抛物线的简单几何性质练习题

课时课时作作业业 十三十三 学业水平层次 一 选择题 1 已知点 P 6 y 在抛物线 y2 2px p 0 上 若点 P 到抛物线 焦点 F 的距离等于 8 则焦点 F 到抛物线准线的距离等于 A 2 B 1 C 4 D 8 解析 抛物线 y2 2px p 0 的准线为 x 因为 P 6 y p 2 为抛物线上的点 所以点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线的距离 所 以 6 8 所以 p 4 即焦点 F 到抛物线的距离等于 4 故选 C p 2 答案 C 2 2014 成都高二检测 抛物线 y2 4x 的焦点为 F 点 P 为抛 物线上的动点 点 M 为其准线上的动点 当 FPM 为等边三角形时 其面积为 A 2 B 4 C 6 D 4 33 解析 据题意知 FPM 为等边三角形 PF PM FM PM 抛物线的准线 设 P 则 M 1 m m2 4 m 等边三角形边长为 1 又由 F 1 0 PM FM 得 1 m2 4 m2 4 得 m 2 等边三角形的边长为 4 其面积为 4 1 1 2 m2 33 故选 D 答案 D 3 已知抛物线 y2 2px p 0 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛 物线于 A B 两点 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的 准线方程为 A x 1 B x 1 C x 2 D x 2 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 代入抛物线方程得 Error 得 y1 y2 y1 y2 2p x1 x2 又 y1 y2 4 k 1 p 2 y1 y2 x1 x2 2p 4 p 2 所求抛物线的准线方程为 x 1 答案 B 4 2014 课标 设 F 为抛物线 C y2 3x 的焦点 过 F 且倾斜 角为 30 的直线交 C 于 A B 两点 则 AB A B 6 C 12 D 7 30 33 解析 焦点 F 的坐标为 直线 AB 的斜率为 所以直 3 4 0 3 3 线 AB 的方程为 y 3 3 x 3 4 即 y x 代入 y2 3x 3 3 3 4 得 x2 x 0 1 3 7 2 3 16 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 21 2 所以 AB x1 x2 12 故选 C 3 2 21 2 3 2 答案 C 二 填空题 5 抛物线 y2 x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 解析 设抛物线上点的坐标为 x 此点到准线的距离 x 为 x 到顶点的距离为 由题意有 1 4 x2 x 2 x x y 此点坐标为 1 4 x2 x 2 1 8 2 4 1 8 2 4 答案 1 8 2 4 6 2014 临沂高二检测 直线 y kx 2 与抛物线 y2 8x 有且只 有一个公共点 则 k 解析 当 k 0 时 直线与抛物线有唯一交点 当 k 0 时 联立方程消 y 得 k2x2 4 k 2 x 4 0 由题意 16 k 2 2 16k2 0 k 1 答案 0 或 1 7 2014 湖南 平面上一机器人在行进中始终保持与点 F 1 0 的 距离和到直线 x 1 的距离相等 若机器人接触不到过点 P 1 0 且斜率为 k 的直线 则 k 的取值范围是 解析 设机器人为 A x y 依题意得点 A 在以 F 1 0 为焦点 x 1 为准线的抛物线上 该抛物线的标准方程为 y2 4x 过点 P 1 0 斜率为 k 的直线为 y k x 1 由Error 得 ky2 4y 4k 0 当 k 0 时 显然不符合题意 当 k 0 时 依题意得 4 2 4k 4k0 解得 k 1 或 k0 的 焦点为 F 过 F 作倾斜角为 30 的直线与抛物线交于 A B 两点 若 0 1 则 AF BF AF BF A B C D 1 5 1 4 1 3 1 2 解析 因为抛物线的焦点为 F 故过点 F 且倾斜角为 0 p 2 30 的直线的方程为 y x 与抛物线方程联立得 3 3 p 2 x2 px p2 0 解方程得 xA p xB p 所以 2 3 3 3 33 故选 C AF BF xA xB 1 3 答案 C 2 2013 大纲卷 已知抛物线 C y2 8x 与点 M 2 2 过 C 的 焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A B 两点 若 0 则 k MA MB A B C D 2 1 2 2 22 解析 由题意可知抛物线的焦点坐标为 2 0 则过焦点且斜 率为 k 的直线的方程为 y k x 2 与抛物线方程联立 消去 y 化简 得 k2x2 4k2 8 x 4k2 0 设点 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 4 x1x2 4 所以 y1 y2 k x1 x2 4k y1y2 k2 x1x2 2 x1 x2 8 k2 8 k 4 16 因为 0 所以 x1 2 x2 2 y1 2 y2 2 MA MB 0 将上面各个量代入 化简得 k2 4k 4 0 所以 k 2 故 选 D 答案 D 3 抛物线 x2 2py p 0 的焦点为 F 其准线与双曲线 1 相交于 A B 两点 若 ABF 为等边三角形 则 x2 3 y2 3 p 解析 由于 x2 2py p 0 的准线为 y 由Error p 2 解得准线与双曲线 x2 y2 3 的交点为 B 所以 AB 2 A 3 1 4p2 p 2 3 1 4p2 p 2 3 1 4p2 由 ABF 为等边三角形 得AB p 解得 p 6 3 2 答案 6 4 已知抛物线 x y2与过点 1 0 且斜率为 k 的直线相交于 A B 两点 O 为坐标原点 当 OAB 的面积等于时 求 k 的 10 值 解 过点 1 0 且斜率为 k 的直线方程为 y k x 1 由方程组Error 消去 x 整理得 ky2 y k 0 设 A x1 y1 B x2 y2 由根与系数之间的关系得 y1 y2 y1y2 1 1 k 设直