高中数学 第八章第12课时抛物线的几何性质教师专用教案 新人教A版

用心 爱心 专心1 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 一 教学目标一 教学目标 一 知识教学点 使学生理解并掌握抛物线的几何性质 并能从抛物线的标准方程出发 推导这些性 质 二 能力训练点 从抛物线的标准方程出发 推导抛物线的性质 从而培养学生分析 归纳 推理等能 力 三 学科渗透点 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法 加深对直角坐标系中曲线方程 的关系概念的理解 这样才能解决抛物线中的弦 最值等问题 二 教材分析二 教材分析 1 重点 抛物线的几何性质及初步运用 解决办法 引导学生类比椭圆 双曲线的几何性质得出 2 难点 抛物线的几何性质的应用 解决办法 通过几个典型例题的讲解 使学生掌握几何性质的应用 3 疑点 抛物线的焦半径和焦点弦长公式 解决办法 引导学生证明并加以记忆 三 活动设计三 活动设计 提问 填表 讲解 演板 口答 四 教学过程四 教学过程 一 复习 1 抛物线的定义是什么 用心 爱心 专心2 请一同学回答 应为 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹 叫做抛物线 2 抛物线的标准方程是什么 再请一同学回答 应为 抛物线的标准方程是 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 和 x2 2py p 0 下面我们类比椭圆 双曲线的几何性质 从抛物线的标准方程 y2 2px p 0 出发来研 究它的几何性质 二 几何性质 怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质 以 y2 2px p 0 为例 用小黑板给出下 表 请学生对比 研究和填写 填写完毕后 再向学生提出问题 和椭圆 双曲线的几何性质相比 抛物线的几何性 质有什么特点 学生和教师共同小结 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但是没有渐近线 用心 爱心 专心3 2 抛物线只有一条对称轴 这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线 重合 抛物线没有中心 3 抛物线只有一个顶点 它是焦点和焦点在准线上射影的中点 4 抛物线的离心率要联系椭圆 双曲线的第二定义 并和抛物线的定义作比较 其 结果是应规定抛物线的离心率为 1 注意 这样不仅引入了抛物线离心率的概念 而且把 圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了 三 应用举例 为了加深对抛物线的几何性质的认识 掌握描点法画图的基本方法 给出如下例 1 例 1 已知抛物线关于 x 轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点 解 因为抛物线关于 x 轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点 程是 y2 4x 后一部分由学生演板 检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况 第一象限内的几个点的坐标 得 2 描点作图 用心 爱心 专心4 描点画出抛物线在第一象限内的一部分 再利用对称性 就可以画出抛物线的另一部 分 如图 2 33 例 2 已知抛物线的顶点在原点 对称轴是 x 轴 抛物线上的点 M 3 m 到焦点的 距离等于 5 求抛物线的方程和 m 的值 解法一 由焦半径关系 设抛物线方程为 y2 2px p 0 则准线方 因为抛物线上的点 M 3 m 到焦点的距离 MF 与到准线的距离 得 p 4 因此 所求抛物线方程为 y2 8x 又点 M 3 m 在此抛物线上 故 m2 8 3 解法二 由题设列两个方程 可求得 p 和 m 由学生演板 由题意 在抛物线上且 MF 5 故 用心 爱心 专心5 本例小结 1 解法一运用了抛物线的重要性质 抛物线上任一点到焦点的距离 即此点的焦半径 等 于此点到准线的距离 可得焦半径公式 设 P x0 这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到 因此必须熟练掌握 2 由焦半径不难得出焦点弦长公式 设 AB 是过抛物线焦点的一条弦 焦点弦 若 A x1 y1 B x2 y2 则有 AB x1 x2 p 特别地 当 AB x 轴 抛物线的通径 AB 2p 详见课本习题 例 3 过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A B 两点 且 A x1 y1 B x2 y2 图 2 34 证明 1 当 AB 与 x 轴不垂直时 设 AB 方程为 用心 爱心 专心6 此方程的两根 y1 y2 分别是 A B 两点的纵坐标 则有 y1y2 p2 或 y1 p y2 p 故 y1y2 p2 综合上述有 y1y2 p2 又 A x1 y1 B x2 y2 是抛物线上的两点 本例小结 1 涉及直线与圆锥曲线相交时 常把直线与圆锥曲线方程联立 消去一个变量 得 到关于另一变量的一元二次方程 然后用韦达定理求解 这是解决这类问题的一种常用方 法 2 本例命题 1 是课本习题中结论 要求学生记忆 四 练习 1 过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 两点 若 x1 x2 6 求 AB 的值 由学生练习后口答 由焦半径公式得 AB x1 x2 p 8 2 证明 与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点 请一同学演板 其他同学练习 教师巡视 证明 可设抛物线方程 用心 爱心 专心7 故抛物线 y2 2px 与平行于其轴的直线只有一个交点 五 全课小结 1 抛物线的几何性质 2 抛物线的应用 五 布置作业五 布置作业 1 在抛物线 y2 12x 上 求和焦点的距离等于 9 的点的坐标 2 有一正三角形的两个顶点在抛物线 y2 2px 上 另一顶点在原点 求这个三角形的 边长 3 图 2 35 是抛物线拱桥的示意图 当水面在 l 时 拱顶高水面 2m 水面宽 4m 水