高中数学 第二章综合曲线与方程知识精讲 文 北师大版选修1－1

1 高二数学选修高二数学选修 1 1 1 1 第二章综合第二章综合 曲线与方程北师大版 文 曲线与方程北师大版 文 本讲本讲 教育信息教育信息 一 教学内容一 教学内容 选修 1 1 曲线与方程 二 教学目标二 教学目标 1 理解曲线与方程的概念及进一步认识坐标法的应用 2 能用直译法 定义法 相关点法等方法求简单的曲线方程 3 进一步培养学生对数学思想方法的应用能力 推理能力 计算能力 三 知识要点分析三 知识要点分析 1 曲线的方程与方程的曲线 在平面直角坐标系中 曲线 C 上的点与二元方程 f x y 0 的实数解建立如下关系 1 曲线上的点的坐标 x y 都是方程 f x y 0 的解 2 以方程 f x y 0 的解 x y 为坐标的点 x y 都在曲线 C 上 则曲线 C 叫方程 f x y 0 的曲线 方程 f x y 0 叫曲线 C 的方程 2 求曲线方程的步骤 1 建系 建立适当的坐标系 2 设点 设轨迹上任意点 P x y 3 列式 写出满足某种条件的动点 P x y 的关系式 4 代换 将动点 P x y 转化为 f x y 0 并化简 5 证明 证明所求的方程为符合条件的动点轨迹方程 3 求曲线轨迹方程的几种常用的方法 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直译法 定义法 代入法 参数法 1 直译法 是将动点满足的几何条件或者等量关系 直接坐标化 列出等式化简即 得动点轨迹方程 2 定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义 如椭圆 双曲线 抛物线 圆等 可用定义直接探求 3 相关点法 根据相关点所满足的方程 通过转换而求动点的轨迹方程 典型例题典型例题 考点一 用直译法求曲线的轨迹方程 例 1 已知A B为两定点 动点M到A与到B的距离比为正的常数 求点M的轨迹方 程 思路分析思路分析 可设 AB 2a a 0 然后建立如图所示的坐标系 此时 A a 0 B a 0 设 M 的坐标为 x y 表示出 MA MB 根据已知条件得 MB MA 然 后再化简 解 解 建立坐标系如图所示 2 设 AB 2a 则A a 0 B a 0 设M x y 是轨迹上任意一点 则由题设 得 MB MA 代入坐标 得 22 22 yax yax 化简得 1 2 x2 1 2 y2 2a 1 2 x 1 2 a2 0 即为所求的轨迹方程 说明 建立不同的坐标系 会得到不同的轨迹方程 但轨迹是相同的 如本题也可 以 A 为坐标原点 A B 两点所在的直线为 x 轴建立坐标系等 考点二 定义法求曲线的轨迹方程 例 2 已知圆1 3 22 1 yxC和圆9 3 22 2 yxC 动圆 M 同时和圆 C1 C2 相外切 求动圆的圆心 M 的轨迹方程 思路分析思路分析 根据动圆与两定圆相外切的条件可得 MC2 MC1 定值 再根据双曲线 的定义写出曲线的轨迹方程 解 解 定圆 C1圆心为 3 0 半径 r1 1 定圆 C2圆心为 3 0 半径 r2 3 设动圆的圆心 M 的坐标为 x y 半径是 r 由题意知 MC1 r 1 MC2 r 3 故 MC2 2 1 MC0 A B 两点分别在 x 轴 y 轴上移动 则 AB 的中点 M 的轨迹是 A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 圆 2 动点 P 及两定点 A 2 0 B 2 0 满足 PA PB 4 则 P 点的轨迹是 A 双曲线 B 双曲线的一支 C 射线 D 线段 AB 3 动点 P 到直线 x 4 0 的距离减去它到点 M 2 0 的距离之差等于 2 则动点 P 的轨 迹是 A 直线 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 4 过椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 上任意一点 M 作 x 轴的垂线 垂足是 N 则 MN 的中 点轨迹方程是 A 1 2 2 2 2 b y a x B 1 4 2 2 2 2 b y a x C 1 4 2 2 2 2 b y a x D 1 4 2 2 2 2 b y a x 5 经过抛物线pxy2 2 的焦点弦的中点轨迹是 A 抛物线 B 椭圆 C 双曲线 D 直线 6 已知点 P 在定圆 O 的圆内或圆周上 动圆 C 过 P 点和定圆 O 相切 则动圆 C 的圆心的 轨迹可能是 A 圆或椭圆或双曲线 B 两条射线或圆或抛物线 C 两条射线或圆或椭圆 D 椭圆或抛物线或双曲线 二 填空题 每题 6 分 计 24 分 7 动点 P 到两定点 0 1 0 1 的距离之和为22 则 P 点的轨迹方程是 8 动点 P 到定点 1 0 与定点 1 0 的距离之差为 2 则动点 P 的轨迹方程是 9 坐标平面上的两定点 A B 动点 P 若直线 PA PB 的斜率之积是定值 m 则 P 点的 轨迹可能是 1 椭圆 2 双曲线 3 抛物线 4 圆 5 直线 将正确的序号填在 横线上 10 已知椭圆的焦点 21 F F P 是椭圆上的动点 若延长PF1到 Q 使 PQ PF2 则动 点 Q 的轨迹是 三 计算题 40 分 11 一动圆过定点 A 1 0 且与定圆16 1 22 yx相切时 求动圆的圆心轨迹方 6 程 10 分 12 已知坐标平面上点 Q 2 0 和圆 C 1 22 yx 动点 M 到圆 C 的切线长与 MQ 的比等于常数 0 求动点 M 的轨迹方程 并说明轨迹的形状 15 分 13 椭圆与双曲线有共同的焦点 0 1 0 1 21 FF 并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长 的 2 倍 求椭圆和双曲线的交点的轨迹方程 15 分 试题答案试题答案 一 选择题 1 D 解析 设 AB 的中点 M x y 则由平面几何定理得 OM 2 1 AB O 为坐 标原点 故有 22222 ayxayx 2 C 3 D 解析 由已知 动点 P 到 M 2 0 的距离等于它到定直线 x 2 的距离 由抛 物线定义可得答案 4 B 解析 设 M 00 yx 则 N 0 0 x MN 的中点是 P x y 则 2 2 0 0 0 0 yy y yxx 故 M x 2y 由 M 点在椭圆上得 1 4 2 2 2 2 b y a x 5 A 解析 设抛物线的焦点 F 0 2 p 弦 AB 的中点是 M x y 2211 yxByxA 由 A B 两点在抛物线上得 2 2 2 1 2 1 2 2 pxy pxy 2 212121 xxpyyyy 2 p x y k y p yy p2 xx yy k AF 2121 21 AB 由 2 p x pykk 2 AFAB 6 C 当点 P 在定圆 O 上时 圆 C 与圆 O 或内切或外切 O P C 三点共线 故此时轨 迹为两射线 当点 P 在圆 O 内时 非圆心 OP PC r 定值 轨迹为椭圆 当 P 与 O 重合时 圆心的轨迹是椭圆 故选 C 二 填空题 7 根据椭圆的定义可得轨迹方程是1 2 2 2 x y 8 y 0 x 1 9 设 A a 0 B a 0 P x y 7 则 222 maymxm ax y ax y 当 m0 时是双曲线 当 m 1 时 是圆 当 m 0 时是直线 故正确答案是 1 2 4 5 10 圆 由第一定义得 21 PFPF定值 12 PQPFPFPQ 定值 即 1Q F是定值 即动点 Q 到定点 1 F的距离是定值 三 解答题 11 解 设动圆的圆心是 P x y 定圆的圆心是 1 0 由于定点 A 在定圆内部 故动圆与定圆只能是内切 所以 PA PB 4 由椭圆的定义知 动圆的圆心轨迹方程是 1 34 22 yx 12 解 设切点是 N 则 MQMN 即 2222 MQ r MO O 是坐标原点 设 M x y 将 M x y 代入得 222222 2 1yxyx 整理得 0 41 4 1 22222 xyx 当1 时 方程为 4 5 x 是一条直线 当1 时 方程为 22 2 22 2 2 1 31 1 2 yx 是圆 13 解 设椭圆与双曲线的交点是 P x