高中数学 1-1-3-1~2空间几何体的表面积与体积同步练习 新人教A版必修2

1 新课标人教版 新课标人教版 A A 数学必修二 数学必修二 1 1 3 1 21 1 3 1 2 空间几何体的表面积与空间几何体的表面积与 体积同步练习体积同步练习 双基达标 限时20分钟 1 已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1 2 3 对角线的长是 2 则这个长方 14 体的体积是 A 6 B 12 C 24 D 48 解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 2x 3x 又对角线长为 2 14 则 x2 2x 2 3x 2 2 2 解得x 2 14 三条棱长分别为 2 4 6 V长方体 2 4 6 48 答案 D 2 2012 广州高一检测 一个几何体的三视图及其尺寸如图 单位 cm 则该几何体的表 面积为 A 12 B 18 C 24 D 36 解析 由三视图知该几何体为圆锥 底面半径r 3 母线l 5 S表 rl r2 24 故选 C 答案 C 3 已知圆台上 下底面面积分别是 4 侧面积是 6 则这个圆台的体积是 A B 2 C D 2 3 3 3 7 3 6 7 3 3 解析 S1 S2 4 r 1 R 2 S 6 r R l l 2 h 3 V 1 4 2 1 33 7 3 3 2 答案 D 4 把由曲线y x 和y 2 围成的图形绕x轴旋转 360 所得旋转体的体积为 解析 由题意 y x 和y 2 围成图中阴影部分的图形 旋转体为一个圆柱挖去两个相同 的共顶点的圆锥 V圆柱 22 4 16 2V圆锥 2 22 2 1 3 16 3 所求几何体体积为 16 16 3 32 3 答案 32 3 5 已知一个圆锥的展开图如图所示 其中扇形的圆心角为 120 底面圆的半径为 1 则该 圆锥的体积为 解析 因为扇形弧长为 2 所以圆锥母线长为 3 高为 2 所求体积 2 V 12 2 1 32 2 2 3 答案 2 2 3 6 若直角梯形的一个底角为 45 下底长为上底长的 这个梯形绕下底所在直线旋转一周 3 2 所成的旋转体的表面积是 5 求这个旋转体的体积 2 解 如图所示 在梯形ABCD中 AB CD A 90 B 45 绕AB边旋 转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体 设CD x AB x 3 2 3 则AD AB CD BC x x 2 2 2 S表 S圆柱底 S圆柱侧 S圆锥侧 AD2 2 AD CD AD BC 2 x x x2 4 x 2 x 2 2 2 x2 5 2 4 根据题设 x2 5 则x 2 5 2 42 所以旋转体体积V AD2 CD AD2 AB CD 3 12 2 12 3 2 3 7 3 综合提高 限时25分钟 7 2012 温州检测 二 如图所示 一个空间几何体的正 主 视图和侧 左 视图都是边长 为 2 的正方形 俯视图是一个直径为 2 的圆 则这个几何体的全面积为 A 2 B 4 C 6 D 8 解析 由三视图知该空间几何体为圆柱 所以其全面积为 12 2 2 1 2 6 故 选 C 答案 C 8 设某几何体的三视图如图 尺寸的长度单位为 m 则该几何体的体积为 m3 4 解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥 由 长对正 宽相等 高平齐 的原则可知三棱锥的高为 2 底面三角形的底边长为 4 高 为 3 则所求棱锥的体积为V 3 4 2 4 1 3 1 2 答案 4 9 如图 若球O的半径为 5 一个内接圆台的两底面半径分别为 3 和 4 球心O在圆台的两 底面之间 则圆台的体积为 解析 作经过球心的截面 如图 O1A 3 O2B 4 OA OB 5 则OO1 4 OO2 3 O1O2 7 V 32 42 7 332 42 259 3 答案 259 3 10 若一个四面体的所有棱长都为 四个顶点都在同一球面上 则此球的表面积为 2 解析 如图 把四面体ABCD补成正方体 则正方体的棱长为 1 正方体的体对 角线长等于外接球的直径 球的直径 2R 球的表面积S 4 R2 3 3 答案 3 11 如图 在梯形ABCD中 AD BC ABC 90 AD a BC 2a DCB 60 在平面 ABCD内过点C作l CB 以l为轴将梯形ABCD旋转一周 求旋转体的表面积和体积 5 解 如题图 在梯形ABCD中 ABC 90 AD BC AD a BC 2a DCB 60 CD 2a AB CDsin 60 a BC AD cos 60 3 DD AA 2AD 2BC 2AD 2a DO DD a 1 2 由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的 圆锥 由上述计算知 圆柱母线长a 底面半径 2a 圆锥的母线长 2a 底面半径a 3 圆柱的侧面积S1 2 2a a 4 a2 33 圆锥的侧面积S2 a 2a 2 a2 圆柱的底面积S3 2a 2 4 a2 圆锥的底面积 S4 a2 旋转体的表面积S S1 S2 2S3 S4 4 a2 2 a2 4 a2 2 a2 4 9 a2 33 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积 V柱 Sh 2a 2 a 4 a3 33 V锥 S h a2 a a3 V V柱 V锥 4 a3 a3 a3 1 3 1 33 3 33 3 3 11 3 3 12 创新拓展 一个倒立圆锥形容器 它的轴截面是正三角形 在这容器内注入水并且放入 一个半径为r的铁球 这时水面恰好和球面相切 问将球从圆锥内取出后 圆锥内水平面的 高是多少 解 设球取出后水面高PH x 如图所示 AC r PC 3r 3 以AB为底面直径的圆锥的容积为 V圆锥 AC2 PC r 2 3r 3 r2 V球 r2 1 3 1