福建省各市2012年中考数学分类解析 专题9 三角形

用心 爱心 专心1 福建福建 9 9 市市 20122012 年中考数学试题分类解析汇编年中考数学试题分类解析汇编 专题专题 9 9 三角形 三角形 1 选择题 1 2012 福建南平 4 分 一个三角形的周长是 36 则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是 A 6 B 12 C 18 D 36 答案 C 考点 三角形中位线定理 分析 根据题意画出图形 点 D E F 分别是 AB AC BC 的中点 由三角形的中位线定理可知 DE BC DF AC EF AB 1 2 1 2 1 2 AB CB AC 36 DE DF FE 36 2 18 故选 C 2 2012 福建漳州 4 分 将一副直角三角板 按如图所示叠放在一起 则图中 的度数是 A 45o B 60o C 75o D 90o 答案 C 考点 三角形的外角性质 直角三角形的性质 分析 如图 1 90 60 30 45 30 75 故选 C 3 2012 福建三明 4 分 如图 在平面直角坐标系中 点 A 在第一象限 点 P 在 x 轴上 若以 P O A 为顶点的三角形是等腰三角形 则满足条件的点 P 共有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 用心 爱心 专心2 答案 C 考点 等腰三角形的判定 分析 如图 分 OP AP 1 点 OA AP 1 点 OA OP 2 点 三 种情况讨论 以 P O A 为顶点的三角形是等腰三角形 则满足条件 的点 P 共有 4 个 故选 C 4 2012 福建福州 4 分 如图 从热气球 C 处测得地面 A B 两点的俯角分别为 30 45 如果此时 热 气球 C 处的高度 CD 为 100 米 点 A D B 在同一直线上 则 AB 两点煌距离是 A 200 米 B 200米 C 220米 D 100 1 米 333 答案 D 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析 图中两个直角三角形中 都是知道已知角和对边 根据正切函数求出邻边后 相加求和即可 由已知 得 A 30 B 45 CD 100 CD AB 于点 D 在 Rt ACD 中 CDA 90 tanA AD 100 CD AD CD tanA 100 3 33 在 Rt BCD 中 CDB 90 B 45 DB CD 100 AB AD DB 100 100 100 1 米 故选 D 33 二 填空题 1 2012 福建南平 3 分 如图 在山坡 AB 上种树 已知 C 90 A 28 AC 6 米 则相邻两树的 坡面距离 AB 米 精确到 0 1 米 答案 6 8 考点 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 锐角三角函数定义 用心 爱心 专心3 分析 利用线段 AC 的长和 A 的余弦弦值求得线段 AB 的长即可 米 AC6 AB6 8 cos280 88 2 2012 福建龙岩 3 分 如图 Rt ABC 中 C 90 AC BC 6 E 是斜边AB 上任意一点 作 EF AC 于 F EG BC 于 G 则矩形CFEG 的周长是 答案 12 考点 等腰三角形的性质 矩形的判定和性质 平行的性质 分析 C 90 EF AC EG BC C EFC EGC 90 四边形 FCGE 是矩形 FC EG FE CG EF CG EG CA BEG A 45 B EG BG 同理 AF EF 矩形 CFEG 的周长是 CF EF EG CG CF AF BG CG AC BC 6 6 12 3 2012 福建三明 4 分 如图 在 ABC 中 D E 分别是边 AB AC 的中点 若 BC 6 则 DE 答案 3 考点 三角形中位线定理 分析 D E 分别是边 AB AC 的中点 DE 是 ABC 的中位线 又 BC 6 DE BC 3 1 2 4 2012 福建三明 4 分 如图 在 ABC 中 D 是 BC 边上的中点 BDE CDF 请你添加一个条 件 使 DE DF 成立 你添加的条件是 不再添加辅助线和字母 用心 爱心 专心4 答案 B C 答案不唯一 考点 全等三角形的判定和性质 等腰三角形的性质 邻补角的性质 分析 在 BDE 和 CDF 中 已有 BD CD 和 BDE CDF 只要添加一角相等即可由 ASA 或 AAS 证得 BDE CDF 从而证得 DE DF 成立 故可添加 B C 或 BED CFD 也可添加 AB AC 根据等腰三角形等边对等角的性质得 B C 也可添加 AED AFD 根据邻补角的性质得 BED CFD 等 答案不唯一 5 2012 福建福州 4 分 如图 已知 ABC AB AC 1 A 36 ABC 的平分线 BD 交 AC 于 点 D 则 AD的长是 cosA 的值是 结果保留根号 答案 5 1 2 5 1 4 考点 黄金分割 等腰三角形的性质 三角形内角和定理 相似三角形的判定和性质 锐角三角函数 的定义 分析 可以证明 ABC BDC 设 AD x 根据相似三角形的对应边的比相等 即可列出方程 求得 x 的值 过点 D 作 DE AB 于点 E 则 E 为 AB 中点 由余弦定义可求出 cosA 的值 在 ABC 中 AB AC 1 A 36 ABC ACB 72 180 A 2 BD 是 ABC 的平分线 ABD DBC ABC 36 1 2 A DBC 36 又 C C ABC BDC AC BC BC CD 设 AD x 则 BD BC x 则 解得 x 舍去 或 1 x x 1 x 5 1 2 5 1 2 用心 爱心 专心5 x 5 1 2 如图 过点 D 作 DE AB 于点 E AD BD E 为 AB 中点 即 AE AB 1 2 1 2 在 Rt AED 中 cosA AE AD 1 2 5 1 2 5 1 4 6 2012 福建泉州 4 分 如图 在 ABC 中 AB AC BC 6 AD BC 于点 D 则 BD 的长是 答案 3 考点 等腰三角形的性质 分析 根据等腰三角形 三线合一 的性质直接得出结果 AB AC BC 6 AD BC BD BC 3 1 2 7 2012 福建泉州 4 分 在 ABC 中 P 是 AB 上的动点 P 异于 A B 过点 P 的直线截 ABC 使截得 的三角形与 ABC 相似 我们不妨称这种直线为过点 P 的 ABC 的相似线 简记为 P 为自然数 x lx 1 如图 A 90 B C 当 BP 2PA 时 P P 都是过点 P 的 ABC 的相似线 其中 1 l 2 l BC AC 此外还有 条 1 l 2 l 2 如图 C 90 B 30 当 时 P 截得的三角形面积为 ABC 面积的 BP BA x l 4 1 答案 1 1 2 或或 1 2 3 4 3 4 考点 相似三角形的性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析 1 如图 相似线 还有一条 即与 BC 平行的直线 3 l 用心 爱心 专心6 2 如图 相似线 有三条 1 l 2 l 3 l P 截得的三角形面积为 ABC 面积的 x l 1 4 PBD APE FBP 和 ABC 的相似比是 1 2 对于 PBD 有 BP1 BA2 对于 APE 有 PA1 BA2 BP1 BA2 对于 FBP 若点 F 在 BC 上 有 即 BA 2BF BPBF1 BCBA2 又在 Rt BPF 中 B 30 则 BP3 cos B BF2 BPBP133 BA2BF224 若点 F 在 AC 上 有 即 BA 2FA PAFA1 CABA2 又在 Rt APF 中 A 60 则 PA1 cos A FA2 PAPA1 11 BA2FA2 24 BP3 BA4 综上所述 当或或时 P 截得的三角形面积为 ABC 面积的 BP1 BA2 3 4 3 4 x l 1 4 三 解答题 1 2012 福建厦门 6 分 已知 如图 点 B F C E 在一条直线上 A D AC DF 且 AC DF 求证 ABC DEF 答案 证明 AC DF ACB DFE 又 A D AC DF ABC EDF ASA 考点 平行的性质 全等三角形的判定 分析 利用 ASA 证明两三角形全等即可 2 2012 福建厦门 7 分 已知 如图 在 ABC 中 C 90 点 D E 分别在边 AB AC 上 DE BC DE 3 BC 9 1 求 的值 AD AB 用心 爱心 专心7 2 若 BD 10 求 sin A 的值 3 2012 福建莆田 12 分 1 3 分 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 BD AC 于点 D 求证 AB2 AD AC 2 4 分 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 点 D 为 BC 边上的点 BE AD 于点 E 延长 BE 交 AC 于点 F 求的值 ABB C 1 D BDC AF FC 3 5 分 在 Rt ABC 中 ABC 90 点 D 为直线 BC 上的动点 点 D 不与 B C 重合 直线 BE D 于点 E 交直线 AC 于点 F 若 请探究并直接写出的所有可能的值 用含 n 的式子表 ABBD n BCDC AF FC 示 不必证明 用心 爱心 专心8 答案 解 1 证明 如图 BD AC ABC 90 ADB ABC 又 A A ADB ABC AB2 AD AC ABAD ACAB 2 如图 过点 C 作 CG AD 交 AD 的延长线于点 G BE AD CGD BED 90 CG BF 又 ABBD 1 BCDC AB BC 2BD 2DC BD DC 又 BDE CDG BDE CDG AAS ED GD 1 EG 2 由 1 可得 AB2 AE AD BD2 DE AD AE 4DE 22 22 AEAB 2BD 4 DEBDBD AE4DE 2 EGDE 又 CG BF AFAE 2 FCEG 3 当点 D 在 BC 边上时 的值为 n2 n AF FC 当点 D 在 BC 延长线上时 的值为 n2 n AF FC 当点 D 在 CB 延长线上时 的值为 n n2 AF FC 考点 相似三角形的判定和性质 全等三角形的判定和性质 三角形中位线定理 平行线分线段成比 例的性质 分析 1 由证 ADB ABC 即可得到结论 2 过点 C 作 CG AD 交 AD 的延长线于点 G 由已知用 AAS 证 BDE CDG 得到 EF 是 ACG 的中位线 应用 1 的结论即可 3 分点 D 在 BC 边上 点 D 在 BC 延长线上和点 D 在 CB 延长线上三种情况讨论 用心 爱心 专心9 当点 D 在 BC 边上时 如图 3 过点 C 作 CG AD 交 AD 的延长线于点 G BE AD CGD BED 90 CG BF BDE CDG EDBD GDDC 又 ABBD n BCDC EDBD n GDDC AB nBC BD nDC ED nGD BC n 1 DC EG ED 1 1 n 由 1 可得 AB2 AE AD BD2 DE AD AE DE 2 222 2 2222 n1DCAEAB nBC BC n1 DEBDDCDC nDC 2 n1 2 2 AEn1DE n n 1 EG 1 DE n 又 CG BF 2 AFAE n n FCEG 当点 D 在 BC 延长线上时 如图 4 过点 C 作 CH AD 交 AD 于点 H BE AD CHD BED 90 CH BF BDE CDH EDBD HDCD 又 ABBD n BCDC EDBD n HDDC AB nBC BD nDC ED nHD BC n 1 DC EH ED 1 1 n 由 1 可得 AB2 AE AD BD2 DE AD AE DE 2 222 2 2222 n1DCAEAB nBC BC n1 DEBDDCDC nDC 2 n1 2 2 AEn1DE nn 1 EH 1DE n 又 CH BF 2 AFAE nn FCEH 当点 D 在 CB 延长线上时 如图 5 过点 C 作 CI AD 交 DA 的延长线于点 I 用心 爱心 专心10 BE AD CID BED 90 CI BF BDE CDI EDBD IDCD 又 ABBD n BCDC EDBD n IDDC AB nBC BD nDC ED nID BC 1 n DC EI ED 1 1 n 由 1 可得 AB2 AE AD BD2 DE AD AE DE 2 222 2 2222 1nDCAEAB nBC BC 1n DEBDDCDC nDC 2 1n 2 2 AE1nDE nn 1 EI 1DE n 又 CI BF 2 AFAE nn FCEI 4 2012 福建宁德 8 分 如图 点 E F 分别是 AD 上的两点 AB CD AB CD AF DE 问 线段 CE BF 有什么数量关系和位置关系 并加以证明 答案 解 CE 和 BF 的数量关系是 CE BF 位置关系是 CE BF 证明如下 AB CD A D 在 ABF 和 DCE 中 AB CD A D AF DE ABF DCE SAS CE BF AFB DEC CE BF CE 和 BF 的数量关系是 CE BF 位置关系是 CE BF 考点 平行线的判定和性质 全等三角形的判定和性质 分析 CE 和 BF 的关系是 CE BF 数量关系 CE BF 位置关系 理由是根据平行线性质求出 A D 根据 SAS 证 ABF DCE 推出 CE BF AFB DEC 即可 5 2012 福建宁德 10 分 图 1 是安装在房间墙壁上的壁挂式空调 图 2 是安装该空调的侧面示意图 空调风叶 AF 是绕点 A 由上往下旋转扫风的 安装时要求 当风叶恰好吹到床的外边沿 此时风叶与竖直 线的夹角 为 48 空调底部 BC 垂直于墙面 CD AB 0 02 米 BC 0 1 米 床铺长 DE 2 米 求安装的 用心 爱心 专心11 空调底部位置距离床的高度 CD 是多少米 结果精确到 0 1 米 答案 解 根据题意可得 AB 0 02m BC 0 1m DE 2m EM ED BC 1 9m 48 解得 BM 1 7 m EM1 9 tantan48 1 11 AM0 02BM CD 1 7 m 答 安装的空调底部位置距离床的高度 CD 是 1 7 米 考点 解直角三角形的应用 分析 根据已知得出 EM 的长度以及利用锐角三角函数求出 EM 的长度即可 6 2012 福建漳州 8 分 在数学课上 林老师在黑板上画出如图所示的图形 其中点 B F C E 在同 一直线上 并写出四个条件 AB DE BF EC B E 1 2 请你从这四个条件中选出三个作为题设 另一个作为结论 组成一个真命题 并给予证明 题设 结论 均填写序号 证明 答案 解题设 结论 证明 BF EC BF CF EC CF 即 BC EF 在 ABC 和 DEF 中 AB DE B E BC EF ABC DEF SAS 1 2 考点 命题与定理 全等三角形的判定和性质 分析 此题可以分成三种情况 用心 爱心 专心12 情况一 题设 结论 可以利用 SAS 定理证明 ABC DEF 情况二 题设 结论 可以利用 AAS 证明 ABC DEF 在 ABC 和 DEF 中 AB DE B E 1 2 ABC DEF AAS BC EF BC FC EF FC 即 BF EC 情况三 题设 结论 可以利用 ASA 证明 ABC DEF 再根据全等三角形的 性质可推出结论 BF EC BF CF EC CF 即 BC EF 在 ABC 和 DEF 中 B E BC EF 1 2 ABC DEF A