间 1 l e 内均无零点 C 在区间 1 内无零点 在区间 l e 内有零点 D 在区间 1 内有零点 在区间 l e 内无零点 考点 利用导数研究函数的单调性 函数零点的判定定理 5 分析 先对函数 f x 进行求导 再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答 案 解答 解 由题得 令 f x 0 得 x 3 令 f x 0 得 0 x 3 f x 0 得 x 3 故知函数 f x 在区间 0 3 上为减函数 在区间 3 为增函数 在点 x 3 处有极小值 1 ln3 0 又 故选 C 点评 本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系 即当导函数大于 0 时 原函数单调递增 当导函数小于 0 时原函数单调递减 8 5 分 有 5 名同学参加唱歌 跳舞 下棋三项比赛 每项比赛至少有一人参加 每人 只能参加一项比赛 若其中某一位同学不能参加跳舞比赛 则参赛方案共有 A 112 种 B 100 种 C 92 种 D 76 种 考点 排列 组合及简单计数问题 专题 计算题 概率与统计 分析 分类讨论 跳舞 1 人 2 人 3 人 根据分类计数原理得到结果 解答 解 由题意 若跳舞 1 人 则有 4 种方法 再安排其余 4 人参加唱歌 下棋比赛 有 14 故有 56 种方法 若跳舞 2 人 则有 6 种方法 再安排其余 3 人参加唱歌 下棋比赛 有 6 种方法 故共有 36 种方法 若跳舞 3 人 则有 4 种方法 再安排其余 2 人参加唱歌 下棋比赛 有 2 种方法 故共有 8 种方法 故共有 100 种方法 故选 B 点评 本题考查分类计数问题 解题的关键是正确分类 属于基础题 9 5 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 设 S 为 ABC 的面积 满足 S b2 c2 a2 则角 A 的最大值是 6 A B C D 考点 余弦定理 专题 三角函数的求值 分析 由条件利用余弦定理可得 即 tanA 1 可得 A 由 此求得 A 的最大值 解答 解 ABC 中 由于 S b2 c2 a2 由余弦定理可得 花间可得 tanA 1 A 故 A 的最大值为 故选 B 点评 本题主要考查余弦定理的应用 同角三角函数的基本关系 属于中档题 10 5 分 定义某种运算 a b 的运算原理如图所示 设 f x 0 x x 则 f x 在区间 2 2 上的最小值为 A 4B 2C 8D 2 考点 选择结构 专题 函数的性质及应用 分析 通过程序框图判断出 S a b 的解析式 再求出 f x 的解析式 从而求出 f x 的解析式 最后令 x 2 即可得到函数的最小值 解答 解 由书籍中的流程图可得 a b 7 f x 0 x x 又 x 2 2 当 x 2 时 f x 取最小值 4 故选 A 点评 本题考查选择结构 主要考查了判断程序框图的功能即判断出新运算法则 利用运 算法则求值 解决新定义题关键是理解题中给的新定义 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 分 11 5 分 观察等式 根据以上规律 写出第四个等式为 考点 归纳推理 专题 规律型 分析 由已知中的前三个等式 分析等式左边项数及最后一项的分母与 n 的关系 又及右 边分子 分母的关系 找出变化规律 可得答案 解答 解 由 可得左边的式子共有 n 1 项 第一项为 最后一项为 右边的式子为 故第四个等式为 故答案为 点评 本题考查的知识点是归纳推理 其中根据前三个等式 分析出等式左边项数及最后 一项的分母与 n 的关系 又及右边分子 分母的关系 是解答的关键 12 5 分 2011 山东 若 x 6式的常数项为 60 则常数 a 的值为 4 8 考点 二项式系数的性质 专题 计算题 分析 利用二项展开式的通项公式求出通项 令 x 的指数等于 0 求出常数项 列出方程求 出 a 解答 解 展开式的通项为 令 6 3r 0 得 r 2 所以展开式的常数项为 aC62 60 解得 a 4 故答案为 4 点评 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题 13 5 分 为了在 十一 黄金周期间降价搞促销 某超市对顾客实行购物优惠活动 规 定一次购物付款总额 如果不超过 200 元 则不予优惠 如果超过 200 元 但不超过 500 元 则按标价给予 9 折优惠 如果超过 500 元 其中 500 元按第 条给予优惠 超过 500 元的部分给予 7 折优惠 辛云和她母亲两次去购物 分别付款 168 元和 423 元 假设她们一次性购买上述同样的商 品 则应付款额为 546 6 元 考点 函数模型的选择与应用 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 根据题意 可得分段函数 利用分段函数 求出优惠前 购物应付款 即可得到结 论 解答 解 依题意 付款总额 y 与标价 x 之间的关系为 单位为元 y 辛云和她母亲两次去购物 分别付款 168 元和 423 元 优惠前 购物应付款 168 638 元 一次性购买上述同样的商品 应付款额为 0 9 500 0 7 638 500 546 6 元 故答案为 546 6 点评 本题考查利用数学知识解决实际问题 确定分段函数的解析式是解答本题的关键 14 5 分 2012 包头三模 若曲线 y x2在点 a a2 a 0 处的切线与两个坐标轴围 成的三角形的面积为 2 则 a 等于 2 9 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 微积分基本定理 专题 导数的概念及应用 分析 利用导数得出切线的斜率 进而得出切线的方程 求出切线与两坐标轴的交点 再 利用三角形的面积即可得出答案 解答 解 f x 2x f a 2a 即为切线的斜率 切线的方程 y a2 2a x a 即为 y 2ax a2 切线与两个坐标轴的交点为 A B 0 a2 OAB 的面积 S 又已知切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 2 a 0 解得 a 2 故答案为 2 点评 利用导数得出切线的斜率并写出切线的方程是解题的关键 15 5 分 本题 A B C 三个选答题 请考生任选一题作答 如果多做 则按所做的第一 题计分 A 不等式选讲选做题 若不等式 x 1 x m 2m 的解集为 则 m 的取值范围为 B 几何证明选讲选做题 如图所示 已知 AB 和 AC 是圆的两条弦 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D 过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E 与 AB 相交于点 F AF 3 FB 1 EF 则线段 CD 的长为 C 极坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 2 的直角坐标是 考点 点的极坐标和直角坐标的互化 与圆有关的比例线段 绝对值不等式的解法 专题 不等式的解法及应用 直线与圆 分析 A 由题意可得 x 1 x m 的最小值 m 1 2m 即 m 1 2m 或 m 1 2m 由此求得 m 的取值范围 B 由相交弦定理求出 FC 由相似比求出 BD 设 DC x 则 AD 4x 再由切割线定理 10 BD2 CD AD 求解 C 直接根据公式 x cos y sin 把点的极坐标化为直角坐标 解答 解 A 不等式 x 1 x m 2m 的解集为 而由绝对值的意义可得 x 1 x m 的最小值为 m 1 m 1 2m m 1 2m 或 m 1 2m 解得 m 故答案为 B 由相交弦定理得到 AF FB EF FC 即 3 1 FC FC 2 在 ABD 中 AF AB FC BD 即 3 4 2 BD BD 设 DC x 则 AD 4x 再由切割线定理 BD2 CD AD 即 x 4x 2 解得 x 故答案为 C 在极坐标系中 点的极坐标 2 设它的直角坐标 x y 则 x 2cos 1 y 2sin 故设它的直角坐标 1 故答案为 1 点评 本题主要考查绝对值不等式的解法 直线与圆的位置关系 相交弦定理 切割线定 理 相似三角形的概念 判定与性质 点的极坐标化为直角坐标的方法 属于基础 题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 12 分 已知向量 2sin x cosx cosx 2sin x 函 数 f x 1 1 求函数 f x 的解析式 2 求 f x 的周期及单调递增区间 考点 两角和与差的正弦函数 平面向量数量积的运算 正弦函数的单调性 专题 平面向量及应用 分析 1 直接利用向量的数量积 通过二倍角公式与两角差的正弦函数 化简函数我一 个角的一个三角函数的形式 即可求函数 f x 的解析式 2 利用正弦函数的单调增区间 构造关于相位角的不等式 解不等式可求出函数 的单调增区间到 解答 解 1 2sin x cosx 2cosxsin x 2sinxcosx 2cos2x sin2x cos2x 1 2 分 f x 1 sin2x cos2x 3 分 11 f x 2sin 2x 4 分 2 由 1 知 f x 的周期为 由 2k 2x 2k k Z 解得 k x k k Z 6 分 f x 的单调递增区间为 k k k Z 12 分 点评 本题借助向量的数量积的化简 求解函数的解析式 考查三角函数的基本性质 函 数的图象的变换 17 12 分 已知数列 an 满足 a1 1 an an 1 anan 1数列 an 的前 n 项和为 Sn 1 求证 数列 为等差数列 2 设 Tn S2n Sn 求证 Tn 1 Tn 考点 数列与不等式的综合 等差关系的确定 专题 等差数列与等比数列 分析 1 由 an an 1 anan 1 从而得 1 根据等差数列的性质 可以证明 2 由 1 可求出 an的通项公式 求出数列 an 的前 n 项和为 Sn 利用作差法进 行证明 解答 1 证明 由 an an 1 anan 1 从而得 1 3 分 a1 1 数列 是首项为 1 公差为 1 的等差数列 5 分 2 则 an Sn 1 Tn S2n Sn 1 1 9 分 证 Tn 1 Tn 0 Tn 1 Tn 12 分 12 点评 此题主要考查了等差数列的性质及其应用 第二问利用作差法进行证明 这也是最 基本的证明方法 我们要熟练掌握 此题是一道中档题 18 12 分 如图甲 在平面四边形 ABCD 中 已知 A 45 C 90 ADC 105 AB BD 现将四边形 ABCD 沿 BD 折起 使平面 ABD 平面 BDC 如图乙 设点 E F 分别为 棱 AC AD 的中点 1 求证 DC 平面 ABC 2 求二面角 A EF B 的余弦值 考点 二面角的平面角及求法 直线与平面垂直的判定 专题 综合题 空间角 分析 1 在图甲中 由 AB BD 且 A 45 能推导出 AB BD 在图乙中 由平面 ABD 平面 BDC 且平面 ABD 平面 BDC BD 能推导出 AB CD 由此能够证明 DC 平 面 ABC 2 法一 以 B 为坐标原点 建立空间直角坐标系 利用向量法能求出二面角 A EF B 的余弦值 法二 由题知 EF DC 故 EF 平面 ABC 由 BE 在平面 ABC 内 AE 在平面 ABC 内 知 AEB 为二面角 B EF A 的平面角利用余弦定理能求出二面角 A EF B 的余弦 值 解答 1 证明 在图甲中 AB BD 且 A 45 ADB 45 ABD 90 AB BD 2 分 在图乙中 平面 ABD 平面 BDC 且平面 ABD 平面 BDC BD AB 底面 BDC AB CD 4 分 又 DCB 90 DC BC 且 AB BC B DC 平面 ABC 6 分 2 解法一 如图 以 B 为坐标原点 建立空间直角坐标系如下图示 设 CD a 则 BD AB 2a BC AD 2 A 0 0 2a B 0 0 0 D 2a 0 0 C 则 E a F a 0 a 13 设平面 ACD 的法向量为 x1 y1 1 平面 BEF 的法向量 8 分 则 解得 1 1 1 1 10 分 cos 即所求二面角 A EF B 的余弦值为 12 分 解法二 由题知 EF DC EF 平面 ABC 又 BE 在平面 ABC 内 AE 在平面 ABC 内 FE BE FE AE AEB 为二面角 B EF A 的平面角 9 分 设 CD a 则 BD AB 2a BC 在 AEB 中 AE BE cos AEB 即所求二面角 B EF A 的余弦为 12 分 14 点评 本题考查直线与平面垂直的证明 考查二面角的余弦值的求法 解题时要认真审题 仔细解答 注意向量法和余弦定理的合理运用 19 12 分 2012 自贡三模 己知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 e 以 原点为圆心 椭圆短半轴长为半径的圆与直线 x y 2 0 相切 A B 分别是椭圆的左右两 个顶点 P 为椭圆 C 上的动点 I 求椭圆的标准方程 II M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点 若 求点 M 的轨迹方程 并说明轨 迹是什么曲线 考点 轨迹方程 椭圆的标准方程 专题 综合题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 I 写出圆的方程 利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出 b 的值 利用椭圆 的离心率公式得到 a c 的关系 再利用椭圆本身三个参数的关系求出 a c 的值 将 a b 的值代入椭圆的方程即可 II 设出 M 的坐标 求出 P 的坐标 利用两点的距离公式将已知的几何条件用坐 标表示 通过对参数 的讨论 判断出 M 的轨迹 解答 解 由题意 以原点为圆心 椭圆短半轴长为半径的圆的方程为 x2 y2 b2 直线 x y 2 0 与圆相切 d b 即 b 又 e 即 a c a2 b2 c2 a c 1 椭圆方程为 设 M x y 其中 x 由已知及点点 P 在椭圆 C 上可得 2 整理得 3 2 1 x2 3 2y2 6 其中 x 15 当 时 化简得 y2 6 点 M 轨迹方程为 y 轨迹是两条平行于 x 的线段 当 时时 方程变形为 其中 x 当 0 时 点 M 轨迹为中心在原点 实轴在 y 轴上的双曲线满足 的部分 当时 点 M 轨迹为中心在原点 长轴在 x 上的椭圆满足 的部分 当 1 时 点 M 轨迹为中心在原点 长轴在 x 上的椭圆 点评 本题重点考查圆锥曲线的方程 考查直线与圆锥曲线的位置关系 考查分类讨论的 数学思想 解题的关键是利用待定系数法求圆锥曲线的方程 20 13 分 2013 渭南二模 东莞市政府要用三辆汽车从新市政府把工作人员接到老市 政府 已知从新市政府到老市政府有两条公路 汽车走公路 堵车的概率为 不堵车的 概率为 汽车走公路 堵车的概率为 p 不堵车的概率为 1 p 若甲 乙两辆汽车走公 路 丙汽车由于其他原因走公路 且三辆车是否堵车相互之间没有影响 1 若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为 求走公路 堵车的概率 2 在 1 的条件下 求三辆汽车中被堵车辆的个数 的分布列和数学期望 考点 离散型随机变量的期望与方差 相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量及 其分布列 专题 计算题 应用题 分析 1 三辆车是否堵车相互之间没有影响三辆汽车中恰有一辆汽车被堵 是一个独立 重复试验 走公路 堵车的概率为 p 不堵车的概率为 1 p 根据独立重复试验的 概率公式写出关于 P 的方程 解出 P 的值 得到结果 2 三辆汽车中被堵车辆的个数 由题意知 可能的取值为 0 1 2 3 结合 变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率写出变量的分布列 做出期望 解答 解 1 三辆车是否堵车相互之间没有影响 三辆汽车中恰有一辆汽车被堵 是一个独立重复试验 走公路 堵车的概率为 p 不堵车的概率为 1 p 得 即 3p 1 则 16 即 p 的值为 2 由题意知 可能的取值为 0 1 2 3 的分布列为 E 点评 本题考查离散型随机变量的分布列和期望 考查相互独立事件同时发的概率 考查 利用