高中数学一轮复习 第3讲 简单的线性规划问题

第第3 3讲讲 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 随堂演练巩固随堂演练巩固 1 如图 表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 A B 1 220 y xy 1 220 y xy C D 0 1 220 x y xy 0 1 220 x y xy 答案 C 2 在平面直角坐标系xOy中 已知平面区域A x y 且 则平面区域1xy 00 xy B x y x y 的面积为 x yA A 2 B 1 C 1 2 D 1 4 答案 B 解析 令 则 uxy vxy 2 2 uv x uv y 1 0 0 xy x y 1 0 0 u uv uv 作出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 是等腰直角三角形 可求出其面积 选B 1 2 11 2 S 3 若实数x y满足不等式组 则3x 4y的最小值是 250 270 00 xy xy xy A 13 B 15 C 20 D 28 答案 A 解析 由题意得x y所满足的区域如图所示 令u 3x 4y 则 31 44 yxu 先作 如图所示 将平行移动至过点B时 u取得最小值 0 l 3 4 yx 0 l 联立 解得 270 250 xy xy 3 1 x y min 3 34 113u 4 已知变量x y满足约束条件 则的取值范围是 20 1 70 xy x xy y x A 9 6 5 B 9 6 5 C 3 6 D 3 6 答案 A 解析 作出可行域 如图中阴影部分所示 可看作可行域内的点与原点连线的斜率 y x 由图易得的取值范围为 y x 9 6 5 5 不等式组 所确定的平面区域记为D 点 x y 是区域D内的点 若圆O 20 20 220 xy xy xy 上的所有点都在区域D内 则圆O的面积的最大值是 222 xyr 答案 4 5 解析 画出不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示 20 20 220 xy xy xy 其中离原点最近的距离为故r的最大值为所以圆O的面积的最大值是 2 5 5 2 5 5 4 5 课后作业夯基 基础巩固 1 设变量x y满足约束条件 则目标函数z 5x y的最大值为 0 1 21 xy xy xy A 2 B 3 C 4D 5 答案 D 解析 如图 由z 5x y 得y 5x z 目标函数在点 1 0 处取最大值 即 max 5 1 05z 2 已知x y满足 则使目标函数z 4x y 10取得最小值的最优解有 40 230 440 xy xy xy A 1个B 2个 C 3个D 无数多个 答案 D 解析 画出可行域如图 作直线 4x y 0 由z 4x y 10得y 4x z 10 0 l 所以求z的最小值 即求直线y 4x z 10在y轴上截距的最小值 因为将向右上方平移到与4x y 4 0重合时z最小 故最优解有无数多个 故选D 0 l 3 设变量x y满足 则x 2y的最大值和最小值分别为 1 1 0 xy xy x A 1 1B 2 2 C 1 2D 2 1 答案 B 解析 由线性约束条件 画出可行域如图中阴影部分所示 1 1 0 xy xy x 设z x 2y 则 1 22 z yx 作出直线 平移可知过A点时z取最大值0 0 l 1 2 yx 0 l max z 2 12 过B点时z取最小值 min 02 1 2z 4 设z x y 其中x y满足 若z的最大值为6 则z的最小值为 20 0 0 xy xy yk A 2B 3 C 4D 5 答案 B 解析 由线性约束条件 画出可行域如图 20 0 0 xy xy yk 由题意知当y x z过点A k k 时k 3 z x y在点B处取得最小值 B点在直线 max 6zkk x 2y 0上 则 B 6 3 min 633z 5 若不等式组 所表示的平面区域被直线y kx 分为面积相等的两部分 则k的 0 34 34 x xy xy 4 3 值是 A B 7 3 3 7 C D 4 3 3 4 答案 A 解析 由题意做出线性约束条件的可行域如下图 由图可知可行域为 ABC的边界及内部 y kx 恰过点将区域平均分成 4 3 4 0 3 A 4 3 ykx 面积相等的两部分 故过BC的中点即 51 2 2 D 5714 2233 kk 6 满足条件 的可行域中共有整点的个数为 20 230 5350 yx xy xy A 3 B 4 C 5 D 6 答案 B 解析 画出可行域 由可行域知有4个整点 分别是 0 0 0 1 1 1 2 2 7 如果点P在平面区域 上 点Q在曲线上 那么 PQ 的最小值 220 210 20 xy xy xy 22 2 1xy 为 A 51 B 4 1 5 C 2 21 D 21 答案 A 解析 由图可知不等式组确定的区域为阴影部分 包括边界 点P到点Q的距离的最小值为 点 1 0 到点 0 2 的距离减去圆的半径1 由图可知 PQ 22 min 0 1 20 151 8 不等式 x 2y 1 在坐标平面内表示的区域 用阴影部分表示 应是 3 0 xy 答案 C 解析 x 2y 1 3 0 xy 或 210 30 xy xy 210 30 xy xy 结合图形可知选C 9 设D是由 所确定的平面区域 记D被夹在直线x 1和间 0 0 xy xy y 11 xt t 的部分的面积为S 则函数S f t 的大致图象为 答案 B 解析 如图 由不等式组画出平面区域 根据题意 由函数S f t 的单调递增情况易选出答案B 10 若A为不等式组 表示的平面区域 则当a从 2连续变化到1时 动直线x y a扫过A 0 0 2 x y yx 中的那部分区域的面积为 答案 7 4 解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 直线x y a扫过的区域为四边形AOBC AODCBDAOBC SSS AA四边形 22711 22 22224 11 已知实数x y满足 则的最小值为 1 1 1 y x xy 22 zxy 答案 1 2 解析 实数x y满足的可行域如图中阴影部分所示 则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方 故 min z 211 2 2 12 由约束条件 所确定的平面区域的面积S f t 试求f t 的表达式 0 2 1 01 y yx yx txtt 解 由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP 如图中阴影部分所示 其面积 OPDAOBECD Sf tSSS AAA 而 1 1 21 2 OPD S A 2211 1 22 OABECD StSt AA 所以 222111 1 1 222 Sf ttttt 13 已知x y满足条件 求 75230 7110 4100 xy xy xy 1 4x 3y的最大值和最小值 的最大值和最小值 22 2 xy 的最大值和最小值 8 3 5 y x 解 原不等式组表示的平面区域如图所示 其中A 4 1 B 1 6 C 3 2 1 设z 4x 3y 则就是斜率为的直线在y轴上截距的 3倍 4 33 z yxz 4 3 作一组斜率为的平行线 当它扫过可行域时 4 3 由图可知 当它经过C点时z值最小 当它经过B点时z值最大 min 4 3 3 218z max 4 1 3 6 14z 2 设则u就是点 x y 与原点距离的平方 22 uxy 由图可知 B点到原点的距离最大 而当 x y 在原点时 距离为0 所以 22 maxmin 1 6 370uu 3 设则k就是点 x y 与P 5 8 连线的斜率 8 5 y k x 由图可知 AP连线斜率最小 BP连线斜率最大 所以 minmax 1 9 3 kk 拓展延伸 14 若x y满足约束条件 1 1 22 xy xy xy 1 求目标函数的最值 11 22 zxy 2