抽屉原理习题精选

抽屉原理习题精选 含答案 1 木箱里装有红色球 3 个 黄色球 5 个 蓝色球 7 个 若蒙眼去摸 为保证取出 的球中有两个球的颜色相同 则最少要取出多少个球 2 一幅扑克牌有 54 张 最少要抽取几张牌 方能保证其中至少有 3 张牌有相同的 点数 3 有 11 名学生到老师家借书 老师的书房中有 四类书 每名学生 最多可借两本不同类的书 最少借一本 试证明 必有两个学生所借的书的类型相同 4 有 50 名运动员进行某个项目的单循环赛 如果没有平局 也没有全胜 试证明 一定有两个运动员积分相同 5 体育用品仓库里有许多足球 排球和篮球 某班 50 名同学来仓库拿球 规定每 个人至少拿 1 个球 至多拿 2 个球 问至少有几名同学所拿的球种类是一致的 6 某校有 55 个同学参加数学竞赛 已知将参赛人任意分成四组 则必有一组的女 生多于 2 人 又知参赛者中任何 10 人中必有男生 则参赛男生的人数为多少人 7 有黑色 白色 蓝色手套各 5 只 不分左右手 至少要拿出多少只 拿的时 候不许看颜色 才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的 8 一些苹果和梨混放在一个筐里 小明把这筐水果分成了若干堆 后来发现无论 怎么分 总能从这若干堆里找到两堆 把这两堆水果合并在一起后 苹果和梨的个数是 偶数 那么小明至少把这些水果分成了多少堆 9 从 1 3 5 99 中 至少选出多少个数 其中必有两个数的和是 100 10 某旅游车上有 47 名乘客 每位乘客都只带有一种水果 如果乘客中有人带梨 并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果 那么乘客中有多少人带苹果 11 某个年级有 202 人参加考试 满分为 100 分 且得分都为整数 总得分为 10101 分 则至少有多少人得分相同 12 2006 名营员去游览长城 颐和园 天坛 规定每人最少去一处 最多去两处 游览 至少有几个人游览的地方完全相同 13 某校派出学生 204 人上山植树 15301 株 其中最少一人植树 50 株 最多一人 植树 100 株 则至少有多少人植树的株数相同 答案 1 将红 黄 蓝三种颜色看作三个抽屉 为保证取出的球中有两个球的颜色相同 则最少要取出 4 个球 3 2 1 1 4 2 将 14 种点数看作是 14 个抽屉 最少要抽取 29 张牌 方能保证其中至少有 3 张 牌有相同的点数 14 3 1 1 29 扑克牌中的点数说明 A K 分别为 1 13 点 大 小王点数相同 共 14 种点数 3 证明 A B C D 四类书 根据题目条件 这些学生借书的组合可能有十种 分别是 A B C D AB AC AD BC BD CD 因为有 11 名学生到老师家借书 而只有 10 种借书情况 将这十种借书情况看作是 十个抽屉 因此必有两个学生所借的书的类型相同 11 10 1 1 1 1 2 4 证明 所谓单循环赛即每个运动员都与其它运动员进行一场比赛 即每个人要 参加 49 场比赛 这样如果假设没有运动员积分相同 因为没有全胜 则运动员的积分 就有 48 胜 47 胜 2 胜 1 胜 0 胜共 49 个积分情况 而 50 名运动员需要有 50 个 不同的积分结果 这里 49 个积分情况 与 需要 50 个积分结果 出现了矛盾 所以 假设 没有运动员积分相同 是错误的 因此一定有两个运动员积分相同 5 方法同第 3 题 拿球的种类组合可以有以下六种 足球 排球 篮球 足排 足篮 排篮 这六种组合看作六个抽屉 至少有 9 名同学所拿的球种类是一致的 50 6 8 2 8 1 9 6 则参赛男生 46 人 7 至少要拿出 10 只才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的 8 至少把这些水果分成了 5 堆 分四种情况 9 至少选出 51 个数 其中必有两个数的和是 100 10 46 乘客带苹果 11 提示 分值从 0 100 共 101 种可能的分值 10101 0 1 2 100 2 1 则至少有 3 人得分相同 12 至少有 335 个人游览的地方完全相同 13 则至少有 5 人植树的株数相同 第四讲 最不利原则第四讲 最不利原则 一 最不利原则 在日常生活和生产中 我们常常会遇到求最大值或最小值的问题 解答这类问题 常常需要从最不利的情况出发分 析问题 这就是最不利原则 例 1 口袋里有同样大小和同样质地的红 黄 蓝三种颜色的小球各 20 个 问 一次最少摸出几个球 才能保证至 少有 4 个小球颜色相同 分析与解 如果碰巧一次取出的 4 个小球的颜色都相同 就回答是 4 那么显然不对 因为摸出的 4 个小球的 颜色也可能不相同 回答是 4 是从最 有利 的情况考虑的 但为了 保证至少有 4 个小球颜色相同 就要从 最 不利 的情况考虑 如果最不利的情况都满足题目要求 那么其它情况必然也能满足题目要求 最不利 的情况是什么呢 那就是我们摸出 个红球 个黄球和 个蓝球 此时三种颜 色的球都是 个 却无 4 个球同色 这样摸出的 9 个球是 最不利 的情形 这时再摸出一个球 无论是红 黄或蓝色 都能保证有 4 个小球颜色相同 所以回答应是最少摸出 个球 通过上面分析 列式为 例 2 一把钥匙只能开一把锁 现有 10 把钥匙和 10 把锁 最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配 分析与解 从最不利的情形考虑 用 10 把钥匙依次去试第一把锁 最不利的情况是试验了 9 次 前 8 次都没打开 第 9 次无论打开或没打开 都能确定与这把锁相匹配的钥匙 若没打开 则第 10 把钥匙与这把锁相匹配 同理 第二把锁试验 8 次 第九把锁只需试验 1 次 第十把锁不用再试 为什么 通过上面分析 列式为 例 3 在一副扑克牌中 最少要取出多少张 才能保证取出的牌中四种花色都有 分析与解 一副扑克牌有大 小王牌各 1 张 红桃 黑桃 方块 梅花 四种花色各 13 张 共计 有 54 张牌 最不利的情形是 取出四种花色中的三种花色的牌各 13 张 再加上 2 张王牌 这 41 张牌中没有四种花 色 剩下的正好是另一种花色的 13 张牌 再抽 1 张 四种花色都有了 因此最少要拿出 42 张牌 才能保证四种花色 都有 热身操 1 口袋里有同样大小和同样质地的红 黄 蓝三种颜色的小球各 20 个 问 一次最少摸出几个 才能保证至少有 5 个小球颜色相同 2 口袋里有同样大小和同样质地的红 黄 蓝三种颜色的小球共 20 个 其中红球 4 个 黄球 6 个 蓝球 10 个 问 一次最少取出几个 才能保证至少有 6 个小球颜色相同 3 口袋里有三种颜色的筷子各 10 根 问 1 至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到 2 至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子 3 至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子 4 一个布袋里有红色 黄色 黑色袜子各 20 只 问 最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有 2 双颜色不相同的袜 子 第六讲 抽屉原理 抽屉原理抽屉原理 抽屉原理又叫狄里克雷原理 是指 把 n 1 个元素 任意放入 n 个抽屉 则其中必有一个抽屉里至少有 2 个元素 抽 屉原理有时也被称为鸽巢原理 如果有五个鸽子笼 养鸽人养了 6 只鸽子 那么当鸽子飞回笼中后 至少有一个笼 子中装有 2 只鸽子 它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题 因此 也称为狄 利克雷原理 它是组合数学中一个重要的原理 原理 1 把多于 n 个的物体放到 n 个抽屉里 则至少有一个抽屉里有 2 个或 2 个以上的物体 原理 2 把多于 mn m 乘以 n 个的物体放到 n 个抽屉里 则至少有一个抽屉里有 m 1 个或多于 m 1 个的物体 例 1 把 4 枝笔放进 3 个笔筒里 不管怎么放 总有一个笔筒里至少放进 2 枝笔 这是为什么 我们从最不利的原则去考虑 答 如果我们先让每个笔筒里放 枝笔 最多放 枝 剩下的 枝还要放进其中的一个笔筒 所以不管怎么放 总有一个笔筒里至少放进 枝笔 练习 7 只鸽子飞回 5 个鸽舍 至少有 2 只鸽子要飞进同一个鸽舍里 为什么 答 如果一个鸽舍里飞进一只鸽子 5 个鸽舍最多飞进 只鸽子 还剩下 只鸽子 所以 无论怎么 飞 至少有 只鸽子要飞进同一个笼子里 例 2 把 5 本书进 2 个抽屉中 不管怎么放 总有一个抽屉至少放进 3 本书 这是为什么 例 3 把 7 本书进 2 个抽屉中 不管怎么放 总有一个抽屉至少放进多少本书 为什么 例 4 把 9 本书进 2 个抽屉中 不管怎么放 总有一个抽屉至少放进多少本书 为什么 做一做 8 只鸽子飞回 3 个鸽舍 至少有 只鸽子要飞进同一个鸽舍 为什么 计算方法 至少数 商数计算方法 至少数 商数 1 1 练习 1 某班 32 名小朋友是在 5 月份出生的 能否找到两个生日是在同一天的小朋友 2 一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子 颜色有红 黄 黑 白四种 不允许用眼睛看 那么至少要 取出多少只袜子 才能保证有 5 双同色的袜子 3 礼堂里有 253 人开会 这 253 人中至少有多少人的属相相同 4 体育组有足球 篮球和排球 上体育课前 老师让一班的 41 名同学往操场拿球 每人最多拿两个 问 至少有几 名同学拿球的情况完全一样 5 口袋里放有足够多的红 白两种颜色的球 有若干人轮流从袋中取球 每人取三个球 要保证有 4 人取出的球的 颜色完全相同 至少应有多少人取球 6 幼儿园小朋友分 200 块饼干 无论怎样分都有人至少分到 8 块饼干 这群小朋友至多有多少名 7 图书馆有甲 乙 丙 丁四类图书 规定每个同学最多可以借两本不同类的图书 至少有多少个同学借书 才能 保证有两个人所借的图书类别相同 8 要把 85 个球放入若干个盒子中 每个盒子中最多放 7 个 问 至少有几个盒子中放球的数目相同 9 把 125 本书分给五 2 班学生 如果其中至少有 1 人分到至少 4 本书 那么 这个班最多有多少人 10 某班有个小书架 40 个同学可以任意借阅 小书架上至少要有多少本书 才能保证至少有一个图形能借到两本或 两本以上的书 HER 新思路教育 有黑色 白色 黄色的筷子各 8 根 混杂放在一起 黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双 筷子 至少要取出多少根才能保证达到要求 12 一副扑克牌 大王 小王除外 有四种花色 每种花色有 13 张 从中任意抽牌 最少要抽几张 才能保证有四 张牌是同一张花色的 13 在从 1 开始的 10 个奇数中任取 6 个 一定有两个数的和是 20 14 在任意的 10 人中 至少有两个人 他们在这 10 个人中认识的人数相等 15 一副扑克牌有 54 张 至少要抽取几张牌 方能保证其中至少有 2 张牌有相同的点数 16 某班有 49 个学生 最大的 12 岁 最小的 9 岁 是否一定有两个学生 他们是同年同月出生的 17 某校五年级学生共有 380 人 年龄最大的与年龄最小的相差不到 1 岁 我们不用去查看学生的出生日期 就可断 定在这 380 个学生中至少有两个是同年同月同日出生的 你知道为什么吗 18 有红色 白色 黑色的筷子各 10 根混放在一起 让你闭上眼睛去摸 1 你至少要摸出几根才敢保证有两根筷 子是同色的 2 至少拿几根 才能保证有两双同色的筷子 为什么 19 任意 4 个自然数 其中至少有两个数的差是 3 的倍数 这是为什么 20 从任意 3 个整数中 一定可以找到两个 使得它们的和是一个偶数 这是为什么 21 从任意的 5 个整数中 一定可以找到 3 个数 使这 3 个数的和是 3 的倍数 这是为什么 HER 新思路教育 22 从 1 到 50 的自然数中 任取 27 个数 其中必有两个数的和等于 52 这是为什么 23 在 100 米的路段上栽树 至少要栽多少棵树 才能保证至少有两棵树之间的距离小于 10 米 两端各栽一棵 24 从 1 10 这 10 个数中 任取多少个数 才能保证这些数中一定能找到两个数 使其中的一个数是另一个数的倍数 25 任意取多少自然数 才能保证至少有两个自然数的差是 7 的倍数 26 有尺寸 规格相同的 6 种颜色的袜子各 20 只 混装在箱内 从箱内至少取出多少只袜子才能保证有 3 双袜子 HER 新思路教育 27 把 135 块饼干分给 16 个小朋友 若每个小朋有至少分得一块饼干 那么不管怎么分 一定会有两个小朋友分得 的饼干数目相同 这是为什么 28 学校买来历史 文艺 科普三种图书若干本 每个同学从中任意借两本 那么至少要多少名学生一起来借书 其 中才一定有两人所借的图书种类相同 29 1 从 1 到 100 的自然数中 任取 52 个数 其中必有两个数的和为 102 HER 新思路教育 2 从 1 到 100 的所有奇数中 任取 27 个不同的数 其中必有两个数的和等于 102 请说明理由 抽屉原理练习题抽屉原理练习题 1 木箱里装有红色球 个 黄色球 个 蓝色球 个 若蒙眼去摸 为保证取出的球中有两个球的颜色相同 则 最少要取出多少个球 解 把 种颜色看作 个抽屉 若要符合题意 则小球的数目必须大于 故至少取出 个小球才能符合要求 2 一幅扑克牌有 54 张 最少要抽取几张牌 方能保证其中至少有 2 张牌有相同的点数 解 点数为 1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 J 12 Q 13 K 的牌各取 1 张 再取大王 小王各 1 张 一 共 15 张 这 15 张牌中 没有两张的点数相同 这样 如果任意再取 1 张的话 它的点数必为 1 13 中的一个 于是 有 2 张点数相同 3 11 名学生到老师家借书 老师是书房中有 四类书 每名学生最多可借两本不同类的书 最少借一 本 试证明 必有两个学生所借的书的类型相同 证明 若学生只借一本书 则不同的类型有 四种 若学生借两本不同类型的书 则不同的类型有 AB AC AD BC BD CD 六种 共有 10 种类型 把这 10 种类型看作 10 个 抽屉 把 11 个学生看作 11 个 苹果 如果谁借哪种类型的书 就进入哪个抽屉 由抽屉原理 至少有两个学生 他们所借的书的类型相同 4 有 50 名运动员进行某个项目的单循环赛 如果没有平局 也没有全胜 试证明 一定有两个运动员积分相同 证明 设每胜一局得一分 由于没有平局 也没有全胜 则得分情况只有 1 2 3 49 只有 49 种可能 以这 49 种可能得分的情况为 49 个抽屉 现有 50 名运动员得分 则一定有两名运动员得分相同 5 体育用品仓库里有许多足球 排球和篮球 某班 50 名同学来仓库拿球 规定每个人至少拿 个球 至多拿 个球 问至少有几名同学所拿的球种类是一致的 解题关键 利用抽屉原理 解 根据规定 多有同学拿球的配组方式共有以下 种 足 排 蓝 足足 排排 蓝蓝 足排 足蓝 排蓝 以这 种配组方式制造 个抽屉 将这 50 个同学看作苹果 50 9 5 5 由抽屉原理 k m n 可得 至少有 人 他们所拿的球类是完全一致的 6 某校有 55 个同学参加数学竞赛 已知将参赛人任意分成四组 则必有一组的女生多于 2 人 又知参赛者中任何 10 人中必有男生 则参赛男生的人生为 人 解 因为任意分成四组 必有一组的女生多于 2 人 所以女生至少有 4 2 1 9 人 因为任意 10 人中必有男生 所以女生人数至多有 9 人 所以女生有 9 人 男生有 55 9 46 人 7 证明 从 1 3 5 99 中任选 26 个数 其中必有两个数的和是 100 解析 将这 50 个奇数按照和为 100 放进 25 个抽屉 1 99 3 97 5 95 49 51 根 据抽屉原理 从中选出 26 个数 则必定有两个数来自同一个抽屉 那么这两个数的和即为 100 8 某旅游车上有 47 名乘客 每位乘客都只带有一种水果 如果乘客中有人带梨 并且其中任何两位乘客中至少有 一个人带苹果 那么乘客中有 人带苹果 解析 由题意 不带苹果的乘客不多于一名 但又确实有不带苹果的乘客 所以不带苹果的乘客恰有一名 所以带 苹果的就有 46 人 9 一些苹果和梨混放在一个筐里 小明把这筐水果分成了若干堆 后来发现无论怎么分 总能从这若干堆里找到 两堆 把这两堆水果合并在一起后 苹果和梨的个数是偶数 那么小明至少把这些水果分成了 堆 解析 要求把其中两堆合并在一起后 苹果和梨的个数一定是偶数 那么这两堆水果中 苹果和梨的奇偶性必须相同 对于每一堆苹果和梨 奇偶可能性有 4 种 奇 奇 奇 偶 偶 奇 偶 偶 所以根据抽屉原理 可知最少分了 4 1 5 筐 10 有黑色 白色 蓝色手套各 5 只 不分左右手 至少要拿出 只 拿的时候不许看颜色 才能使拿出的 手套中一定有两双是同颜色的 解析 考虑最坏情况 假设拿了 3 只黑色 1 只白色和 1 只蓝色 则只有一双同颜色的 是再多拿一只 不论什么颜 色 则一定会有两双同颜色的 所以至少要那 6 只 11 从前 25 个自然数中任意取出 7 个数 证明 取出的数中一定有两个数 这两个数中大数不超过小数的 1 5 倍 证明 把前 25 个自然数分成下面 6 组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 因为从前 25 个自然数中任意取出 7 个数 所以至少有两个数取自上面第 组到第 组中的某同一组 这两个数 中大数就不超过小数的 1 5 倍 12 一副扑克牌有四种花色 每种花色各有 13 张 现在从中任意抽牌 问最少抽几张牌 才能保证有 4 张牌是同一 种花色的 解析 根据抽屉原理 当每次取出 4 张牌时 则至少可以保障每种花色一样一张 按此类推 当取出 12 张牌时 则 至少可以保障每种花色一样三张 所以当抽取第 13 张牌时 无论是什么花色 都可以至少保障有 4 张牌是同一种花 色 选 B 13 从 1 2 3 4 12 这 12 个自然数中 至少任选几个 就可以保证其中一定包括两个数 他们的差是 7 解析 在这 12 个自然数中 差是 7 的自然树有以下 5 对 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 另外 还有 2 个不能配对的数是 6 7 可构造抽屉原理 共构造了 7 个抽屉 只要有两个数是取自同一个抽屉 那么 它们的差就等于 7 这 7 个抽屉可以表示为 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 6 7 显然从 7 个 抽屉中取 8 个数 则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉 也即作差为 7 所以选择 D 15 某幼儿班有 40 名小朋友 现有各种玩具 122 件 把这些玩具全部分给小朋友 是否会有小朋友得到 4 件或 4 件 以上的玩具 分析与解 将 40 名小朋友看成 40 个抽屉 今有玩具 122 件 122 3 40 2 应用抽屉原理 2 取 n 40 m 3 立 即知道 至少有一个抽屉中放有 4 件或 4 件以上的玩具 也就是说 至少会有一个小朋友得到 4 件或 4 件以上的玩具 16 一个布袋中有 40 块相同的木块 其中编上号码 1 2 3 4 的各有 10 块 问 一次至少要取出多少木块 才能 保证其中至少有 3 块号码相同的木块 分析与解 将 1 2 3 4 四种号码看成 4 个抽屉 要保证有一个抽屉中至少有 3 件物品 根据抽屉原理 2 至少要有 4 2 1 9 件 物品 所以一次至少要取出 9 块木块 才能保证其中有 3 块号码相同的木块 17 六年级有 100 名学生 他们都订阅甲 乙 丙三种杂志中的一种 二种或三种 问 至少有多少名学生订阅的杂 志种类相同 分析与解 首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况 订一种杂志有 订甲 订乙 订丙 3 种情况 订二 种杂志有 订甲乙 订乙丙 订丙甲 3 种情况 订三种杂志有 订甲乙丙 1 种情况 总共有 3 3 1 7 种 订阅方 法 我们将这 7 种订法看成是 7 个 抽屉 把 100 名学生看作 100 件物品 因为 100 14 7 2 根据抽屉原理 2 至少有 14 1 15 人 所订阅的报刊种类是相同的 18 篮子里有苹果 梨 桃和桔子 现有 81 个小朋友 如果每个小朋友都从中任意拿两个水果 那么至少有多少个 小朋友拿的水果是相同的 分析与解 首先应弄清不同的水果搭配有多少种 两个水果是相同的有 4 种 两个水果不同有 6 种 苹果和梨 苹果 和桃 苹果和桔子 梨和桃 梨和桔子 桃和桔子 所以不同的水果搭配共有 4 6 10 种 将这 10 种搭配作为 10 个 抽屉 81 10 8 1 个 根据抽屉原理 2 至少有 8 1 9 个 小朋友拿的水果相同 19 学校开办了语文 数学 美术三个课外学习班 每个学生最多可以参加两个 可以不参加 问 至少有多少 名学生 才能保证有不少于 5 名同学参加学习班的情况完全相同 分析与解 首先要弄清参加学习班有多少种不同情况 不参加学习班有 1 种情况 只参加一个学习班有 3 种情况 参 加两个学习班有语文和数学 语文和美术 数学和美术 3 种情况 共有 1 3 3 7 种 情况 将这 7 种情况作为 7 个 抽屉 根据抽屉原理 2 要保证不少于 5 名同学参加学习班的情况相同 要有学生 7 5 1 1 29 名 20 在 1 4 7 10 100 中任选 20 个数 其中至少有不同的两对数 其和等于 104 析 解这道题 可以考虑 先将 4 与 100 7 与 97 49 与 55 这些和等于 104 的两个数组成一组 构成 16 个抽屉 剩下 1 和 52 再构成 2 个 抽屉 这样 即使 20 个数中取到了 1 和 52 剩下的 18 个数还必须至少有两个数取自前面 16 个抽屉中的两个抽屉 从而有不同的两组数 其和等于 104 如果取不到 1 和 52 或 1 和 52 不全取到 那么和等于 104 的数组将多于两组 解 1 4 7 10 100 中共有 34 个数 将其分成 4 100 7 97 49 55 1 52 共 18 个 抽屉 从这 18 个抽屉中任取 20 个数 若取到 1 和 52 则剩下的 18 个数取自前 16 个抽屉 至少有 4 个数取自某两个 抽屉中 结论成立 若不全取 1 和 52 则有多于 18 个数取自前 16 个抽屉 结论亦成立 21 任意 5 个自然数中 必可找出 3 个数 使这三个数的和能被 3 整除 分析 解这个问题 注意到一个数被 3 除的余数只有 0 1 2 三个 可以用余数来构造抽屉 解 以一个数被 3 除的余数 0 1 2 构造