高中数学《导数及其应用》同步练习1 新人教A版选修2-2

用心 爱心 专心1 选修 选修 2 22 2 导数及其应用导数及其应用 章节测试题章节测试题 一 选择题一 选择题 共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 函数y x2cosx的导数为 A y 2xcosx x2sinxB y 2xcosx x2sinx C y x2cosx 2xsinxD y xcosx x2sinx 2 下列结论中正确的是 A 导数为零的点一定是极值点 B 如果在 0 x附近的左侧0 xf 右侧0 xf 那么 0 xf是极大值 C 如果在 0 x 附近的左侧 0 xf 右侧 0 xf 那么 0 xf 是极小值 D 如果在 0 x附近的左侧0 xf 右侧0 xf 那么 0 xf是极大值 3 曲线 3 cos 0 2 yxx 与坐标轴围成的面积是 A 4 B 5 2 C 3 D 2 4 函数 3 34f xxx 0 1 x 的最大值是 A 1 B 1 2 C 0 D 1 5 如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm 为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处 则克服弹力所做的功为 A 0 28J B 0 12J C 0 26J D 0 18J 6 给出以下命题 若 0 b a f x dx 则f x 0 2 0 sin4xdx f x 的原函 数为 F x 且F x 是以 T 为周期的函数 则 0 aa T T f x dxf x dx 其中正确命题的个数 为 A 1 B 2 C 3 D 0 7 若函数 32 1f xxxmx 是 R 上的单调函数 则实数 m 的取值范围是 A 1 3 B 1 3 C 1 3 D 1 3 用心 爱心 专心2 8 设 0 a b 且f x x x 11 则下列大小关系式成立的 是 A f a f 2 ba f ab B f 2 ba f b f ab C f ab f 2 ba f a D f b f 2 ba f ab 9 函数 2 f xaxb 在区间 0 内是减函数 则 a b应满足 0a 且0b 0a 且bR 0a 且0b 0a 且bR 10 f x与 g x是R定义在上的两个可导函数 若 f x与 g x满足 fxg x 则 f x与 g x满 足 f xg x f xg x 为常数函数 0f xg x f xg x 为常数函数 11 2007 江苏 已知二次函数 2 f xaxbxc 的导数为 fx 0 0 f 对于任意 实数x 有 0f x 则 1 0 f f 的最小值 为 3 5 2 2 3 2 12 2007 江西理 设函数 f x是R上以 5 为周期的可导偶函数 则曲线 yf x 在 5x 处的切线的斜率为 1 5 0 1 5 5 二 填空题二 填空题 共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 10 曲线y 2x3 3x2共有 个极值 14 已知 xf为一次函数 且 1 0 2 f xxf t dt 则 xf 15 若 x exf 1 则 0 12 1 lim t ftf t 16 已知函数2 23 xcbxaxxxf在处取得极值 并且它的图象与直线 用心 爱心 专心3 33 xy在点 1 0 处相切 则函数 xf的表达式为 m2 三 解答题三 解答题 共 74 分 17 本小题满分 10 分 一物体沿直线以速度 23v tt t的单位为 秒 v的单位为 米 秒 的速度作变速直线运动 求该物体从时刻 t 0 秒至时刻 t 5 秒间运动的路程 18 本小题满分 12 分 已知曲线 y x3 x 2 在点 P0 处的切线 1 l 平行直线 4x y 1 0 且点 P0 在第三象限 求P0的坐标 若直线 1 ll 且 l 也过切点P0 求直线l的方程 19 本小题满分 12 分 已知函数 32 1 48 2 f xaxaxaxb 的图象关于原点 成中心对称 试判断 f x在区间 4 4 上的单调性 并证明你的结论 20 本小题满分 14 分 已知函数 lnf xx 0 x 函数 1 0 g xafx x fx 当0 x 时 求函数 yg x 的表达式 用心 爱心 专心4 若0a 函数 yg x 在 0 上的最小值是 2 求a的值 在 的条件下 求直线 27 36 yx 与函数 yg x 的图象所围成图形的面积 21 本小题满分 12 分 设0a 2 1ln2 ln 0 f xxxax x 令 F xxfx 讨论 F x在 0 内的单调性并求极值 求证 当1x 时 恒有 2 ln2 ln1xxax 22 本小题满分 14 分 已知函数 exf xkxx R 若ek 试确定函数 f x的单调区间 若0k 且对于任意x R 0fx 恒成立 试确定实数k的取值范围 设函数 F xf xfx 求证 1 2 1 2 e2 n n FFF nn N 导数及其应用 章节测试题答案 一 选择题 60 分 1 5 ABCAD 6 10 BCD B B 11 12 C B 用心 爱心 专心5 二 填空题 16 分 13 2 14 1f xx 15 e 2 或 1 2 e 16 68 23 xxxxf 三 解答题 共 74 分 17 解 当 3 0 2 t时 230 v tt 当 3 5 2 t时 230 v tt 物体从时刻 t 0 秒至时刻 t 5 秒间运动的路程 3 5 2 3 0 2 32 23 St dxtdx 9929 10 442 米 18 解 由y x3 x 2 得y 3x2 1 由已知得 3x2 1 4 解之得x 1 当x 1 时 y 0 当x 1 时 y 4 又 点P0在第三象限 切点P0的坐标为 1 4 直线 1 ll 1 l的斜率为 4 直线l的斜率为 1 4 l过切点P0 点P0的坐标为 1 4 直线l的方程为 1 4 1 4 yx 即4170 xy 19 解 答f x 在 4 4 上是单调递减函数 证明 函数f x 的图象关于原点成中心对称 则f x 是奇函数 所以a 1 b 0 于是f x 3 48 xx 2 348 fxx 当 4 4 0 xfx 又 函数 f x在 4 4 上连续 所以f x 在 4 4 上是单调递减函数 20 解 lnf xx 当0 x 时 lnf xx 当0 x 时 ln f xx 当0 x 时 1 fx x 当0 x 时 11 1 fx xx 当0 x 时 函数 a yg xx x 由 知当0 x 时 a g xx x 当0 0ax 时 2 g xa当且仅当xa 时取等号 用心 爱心 专心6 函数 yg x 在 0 上的最小值是2 a 依题意得22a 1a 由 27 36 1 yx yx x 解得 21 2 1 3 2 2 5 13 2 6 xx y y 直线 27 36 yx 与函数 yg x 的图象所围成图形的面积 2 3 2 271 36 Sxxdx x 7 ln3 24 21 本小题主要考查函数导数的概念与计算 利用导数研究函数的单调性 极值和证明不 等式的方法 考查综合运用有关知识解决问题的能力 本小题满分 14 分 解 根据求导法则有 2ln2 10 xa fxx xx 故 2ln20F xxfxxxax 于是 22 10 x F xx xx 列表如下 x 0 2 2 2 F x 0 F x A 极小值 2 F A 故知 F x在 0 2 内是减函数 在 2 内是增函数 所以 在2x 处取得极小值 2 22ln22Fa 证明 由0a 知 F x的极小值 2 22ln220Fa 于是由上表知 对一切 0 x 恒有 0F xxfx 从而当0 x 时 恒有 0fx 故 f x在 0 内单调增加 所以当1x 时 1 0f xf 即 2 1 ln2 ln0 xxax 故当1x 时 恒有 2 ln2 ln1xxax 22 本小题主要考查函数的单调性 极值 导数 不等式等基本知识 考查运用导数研究 用心 爱心 专心7 函数性质的方法 考查分类讨论 化归以及数形结合等数学思想方法 考查分析问题 解 决问题的能力 满分 14 分 解 由ek 得 ee x f xx 所以 ee x fx 由 0fx 得1x 故 f x的单调递增区间是 1 由 0fx 得1x 故 f x的单调递减区间是 1 由 fxfx 可知 fx是偶函数 于是 0fx 对任意x R成立等价于 0f x 对任意0 x 成立 由 e0 x fxk 得lnxk 当 01 k 时 e10 0 x fxkkx 此时 f x在 0 上单调递增 故 0 10f xf 符合题意 当 1 k 时 ln0k 当x变化时 fxf x 的变化情况如下表 x 0 ln k lnk ln k fx 0 f x单调递减极小值单调递增 由此可得 在 0 上 ln lnf xfkkkk 依题意 ln0kkk 又11ekk 综合 得 实数k的取值范围是0ek ee xx F xf xfx 12 F x F x 12121212121212 eeeeee2e2 xxxxxxxxxxxxxx 1 1 e2 n FF n 1 1 2 1 e2 1 e2 n n FF n F n F 用心 爱心 专心8 由此得 21 1 2 1 2 1 1 e2 nn FFF nFF nFF nF n F 故 1 2 1 2 e2 n n FFF nn N 数学科学段测试 导数部分 一 选择题 12 小题 共 36 分 1 设曲线 2 2yxx 在点 M 处切线斜率为 3 则点 M 的坐标为 A 0 2 B 1 0 C 0 0 D 1 1 2 抛物线 y x2在点 M 2 1 4 1 的切线的倾斜角是 A 30 B 45 C 60 D 90 3 将半径为R的球加热 若球的半径增加R 则球体积的平均变化率为 A 23 2 4 44 3 RRRRR B 2 2 4 44 3 RRRR C 2 4 RR D 2 4 R 4 函数 y x3 3x 在 1 2 上的最小值为 A 2B 2C 0D 4 5 设函数 f x的导函数为 fx 且 2 21f xxx f 则 0 f 等于 A 0 B 4 C 2 D 2 6 已知曲线 3 3 1 xy 在点 3 8 2 P 则过 P 点的切线方程为 A 016123 yxB 016312 yx C 016123 yxD 016312 yx 7 已知 f x x3 ax2 a 6 x 1 有极大值和极小值 则 a 的取值范围为 A 1 a 2 B 3 a 6 C a2 D a6 8 设函数 f x 在定义域内可导 y f x 的图象如下图所示 则导函数 y f x 可 能为 9 设函数 f x kx3 3 k 1 x2 2 k 1 在区间 0 4 上是减函数 则k的 取值范围是 x y O A x y O B x y O C x y O D x y O 用心 爱心 专心9 A 1 3 k B 1 0 3 k C 1 0 3 k D 1 3 k 10 函数xxyln 的单调递减区间是 A 1 e B 1 e C 0 1 e D e 11 方程 x3 6x2 9x 10 0 的实根个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 12 对于 R 上可导的任意函数 f x 且 1 0f 若满足 x 1 fx 0 则 必有 A f 0 f 2 2f 1 B f 0 f 2 2f 1 C f 0 f 2 2f 1 D f 0 f 2 2f 1 二 填空题 4 小题 共 16 分 13 文 已知函数xxy3 3 则它的单调递增区间是 13 理 计算定积分 dxxx 2 0 sin 14 已知函数lnsinyx 和 2x ya 的导函数分别是 15 文 一质点在直线上从时刻t 0 秒以速度34 2 tttv 米 秒 运动 则该质点在时刻t 3 秒时运动的路程为 15 理 函数cosyx 0 2 x 与坐标轴围成的图像绕x旋转一周所得旋转 体的体积是 16 文 已知曲线 32 3610yxxx 上一点P 则过曲线上 P 点的所有切线 方程中 斜率最小的切线方程是 16 理 曲线 S y 3x x3的过点 A 2 2 的切线的方程是 三 解答题 4 小题 共 10 14 12 12 48 分 17 文 求曲线 1 y x 和 2 yx 在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角 形面积 17 理 已知一物体运动的速度为 21v tt 求物体在 0 8 t 内运动的路程 用心 爱心 专心10 18 已知 322 3 1 f xxaxbxaa 在时有极值 0 1 求常数 a b的值 2 求的单调区间 3 方程 f xc 在区间 4 0 上有三个不同的实根时实数c的范围 19 请您设计一个帐篷 它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱 上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱 锥 如右图所示 试问当帐篷的顶点O到底面中 心 1 o的距离为多少时 帐篷的体积最大 注 1 3 VShVSh 柱体底锥体底 20 定义在定义域 D 内的函数 yf x 若对任意的 12 xxD 都有 12 1f xf x 则称函数 xfy 为 妈祖函数 否则称 非妈祖函数 试问函数 用心 爱心 专心11 1 1 3 xaxxxf Ra 是否为 妈祖函数 如果是 请给出证明 如果不是 请说明理由 莆田四中高二上数学科学段测试 导数部分 参考答案 1 12 BBBBB BDDDC CC 13 文 1 和 1 理 2 1 8 14 cot 2ln x yxyaa 15 文 0米 理 2 4 16 文 3110 xy 理 y 9x 16 或 y 2 17 文 解 曲线 1 y x 和 2 xy 在它们的交点坐标是 1 1 两条切线方程分 别是 y x 2 和 y 2x 1 它们与x轴所围成的三角形的面积是 4 3 10 分 17 理 解 因为 2 S ttt 所以 8 0 21 8 0 72StdtSS 10 分 18 解 1 由题知 2 分 联立 有 舍去 或 4 分 2 当时 故方程有根或 6 分 x 0 0 极大值 极小值 由表可见 当时 有极小值 0 故符合