高中数学 第三章《回归分析》教案1 新人教A版选修2-3

1 3 2 3 2 回归分析回归分析 1 1 教学目标教学目标 1 通过实例引入线性回归模型 感受产生随机误差的原因 2 通过对回归模型的合理性等问题的研究 渗透线性回归分析的思想和方法 3 能求出简单实际问题的线性回归方程 教学重点 难点教学重点 难点 线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法 教学过程教学过程 一 问题情境 1 情境 对一作直线运动的质点的运动过程观测了次 得到如下表所示的数据 试估8 计当 x 时的位置 y 的值 时刻 sx12345678 位置观测值 cmy5 547 5210 0211 7315 6916 1216 9821 06 根据 数学 必修 中的有关内容 解决这个问题的方法是 3 先作散点图 如下图所示 从散点图中可以看出 样本 点呈直线趋势 时间与位置观x 测值 y 之间有着较好的线性关 系 因此可以用线性回归方程来 刻画它们之间的关系 根据线性 回归的系数公式 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xn x aybx 可以得到线性回归方为 所以当时 由线性回归方程可 3 53612 1214yx 9x 以估计其位置值为 22 6287y 2 问题 在时刻时 质点的运动位置一定是吗 9x 22 6287cm 二 学生活动 思考 讨论 这些点并不都在同一条直线上 上述直线并不能精确地反映与x 之间的关系 的值不能由完全确定 它们之间是统计相关关系 的实际值与yyxy 估计值之间存在着误差 三 建构数学 1 线性回归模型的定义 我们将用于估计值的线性函数作为确定性函数 yabx 的实际值与估计值之间的误差记为 称之为随机误差 y 将称为线性回归模型 yabx 说明 1 产生随机误差的主要原因有 2 所用的确定性函数不恰当引起的误差 忽略了某些因素的影响 存在观测误差 2 对于线性回归模型 我们应该考虑下面两个问题 模型是否合理 这个问题在下一节课解决 在模型合理的情况下 如何估计 ab 2 探求线性回归系数的最佳估计值 对于问题 设有对观测数据 根据线性回归模型 n ii x y 1 2 3 in 对于每一个 对应的随机误差项 我们希望总误差越小越好 即 i x iii yabx 要使越小越好 所以 只要求出使取得最小值时 2 1 n i i 2 1 n ii i Qyx 的 值作为 的估计值 记为 ab ab 注 这里的就是拟合直线上的点到点的距离 i ii x abx iii P x y 用什么方法求 ab 回忆 数学 3 必修 2 4 线性回归方程 P71 热茶问题 中求 的方法 ab 最小二乘法 利用最小二乘法可以得到 的计算公式为 ab 11 222 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxn x aybx 其中 1 1 n i i xx n 1 1 n i i yy n 由此得到的直线就称为这对数据的回归直线 此直线方程即为线性 yabx n 回归方程 其中 分别为 的估计值 称为回归截距 称为回归系数 ab ab ab 称为回归值 y 在前面质点运动的线性回归方程中 3 53612 1214yx 3 5361a 2 1214b 3 线性回归方程中 的意义是 以为基数 每增加 1 个单位 相 yabx ab axy 3 应地平 均增加个单位 b 4 化归思想 转化思想 在实际问题中 有时两个变量之间的关系并不是线性关系 这就需要我们根据专 业知识或散点图 对某些特殊的非线性关系 选择适当的变量代换 把非线性方程转 化为线性回归方程 从而确定未知参数 下面列举出一些常见的曲线方程 并给出相 应的化为线性回归方程的换元公式 1 令 则有 b ya x yy 1 x x yabx 2 令 则有 b yax lnyy lnxx lnaa yabx 3 令 则有 bx yae lnyy xx lnaa yabx 4 令 则有 b x yae lnyy 1 x x lnaa yabx 5 令 则有 lnyabx yy lnxx yabx 四 数学运用 1 例题 例 1 下表给出了我国从年至年人口数据资料 试根据表中数据估计我国19491999 年的人口数 2004 年份1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 人口数 百万54260367270580790997510351107 11771246 解 为了简化数据 先将年份减去 并将所得值用表示 对应人口数用表示 1949xy 得到下面的数据表 x05101520253035404550 y 5426036727058079099751035110711771246 作出个点构成的散点图 11 x y 由图可知 这些点在一条直线附近 可以用线性回归模型来表示它们之yabx 间的关系 根据公式 1 可得 14 453 527 591 b a 这里的分别为的估 a b a b 计值 因此线性回归方程 为 527 591 14 453yx 4 由于年对应的 代入线性回归方程可得200455x 527 591 14 453yx 百万 即年的人口总数估计为 13 23 亿 1322 506y 2004 例 2 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查 下表是这次抽查中所得到的各企业 的人均资本 万元 与人均产出 万元 的数据 xy 人均 资本 万元x 345 56 578910 511 514 人均 产出 万元y 4 124 678 6811 0113 0414 4317 5025 4626 6645 20 1 设与之间具有近似关系 为常数 试根据表中数据估计和yx b yax a ba 的值 b 2 估计企业人均资本为万元时的人均产出 精确到 160 01 分析 根据 所具有的关系可知 此问题不是线性回归问题 不能直接用线性回xy 归方程处理 但由对数运算的性质可知 只要对的两边取对数 就能将其转 b yax 化为线性关系 解 1 在的两边取常用对数 可得 设 b yax lglglgyabx lg yz 则 相关数据计算如图所示 lgaA lg xX zAbX 327 仿照问题情境可得 的估计值 分别为由可Ab A Ab A 0 2155 1 5677 A b lg0 2155a 得 即 的估计值分别为和 0 6088a ab0 60881 5677 2 由 1 知 样本数据及回归曲线的图形如图 见书本 1 5677 0 6088yx 328 ABCDEFGHIJK 1 人均资 本 万x 元 345 56 578910 511 514 2 人均产 出 万y 元 4 124 678 6811 0113 0414 4317 525 4626 6645 2 3 lgXx 0 477120 602060 740360 812910 84510 903090 954241 021191 06071 146