高中数学《向量的应用》素材1 苏教版必修4

用心 爱心 专心 向量的应用向量的应用 高考命题中对知识综合性的考查 往往在知识网络交汇点上设计试题 注 重学科的内在联系和综合 而向量知识引入后 因 向量 具有几何形式和代 数形式的 双重身份 它可作为联系代数与几何的纽带 是中学数学立体几何 不等式 三角函数 解析几何等知识的一个交汇点 因此也是将来高考的命题 热点 所以 向量 在数学中的位置也就显得越来越重要了 借此机会 谈谈 向量 的应用 向量知识在立体几何中的应用 向量知识在立体几何中的应用 现行立体几何最大的变化是引进空间向量 空间向量已是立体几何中的重 要内容 它改变了以往立体几何中的思维方法和解题方法 利用向量在解决垂 直 夹角和距离等问题时有它的优越性 因为用向量来运算避免了繁琐的定性分 析 使问题得到了大大简化 这一知识在高二上学期教材中有具体的应用 今天 在这里我就不再举例了 2 向量知识在不等式中的应用 向量知识在不等式中的应用 利用向量数量积的一个重要性质 变形为 baba 可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子 222 baba 的题目 采用构造向量去解往往能化难为易 同时有效地提高学生的观察分析 能力和想象能力 例 设任意实数 x y 满足 x 1 y 1 求证 xyyx 1 2 1 1 1 1 22 xyxyyxyx yx yx bab yxb yx a 1 2 22 4 2 4 1 1 1 1 11 1 1 1 1 4 a 1 1 1 1 1 1 2222 22 22 222 22 22 得 由向量内积性质 证明 构造向量 即 xyyx 1 2 1 1 1 1 22 用心 爱心 专心 3 向量知识在三角中的应用 向量知识在三角中的应用 定理 公式的证明不要仅仅呈现它的结论 也要关注知识产生的过程 当 复习正弦定理与余弦定理时 将向量的数量积与三角形的边长及三角函数联系 起来 掌握向量与三角知识间内在联系的规律 把感知上升为理解和应用 又 如复习正弦余弦的两角和差公式时 用传统方法过程比较复杂 如果利用数量 积的相关内容来解决却是那样的简洁明了 例 如图 在 ABC 中 AB BC CA 的长分别为 c a b 再如利用向量方法证明公式 cos cos cos sin sin 证明 如图 1 在单位圆中作向量 它们与 x 轴正向的夹角OAOB 分别是 则点 A 的坐标是 cos sin 点 B 的坐标是 cos sin 则 cos cos sin sin OAOB 又 cos OAOBOAOB 则 等式 cos cos cos sin sin 成立 4 向量知识在解析几何中的应用 向量知识在解析几何中的应用 向量在解决垂直 夹角等问题时有它的优越性 而解析几何中此类问题还是比 较多见的 例 已知两定点 A 和 B AB 2a 且动点 P 使 PA PB 求点 P 的轨迹方程 此题常规解法是根据 KAP KBP 1 求出 但也可以向学生介绍向量的解法 以线段 AB 所在直线为 x 轴 其垂直平分线为 y 轴建立坐标系 xoy 则 A a 0 B a 0 用心 爱心 专心 设 P x y 则有 x a y x a y 又 PA PB 所以 0 APBPAPBP 即有 x a x a y2 0 故点 P 的轨迹是 x2 y2 a2 例 2000 年高考题 椭圆的焦点为 点 P 为其上动点 当 xy 22 94 1 FF 12 为钝角时 点 P 横坐标的取值范围是 F PF 12 解 焦点为 设点 P x y 则由向量内积的 FF 12 5050 定义知为钝角的充要条件是 F PF 12 PF PF 12 0 PFxyPFxy 12 5050 550 50 22 xxyy xy 又 代入上式解得 xy 22 94 1 3 5 3 5 x 可见 向量知识