高中数学高考备考 位置关系的向量解法学案

用心 爱心 专心 位置关系的向量解法学案位置关系的向量解法学案 教学目标教学目标 一 课程标准要求一 课程标准要求 1 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义 会用待定系数法求平面的法向量 2 能用向量语言表述线线 线面 面面的垂直和平行关系 3 能用向量方法证明有关线 面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 能用向量方 法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系 二 考纲要求二 考纲要求 空间向量的共线与垂直 直线的方向向量与平面的法向量均为 B 级要求 知识梳理知识梳理 1 直线的方向向量及其应用 1 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量 平行平行 或共线 的向量 有 无数无数 个 2 利用直线的方向向量 可以确定空间中的直线和平面 若有直线l 点A是直线l上 一点 向量a 是l的方向向量 在直线l上取aAB 则对于直线l上任意一点P 一定存 在实数t使得 atAP 这样 点A和向量a 不仅可以确定l的位置 还可具体表 示出l上的任意点 空间中平面 的位置可以由 上两条相交直线确定 若设这两条直线 交于点O 它们的方向向量分别是ba P为平面 上任意一点 由平面向量基本定理可知 存在有序实数对 yx 使得OP byax 这样 点O与方向向量ba 不仅可 以确定平面 的位置 还可以具体表示出 上的任意点 2 平面的法向量就是指所在的直线与平面垂直的向量 显然一个平面的法向量也有 无数无数个 它们是 共线共线 向量 3 直线的方向向量与平面的法向量在确定直线 平面位置关系中的应用 1 直线 1 l的方向向量 1111 cbau 直线 2 l的方向向量为 2222 cbau 如果 1 l 2 l 那么 1 u 2 u 21212121 kcckbbkaauku 如果 1 l 2 l 那么 1 u 2 u 00 21212121 ccbbaauu 2 直线l的方向向量为 111 cbau 平面 的法向量为 222 cban 如果l 那么u n 0nu 0 212121 ccbbaa 如果l 那么u n nku 212121 kcckbbkaa 3 平面 的法向量为 1111 cbau 平面 的法向量为 2222 cbau 如果 那么 1 u 2 u 21 uku 212121 kcckbbkaa 如果 那么 1 u 2 u 0 21 uu 0 212121 ccbbaa 基础自测基础自测 1 设平面 的法向量为 1 2 2 平面 的法向量为 2 4 k 若 则 k 用心 爱心 专心 答案答案 4 2 已知直线 l 的方向向量为 v v 平面 的法向量为 u u 则 v v u u 0 l 与 的关系是 答案答案 l 或 l 3 向量 a a 2 3 1 b b 2 0 4 c c 4 6 2 下列结论不正确的是 a a b b b b c c a a b b a a c c a a c c a a b b 以上都不对 答案答案 4 已知 a a 1 1 1 b b 0 2 1 c c ma a nb b 4 4 1 若 c c 与 a a 及 b b 都垂直 则 m n 的值分别为 答案答案 1 2 5 如图所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 棱长为 a M N 分别为 A1B 和 AC 上的 点 A1M AN 3 2a 则MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 答案答案 平行 巩固演练巩固演练 1 若平面 的法向量分别为 n n1 2 3 5 n n2 3 1 4 则 的位置关系 是 用 平行 垂直 相交但不垂直 填空 答案答案 相交但不垂直 2 已知AB 2 4 5 CD 3 x y 若AB CD 则 x y 答案答案 6 2 15 3 已知AB 1 5 2 BC 3 1 z 若AB BC BP x 1 y 3 且 BP 平面 ABC 则实数 x y z 分别为 答案答案 7 40 7 15 4 4 设点 C 2a 1 a 1 2 在点 P 2 0 0 A 1 3 2 B 8 1 4 确定的平面 上 则 a 答案答案 16 5 如图所示 已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直 AB 2 AF 1 M 是线段 EF 的中点 求证 1 AM 平面 BDE 2 AM 平面 BDF 证明证明 1 建立如图所示的空间直角坐标系 设 AC BD N 连接 NE 则点 N E 的坐标分别为 0 2 2 2 2 0 0 1 NE 1 2 2 2 2 又点 A M 的坐标分别是 2 2 0 1 2 2 2 2 用心 爱心 专心 AM 1 2 2 2 2 NE AM且 NE 与 AM 不共线 NE AM 又 NE 平面 BDE AM