高中数学 第二章 第15、16课时 数列复习课(2课时)（教师版） 苏教版必修5

专心 爱心 用心1 听课随笔 第第 1515 1616 课时课时 数列复习课数列复习课 2 2 课时课时 一 二 数列知识回顾 一 数列的概念 一 数列的概念 数列的定义 一般定义 数列与函数 数列的表示法 数列的通项公式 求数列通项公式的一个重要方法 对于任一数列 其通项和它的前 n 项和之间的关系是 n a n a n s 2 1 1 1 nss ns a nn n 二 等差数列和等比数列 二 等差数列和等比数列 1 等差数列和等比数列的概念 有关公式和性质 等差数列等比数列 定义 nnn aA Paad 1 为为为为常数 为 1 q a a PGa n n n 通项公式 n 1 d n k n a 1 a k a d ddn 1 a kn k n n qaqaa 1 1 求和公式 n d an d d nn na aan s n n 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna s n n n 中项公式A 推广 2 2 ba n a mnmn aa abG 2 推广 mnmnn aaa 2 1 若 m n p q 则 qpnm aaaa 若 m n p q 则 qpnm aaaa 性质 2 若成 A P 其中 则 n kNkn 也为 A P n k a 若成等比数列 其中 n k 则成等比数列 Nkn n k a 等 比 数 列 等 差 数 列 表示方法 图像 与函数的关系 前n项和 通项 定义 数 列 正 整 数 集 上 函 数 及 性 质 数列知识结构 专心 爱心 用心2 听课随笔 3 成等差数列 nnnnn sssss 232 成等比数列 nnnnn sssss 232 4 1 1 nm nm aa n aa d nmn 1 1 a a q nn m nmn a a q nm 2 判断和证明数列是等差 等比 数列常有三种方法 1 定义法 对于 n 2 的任意自然数 验证为同一常数 1 1 n n nn a a aa 2 通项公式法 3 中项公式法 验证都成立 21 2 nnn aaaNnaaa nnn 2 2 1 3 在等差数列 中 有关 Sn 的最值问题 n a 1 当 0 d 0 时 满足的项数 m 使得取最大值 1 a 1 0 0 m m a a m s 2 当0 时 满足的项数 m 使得取最小值 1 a 1 0 0 m m a a m s 在解含绝对值的数列最值问题时 注意转化思想的应用 三 数列求和的常用方法 公式法 倒序相加法 错位相减法 拆项法 裂项法 累加 法 等价转化等 1 公式法 适用于等差 等比数列或可转化为等差 等比数列的数列 2 裂项相消法 适用于其中 是各项不为 0 的等差数列 c 为常数 部分无 1nna a c n a 理数列 含阶乘的数列等 3 错位相减法 适用于其中 是等差数列 是各项不为 0 的等比数列 nnb a n a n b 4 倒序相加法 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法 5 常用结论 1 1 2 3 n 1 2 n n 2 1 3 5 2n 1 2 n 3 2 333 1 121 2 nn n 4 2222 1 1231 21 6 nn nn 5 111 11n nnn 11 11 222n nnn 专心 爱心 用心3 听课随笔 6 1111 pq pqqp pq 精典范例精典范例 一一 函数方程思想在研究数列问题中的运用函数方程思想在研究数列问题中的运用 函数作为高中数学最重要的内容 几乎贯穿中学数学的始终 数列作为特殊的函数 与函数有着千丝万缕的联系 数列的通项公式及前 n 项和公式都是关于 n 的函数 当 d 0 时 等差数列的通项是关 于 n 的一次函数 前 n 项和是关于 n 的一元二次函数 等比数列的通项公式及前 n 项和公 式都与指数函数有关 在解决数学问题的过程中 把变量之间的制约关系用函数关系反映出来 便形成了函 数思想 把众多待求量通过列方程 解方程来确定 便形成了方程思想 函数与方程之间 的辩证思维便形成了函数方程思想 因此 我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题 例例 1 1 1 首项为正数的等差数列 a 其中 S S 问此数列前几项和最大 n311 2 等差数列 a 中 S 100 S 300 求 S n102030 3 等差数列的公差不为 0 a 15 a a a成等比数列 求 S 32514n 分析分析 1 等差数列前 n 项和 S n a n d 0 是关于 n 的二次函数且常 n 2 d 2 1 2 d 数项为 0 故可设 S An B 运用配方法求最值 n 2 n 2 由 S An B 及 S 100 S 300 求出 A B 后再求 S n 2 n102030 3 求 S 的关键 在于求 a 由 a dn a d d 0 知 它是关于 n 的一次函数 故 nnn1 可设 a An B 由条件列出方程组求 A B n 解解 1 设 S An B A 0 n 2 n S S 311 9A 3B 121A 11B 即 14A B 0 又 S An B A n n 2 n A B 2 2 A B 4 2 当 n 7 时 S 有最大值 S A B 2 n7 另解由 S S 得 a a a a a a a a 0 3114567891011 又 a a a a a a a a 4115106978 专心 爱心 用心4 听课随笔 4 a a 0 a a 0 7878 由于 a 0 据题意知 a a 0 a 0 1788 因此 前 7 项和最大 2 设 S An Bn A 0 m 2 S 100 S 300 1020 100A 10B 100 400A 20B 300 1 A 2 B 5 S 900 30 5 600 30 2 1 另解另解 S 100 S 300 又 S S S S S成等差数列 10201020103020 S S 2 S S S 3020201010 S 600 30 3 设 a An B A 0 n a 15 a a a 3 2 5214 2 3A B 15 5A B 2A B 14A B A 2 B 1 a 2n 1 n S 2 1 1 2 2 1 2 n 1 n 2 1 2 n n n n 1 n n 2 评析评析 从函数角度考察等差数列中的通项公式 前 n 项和公式 从而把数列问题转化为 函数解决 体现了函数的思想和方法的应用 二二 求数列的通项公式求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的核心之一 它如同函数中的解析式一样 有解析式便可研究 其性质等 而有了数列的通项公式便可求出任一项及前 n 项和等 看来 求数列的通项往 往是解题的突破口 关键点 现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下 1 1 观察法观察法 专心 爱心 用心5 听课随笔 观察法就是观察数列特征 横向看各项之间的关系结构 纵向看各项与项数 n 的内在 联系 从而归纳出数列的通项公式 例例 2 2 写出下面各数列的一个通项公式 1 2 1 17 16 10 9 5 4 2 1 31 1 15 1 7 1 3 1 3 32 31 16 15 8 7 4 3 4 21 203 2005 20007 5 0 2 0 22 0 222 0 2222 6 1 0 1 0 7 1 6 7 5 1 4 5 3 1 2 3 解解 1 注意各项的分子分别是 1 2 3 4 分母比分子大 1 2222 数列的通项公式为 a n 1 2 2 n n 2 奇数项为正 偶然项为负 各项分母可看作 2 1 1 2 1 3 2 1 7 2 1 15 2 1 31 各项分子均为 1 12345 数列的通项公式为 a 1 n n 12 1 n 3 各项的分母分别是 2 2 2 2 分子比分母小 1 2345 数列的通项公式为 a n 1 1 2 12 n n 4 各项可看作 21 2 10 1203 2 100 32005 2 1000 5 20007 2 10000 7 数列的通项公式为 a 2 10 2n 1 n n 5 把各项适当变形 0 2 2 0 1 0 9 1 9 2 9 2 10 1 0 22 2 0 11 0 99 1 0 222 1 0 222 1 9 2 9 2 100 1 9 2 1000 1 9 2 10000 1 数列的通项公式为 a 1 n 9 2 n 10 1 6 奇数项皆为 1 偶然项为 0 数列的通项公式为 a n 2 1 1 1 n 专心 爱心 用心6 听课随笔 7 各项可看作 1 1 0 1 0 1 0 1 数 2 3 2 1 3 1 3 1 4 5 4 1 5 1 5 1 6 7 6 1 列的通项公式为 a n n 1 2 1 1 n 评析评析 用观察法写数列的通项公式 一般考虑如下几点 1 观察数列各项符号变化 考虑通项公式中是否有 1 或者 1 部分 如 n1 n 本例中 2 6 7 也有所涉及 2 分解分子分母的因数 式 考虑其变化规律与序号的关系 应注意根据某些变化 规律较明显的项 猜 出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项 同时要特 别注意等差 等比关系 如本例 2 3 4 等 3 考虑分子 分母与一些特殊数列如 2 3 n n 等的关系 如本例 1 2 nn23 3 等 2 2 已知已知 S S 求求 a a 或已知或已知 S S 与与 a a 的关系求的关系求 a a nnnnn 已知数列 a 的前 n 项和 S 求 a 时 要注意运用 a 和 S 的关系 即 nnnnn 1 1 1 2 n nn S n a SSn 例例 3 3 已知下列各数列 a 的前 n 项和 S 的公式 求 a 的通项公式 nnn 1 S 10 1 2 S 10 1 n n n n 解解 1 当 n 1 时 a S 9 11 当 n 2 时 a S S 10 1 10 1 10 10 9 10 nn1 n n1 nn1 n1 n 且 n 1 时 a 9 也适合上式 a 9 10 n 1n 1 n 2 当 n 1 时 a S 10 1 11 11 1 当 n 2 时 a S S 10 1 10 1 9 10 nn1 n n1 n1 n 而 n 1 时 a 11 不适合上式 1 1 11 1 9 10 2 n n n a n 评析评析 已知 a 的前 n 项和 S 求 a 时应注意以下三点 nnn 1 应重视分类类讨论的应用 要先分 n 1 和 n 2 两种情况讨论 特别注意由 S S n a 推导的通项 a 中的 n 2 1 nnn 专心 爱心 用心7 听课随笔 2 由 S S a 推得的 a 且当 n 1 时 a 也适合 a 式 则需统一 合写 n1 nnn1n 3 由 S S a 推得的 a 当 n 1 时 a 不适合 a 式 则数列的通项应分段 n1 nnn1n 表示 分号 即 如本例中 2 3 请观察本例中 1 1 1 2 n nn S n a SSn 1 与 2 的差异及联系 3 3 累差法累差法 若数列 a 满足 a a f n n 其中 f n 是易求和数列 那么可用累差 n1 nn 法求 a 请你复习求等差数列通项公式的部分 n 例例 4 4 求数列 1 3 7 13 21 的一个通项公式 解解 a a 3 1 2 21 a a 7 3 4 32 a a 13 7 6 43 a a 2 n 1 n1 n 以上 n 1 个等式左右两边分别相加 得 a a 2 1 2 3 n 1 n 1 n n1 a n n 1 n 2 且 n 1 时 a 1 适合上式 1 a n n 1 n 2 评析评析 我们应验证 n 1 时 a 1 适合 a n n 1 式 这是什么原因 1n 2 4 4 累商法累商法 若数列 a 满足 f n n 其中数列 f n 前 n 项积可求 则可用累商法 n n n a a 1 求 a n 例例 5 5 在数列 a 中 a 2 a a 求通项 a n11 n n n1 nn 专心 爱心 用心8 听课随笔 解解 a 2 a a 11 n n n1 n 1 2 a a 1 2 2 3 a a 2 3 1 n n a a 1 n n 以上 n 1 个等式左右两边分别相乘得 n a 2n n n a a n 且 n 1 时 a 2 也适合上式 1 a 2n n 5 5 构造法构造法 直接求通项 a 较难求 可以通过整理变形等 从中构造出一个等差或等比数列 从而 n 将问题转化为较易求解的问题 进一步求出通项 a n 例例 6 6 各项非零的数列 a 首项 a 1 且 2S 2a S a n 2 求数列的通项 a n1 2 nnnnn 解解 a 1 2S 2a S a n 2 又 a S S 1 2 nnnnnn1 n 2S 2S 2 S S S S 2 n 2 nn1 nn1 n 2 n 2 怎么得到的 n S 1 1 1 n S 数列 是以 1 为首项 以 2 为公差的等差数列 n S 1 n S 1 1 n 1 2 2n 1 S n S 1 n 12 1 n a S S n 2 nn1 n 12 1 n32 1 n 32 12 2 nn 又 a S 1 不适合上式 11 专心 爱心 用心9 听课随笔 听课随笔 1 1 2 2 21 23 n n a n nn 有些求通项的题目可能要综合应用几种方法和技巧 当然了 有些题可能有多种解法 评析评析 构造法解决问题希大家尽量掌握 这对于提高我们的数学素质大有帮助 注意注意 求数列通项公式的问题是最为常见的试题 特别要注意已知 S 求 a 的问题 nn 三三 数列求和数列求和 数列求和是数列部分的重要内容 求和问题也是很常见的试题 对于等差数列 等比 数列的求和主要是运用公式 某些既不是等差数 也不是等比数列的求和问题 一般有以 下四种常用求和技巧和方法 1 1 公式法公式法 能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和 立方和公式寻求和的 方法 例例 7 7 数列 a 的通项 a n n 求前 n 项和 S nn 2 n 解解 S 1 1 2 2 n n n 222 1 2 n 1 2 n 222 6 12 1 nnn 2 1 nn 3 1 1 nnn 2 2 倒序求和法倒序求和法 3 3 错项求和法错项求和法 例 2 求和 S n 2 1 4 3 8 5 n n 2 12 请你独立完成 相信你会有更深的体会 答案 S 3 n n n 2 32 4 4 裂拆项法裂拆项法 例例 8 8 在数列 a 中 a 10 2n 1 求 S nn n n 解解 S 10 2 1 1 10 2 2 1 10 2n 1 n 12n 10 10 10 2 1 2 n n 12n n n 1 n 110 110 10 n 10 1 n 9 10 n2 注意 把通项进行合理地分拆与组合 转化为易求和的数列的求和问题 专心 爱心 用心10 听课随笔 练习 练习 求数列 1 1 2 1 2 3 的前 n 项的和 答案 S n 6 2 1 nnn 例例 9 9 已知数列 a 求它的前 n 项和 n 1 1 21 1 321 1 1 123n 分析 我们先看通项 a 然后想什么办法求 S 呢 将通项分裂 n n 321 1 1 1 nn n 成两项之差如何 解解 a 2 为什么呢 n 1 1 nn1 11 nn S a a a a n123n 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 1 11 nn 2 1 成功了 1 1 n1 2 n n 评析评析 如果数列的通项公式可转化为 f n 1 f n 形式 常采用裂项求和的方法 特别地 当数列的通项公式是关于 n 的分式形式时 可尝试采用此法 常用的裂项技巧如 1 knn k 1 knn 11 等 nkn 1 k 1 kn n 使用裂项法时要注意正负项相消时 消去了哪些项 保留了哪些项 你是否注意到由于数 列 a 中每一项 a 均裂成一正一负两项 所以互为相反数的项合并为零后 所剩正数 nn 项与负数项的项数必是一样多的 切不可漏写未被消去的项 四 等差 等比数列的综合问题四 等差 等比数列的综合问题 例例 1010 已知数列的前n项和 4 2 n N a 1 n a 1 n S n a 1 1 设 2 求证 数列为等比数列 n b 1 n a n a n b 2 设Cn 求证 是等差数列 n n a 2 n C 选题意图 本题考查等差 等比数列的定义及逻辑推理能力 证明 1 4 2 4 2 相减得 4 4 1 n S n a 2 n S 1 n a 2 n a 1 n a n a 2 22 112nnnn aaaa 2 1nnn aab 又 2 1nn bb 1 24 11212 aaaaS又 32 5 1212 aaba 专心 爱心 用心11 是以 3 为首项 2 为公比的等比数列 3 n b n b 1 n 2 2n n n a C n n n n nn aa CC 22 1 1 1 1 1 2 2 n nn aa 1 2 n n b 4 3 2 23 1 1 n n 2 1 2 1 1 a C 是以为首项 为公差的等差数列 n C 2 1 4 3 说明 一个表达式中既含有又含有 一般要利用 n a 消去或 这里是消去了 n a n S 1 n S n S n a n S 例例 1111 在等比数列中 求的范围 n a400 60 36 4231 n Saaaan 解 36 2 2 131 qaaa6 1 qa 又 且 601 2 142 qqaaa01 2 q0 1 qa 解之 101 6 2 1 qqa 3 2 3 2 11 q a q a 或 当时 3 2 1 qa 4013400 2 132 1 1 1 n nn n q qa S6 n 27335 72936 当时 3 2 1 qa 8013400 4 132 n n n S 且必须为偶数 Nn 8 n 65613 21873 87 例例 1212 设 都是等差数列 它们的前n项和分别为 已知 n a n b n A n B 12 35 n n B A n n 求 n n b a 8 5 b a 专心 爱心 用心12 听课随笔 听课随笔 解法 1 n n b a n n b a 2 2 12 2 1 12 2 1 121 121 121 121 n n n n bbn aan bb aa 12 12 n n B A 34 210 n n 解法 2 都是等差数列 n a n b 12 35 n n B A n n 可设 kn 5n 3 kn 2n 1 n A n B k n 5n 3 n 1 5 n 1 3 kn 10n 2 n a n A 1 n A k n 2n 1 n 1 2 n 1 1 kn 4n 3 n b n B 1 n B n n b a 34 210 nkn nkn 34 210 n n 解 由 解法 2 有 k n 5n 3 n 1 5 n 1 3 kn 10n 2 n a n A 1 n A k n 2n 1 n 1 2 n 1 1 kn 4n 3 n b n B 1 n B k5 105 2 240k 5 a k8 48 3 232k 8 b 8 5 b a 29 30 232 240 k k 追踪训练追踪训练 1 一等差数列共有 9 项 第 1 项等于 1 各项之和等于 369 一等比数列也有 9 项 并且 它的第 1 项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等 求等比数列的第 7 项 解 设等差数列为 an 公差为d 等比数列为 bn 公比为q 由已知得 a b 1 11 81369 2 9 9 91 9 a aa S 又b 81 2 99 8 b7 27 即等比数列的第 7 项为 27 1 6 说明 本题涉及的量较多 解答要理清关系 以免出错 专心 爱心 用心13 2 已知 a 构成一等差数列 其前n项和为 n 设 1 a 23 a n a n S 2 n b n n a 3 记 的前n项和为 1 求数列 的通项公式 2 证明 1 n b n T n a n T 解 1 1 当n 2 时 2n 1 1 a 1 S n a n S 1 n S 由于n 1 时符合公式 2n 1 n 1 n a 2 n T n n 3 12 27 5 9 3 3 1 3 1 n T 1 3 12 3 32 27 3 9 1 nn nn 两式相减得 1 3 2 n T 3 1 1 3 12 3 2 27 2 9 2 nn n 3 1 3 1 1 3 1 n1 3 12 n n 1 1 n T 2 1 2 1 1 3 1 nn n 32 12 3 已知等差数列 的前n项和为 且 21 1 求 n a n S n b n S 1 3