高中数学竞赛 第二讲 定义在解题中的应用1

用心 爱心 专心1 第二讲 定义在解题中的应用第二讲 定义在解题中的应用 定义法是最原始的方法 也是最基本的方法 无论是哪一个综合题 也不管它的结构是怎样的错综复杂 总是有若干个基本概念的综合或叠加 概念是对数学实体的高度抽象 而抽象的结果就产生了定义 所以 它是揭示事物内涵的本质的解题方 法 有关椭圆和双曲线的问题 若题设中出现了准线 焦点和离心率这三个元素中的至少两个 那么选 择定义解似乎势在必然了 因为抛物线上的一点到焦点的距离等于此点到准线的距离 所以抓住这个特 殊的条件往往是解有关抛物线问题的简洁和快捷的方法 解题的经验是在实践中逐渐积累的 在点点滴 滴的解题的技巧的积累之后 思维的灵敏性也就逐渐提高了 要选择定义解题 首先要记住圆锥曲线的每个定义 尤其是圆锥曲线的统一定义 例 1 1 抛物线 x 2py2 p 0 上的一点 A m n 到焦点 F 的距离为 1 p 则 m n 2 已知双曲线 x2 64 y2 36 1 上的一点 P 到左焦点的距离为 14 则 P 到右准线的距离为 3 以 x 4 为准线方程 其离心率 e 0 5 并且过原点的椭圆方程为 4 抛物线的对称轴方程为 3x 4y 1 焦点 F 1 1 且过点 A 3 4 则抛物线的方程是 准线方程是 5 点 M 的距离到 F 0 6 的距离比它到直线 y 7 的距离小 1 则点 M 的轨迹方程是 例 2 1 已知点 A 3 2 F 为抛物线 y2 2px p 0 焦点 点 M 在抛物线上运动 若当 MA MF 的最小值为 4 时 则点 M 的坐标为 2 设抛物线 y2 2px p 0 焦点为 F O 为坐标原点 P 是抛物线上任意一点 则 POF 可能是 三角形 例 3 1 F1 F2是椭圆的两个焦点 Q 是椭圆上任意一点 以任意一焦点向 F1F2Q 的顶点 Q 的外 角平分线引垂线 垂足为 P 则 P 点的轨迹是 2 F1 F2是椭圆的两个焦点 以双曲线右支上的任意一点 P 为圆心 PF1 为半径的圆与以 F2为 圆心 F1F2 2 为半径的圆内切 则双曲线的渐近线的夹角是 练习 F1 F2是双曲线的两个焦点 Q 是双曲线上任意一点 以任意一焦点向 F1F2Q 的顶点 Q 的外 角平分线引垂线 垂足为 P 则 P 点的轨迹是 x Q F1 y F2 P O 用心 爱心 专心2 例 4 求证 以有心圆锥曲线的任意一条焦半径为直径的圆必与一定圆相切 思考 在抛物线中有怎样类似的结论 例 5 已知 F1 F2是双曲线的两个焦点 右准线是 L 若在双曲线的右支上存在一点 P 使 PF1 是 P 到 L 的距离 d 与 PF2 的比例中项 求双曲线离心率的取值范围 例 6 已知 M1 M2分别为圆 x 4 2 y2 25 和 x 4 2 y2 1 的圆心 一动圆与此两圆均外切 1 求动圆圆心的轨迹方程 2 若过点 M2的直线与 1 中所求轨迹有两个交点 A B 求 AM1 BM1 的取值范围 例 7 长度为 2 的线段的两端点 A B 在抛物线 y x2上移动 设这一线段的中点为 M 求 M 到 x 轴的 最短距离 例 8 倾斜角为 的直线经过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 并交抛物线于 A B 两点 求 AF BF 及 AB 的长 并计算 1 AF 1 BF 的值 引申 1 倾斜角为 的直线经过抛物线 y2 2px p 0 的顶点并交抛物线于 M 点 用 表示 OM 的长 2 倾斜角为 的直线经过椭圆 或双曲线 的右焦点 F 并交椭圆 或双曲线 于 A B 两点 求 AB 的长 O y x F1 F2 P 用心 爱心 专心3 焦三角形问题 例 9 已知 P 是椭圆上一点 F1 F2是椭圆的两个焦点 且 PF1F2 15 PF2 F1 75 求椭圆的离心 率 引申 1 将椭圆改为双曲线 则离心率为 2 已知 P 是离心率为 2 的椭圆上一点 F1 F2是椭圆的两个焦点 设 PF1F2的内切圆圆心为 I PI 交 x 轴于 Q 点 求 PI 与 IQ 的比值