高等几何试题及答案

第 1 页 试卷类型 A 高等几何 使用专业年级 考试方式 开卷 闭卷 共 6 页 题号一二三四五六合计 得分 系 专业 班 学号 姓名 密 封 线 填空题 每小题 4 分 共 20 分 1 设 1 P 1 2 P 1 3 P 为共线三点 则 321 PPP 2 写出德萨格定理的对偶命题 3 若共点四直线 a b c d 的交比为 ab cd 1 则交比 ad bc 4 平面上 4 个变换群 射影群 仿射群 相似群 正交群的大小关系为 5 二次曲线的点坐标方程为 04 2 231 xxx 则其线坐标方程为是 选择题 每小题 2 分 共 10 分 1 下列哪个图形是仿射不变图形 A 圆B 直角三角形 C 矩形D 平行四边形 2 22 1122 280uu uu 表示 A 以 1 4 为方向的无穷远点和以 1 2 为方向的无穷远点 第 3 页 B 以 4 为方向的无穷远点和以 2 为方向的无穷远点 C 以 4 为方向的无穷远点和以 2 为方向的无穷远点 D 以 1 4 为方向的无穷远点和以 1 2 为方向的无穷远点 3 两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成 A 一次B 两次 C 三次D 四次 4 下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有 A 三角形的垂心 B 梯形 C 在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D 椭圆 5 二次曲线按射影分类总共可分为 A 4 类B 5 类 C 6 类D 8 类 三 判断题 每小题 2 分 共 10 分 1 仿射对应不一定保持二直线的平行性 2 两直线能把射影平面分成两个区域 3 当正负号任意选取时 齐次坐标 1 1 1 表示两个相异的点 4 在一维射影变换中 若已知一对对应元素 非自对应元素 符合对合条件 则此 射影变换一定是对合 5 配极变换是一种非奇线性对应 第 4 页 密 封 线 四 作图题 8 分 已知线束中三直线 a b c 求作直线 d 使 ab cd 1 画图 写出作法过程和根据 五 证明题 10 分 如图 设 FGH 是完全四点形 ABCD 对边三点形 过 F 的两直线 TQ 与 SP 分别交 AB BC CD DA 于 T S Q P 试利用德萨格定理 或逆定理 证明 TS 与 QP 的交 点 M 在直线 GH 上 第 5 页 六 计算题 42 分 1 6 分 平面上经过 A 3 2 和 B 6 1 两点的直线被直线 x 3y 6 0 截于 P 点 求单比 ABP 2 6 分 已知仿射平面上直线 l 的非齐次坐标方程为 x 2y 1 0 求 1 l 的齐次坐标方程 2 l 上无穷远点的坐标 3 l 上无穷远点的方程 第 6 页 密 封 线 3 8 分 在直线上取笛氏坐标为 2 0 3 的三点作为射影坐标系的 P P0 E i 求此直线上 任一点 P 的笛氏坐标 x 与射影坐标 的关系 ii 问有没有一点 它的两种坐标相等 4 8 分 求点列上的射影变换 它将参数为 1 2 3 的点分别变为参数为 1 3 2 的点 并求出 此射影变换的自对应元素的参数 第 7 页 5 6 分 求由两个射影线束 0 31 xx 0 32 xx 3 0 所构成的二阶曲线的方程 6 8 分 试求二次曲线 2 221 2 1 34xxxx 2x1x3 4x2x3 0 的中心与渐近线 第 8 页 密 封 线 填空题 每小题 4 分 共 20 分 1 4 分 如果两个三线形对应边的交点在一条直线上 则对应顶点的连线交于一点 4 分 2 4 分 射影群包含仿射群 仿射群包含相似群 相似群包含正交群 4 分 2 132 u uu0 4 分 选择题 每小题 2 分 共 10 分 1 D 2 C 3 B 4 A 5 B 判断题 每小题 2 分 共 10 分 1 2 3 4 5 作图题 8 分 第1页共4页 第 9 页 作法过程 1 设 a b c 交于点 A 在 c 上任取一点 C 2 分 2 过 C 点作两直线分别与 a 交于 B E 与 b 交于 F D 2 分 3 BD 与 EF 交于 G 4 AG 即为所求的 d 2 分 根据 完全四点形的调和共轭性 2 分 证明题 10 分 证明 在三点形 BTS 与三点形 DQP 中 4 分 对应顶点的连线 BD TQ SP 三线共点 2 分 由德萨格定理的逆定理知 2 分 对应边的交点 BT 与 DQ 的交点 G TS 与 QP 的交点 M 以及 BS 与 DP 的交点 H 三点共线 即 TS 与 QP 的交点 M 在直线 GH 上 2 分 六 计算题 42 分 6 分 解 设 P 点的坐标为 x0 yo APAP ABP BPPB 分割比 2 分 00 362 11 xy 而 且 P 在直线 x 3y 6 0 上 362 3 60 11 解得 1 2 分 即 P 是 AB 中点 且 ABP 1 2 分 第 10 页 密 封 线 6 分 1 123 x2xx0 2 分 2 1 1 2 0 2 分 3 12 uu 1 20 2 分 8 分 解 笛氏坐标 0 2 3 x 射影坐标 P P0 E i 由定义 P P0 EP 2 0 3x 32 0 2 30 36 xx xx 10 60 3636 x x 故 且 4 分 ii 若有一点它的两种坐标相等 即 x 则有 36 x x x 即 3x2 7x 0 当 x 0 及 x 7 3时两种坐标相等 4 分 8 分 设射影变换的方程为 0 dcba 2 分 由题意知 a 0 dcb 0326 dcba 6a 3b 2c d 0 得到 7 5 5 3 dcba 故射影变换方程为 07 55 3 4 分 二重元素满足 07103 2 得 7 3 或 1 2 分 第 11 页 6 分 解 由题意 3 23 30 xx 2 分 由上式得 21 33 3 xx xx 2 分 故所求方程即为 1323 30 x xx x 2 分 6 8 分 解 二次曲线的齐次方程为 x12 3x1x2 4x22 2x1x3 10 x2x3 0 3 11 2 3 45360 2 150 ij Da 二次曲线为常态的 设中心 3132 3333 AA AA 且 312333 3 3111 171325 2 2 3 32245 454 2 2 AAA 而 则中心为 1426 2525 4 分 求渐近线方程 a11X2 2a12XY a22Y2 0 X x Y y 从 X2 3X