高中数学第五届全国高中青年教师优秀课观摩与评比《导数的概念》教案

用心 爱心 专心 1 导数的概念导数的概念 教案教案 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书 A 版 数学选修 2 2 第一 章第一节的 变化率与导数 导数的概念 是第 2 课时 教学内容分析教学内容分析 1 导数的地位 作用 导数的地位 作用 导数是微积分的核心概念之一 它是一种特殊的极限 反映了函数变化的快慢程度 导 数是求函数的单调性 极值 曲线的切线以及一些优化问题的重要工具 同时对研究几何 不等式起着重要作用 导数概念是我们今后学习微积分的基础 同时 导数在物理学 经济 学等领域都有广泛的应用 是开展科学研究必不可少的工具 2 本课内容剖析 本课内容剖析 教材安排导数内容时 学生是没有学习极限概念的 教材这样处理的原因 一方面是因 为极限概念高度抽象 不适合在没有任何极限认识的基础上学习 所以 让学生通过学习导 数这个特殊的极限去体会极限的思想 这为今后学习极限提供了认识基础 另一方面 函数 是高中的重要数学概念 而导数是研究函数的有力工具 因此 安排先学习导数方便学生学 习和研究函数 基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度 因此 先通过求物体在某一时 刻的平均速度的极限去得出瞬时速度 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬 时变化率的的模型 并将瞬时变化率定义为导数 这是符合学生认知规律的 进行导数概念教学时还应该看到 通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬 时速度 从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变 化率 我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想 教学目的教学目的 1 使学生认识到 当时间间隔越来越小时 运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向 于一个常数 并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度 2 使学生通过运动物体瞬时速度的探求 体会函数在某点附近的平均变化率的极限就 是函数在该点的瞬时变化率 并由此建构导数的概念 3 掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤 4 通过导数概念的构建 使学生体会极限思想 为将来学习极限概念积累学习经验 5 通过导数概念的教学教程 使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律 用心 爱心 专心 2 的重要过程 教学重点教学重点 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求 抽象概括出函数导数的概念 教学难点教学难点 使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义 由此得出函数在某点平均变化 率的极限就是函数在该点的瞬时变化率 并由此得出导数的概念 教学准备教学准备 1 查找实际测速中测量瞬时速度的方法 2 为学生每人准备一台 Ti nspire CAS 图形计算器 并对学生进行技术培训 3 制作 数学实验记录单 及上课课件 教学流程框图教学流程框图 教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律 使学生在操作感知的基础上形成导数 概念的表象 再通过表象抽象出导数概念 并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步 体会导数的本质 教学的主要过程设计如下 复习准备复习准备理解平均速度与瞬时速度 的区别与联系 体会模型体会模型 感受当 t 0 时 平均 速度逼近于某个常数 提炼模型提炼模型 从形式上完成从平均速度 向瞬时速度的过渡 形成概念形成概念 由物体运动的瞬时速度推 广到函数瞬时变化率 并 由此得出导数的定义 应用概念应用概念 理解导数概念 熟悉求导 的步骤 应用计算结果解 释瞬时变化率的意义 小结作业小结作业 通过师生共同小结 使学 生进一步感受极限思想对 人类思维的重大影响 用心 爱心 专心 3 教学过程设计教学过程设计 预计时 间 分 教学内容教师活动学生活动教学评价 5 分钟 1 1 复 复 习准备习准备 设计意图 让学生理 解平均速 度与瞬时 速度的区 别与联系 感受到平 均速度在 时间间隔 很小时可 以近似地 表示瞬时 速度 1 提问 请说出函数从x1 到x2的平均变化率公式 2 提问 如果用x1与增量 x表示平均变化率的公式是怎样的 3 高台跳水的例子中 在时 间段里的平均速度是零 而 49 65 0 实际上运动员并不是静止的 这说 明平均速度不能准确反映他在这段 时间里运动状态 4 提问 用一个什么样的量 来反映物体在某一时刻的运动状态 5 提问 我们如何得到物体 在某一时刻的瞬时速度 例如 要 求物体在 2S的瞬时速度 应该怎么 解决 6 我们一起来看物理中测即 时速度 瞬时速度 的视频 7 提问 这里所测得的真的 是瞬时速度吗 8 提问 怎样使平均速度更 好的表示瞬时速度 9 在学生回答的基础上讲述 真正的瞬时速度根本无法通过 仪器测定 我们将平均速度作为瞬 时速度的近似值 为了使平均速度更好的表示瞬 时速度 应该让时间间隔尽量小 回答问题后理解 1 12 12 xx xfxf 2 x xfxxf 11 3 学生在教师 的讲述中思考用什 么量来反映运动员 的运动状态 4 让学生体会 并明确瞬时速度的 作用 5 学生思考 6 学生观看视 频并思考 7 期望或引导 答出 是平均速度 8 学生回答 得出 时间间隔越 小越好 9 学生体会教 师所 讲结论 1 复 习过程应 使学生明 确函数的 平均变化 率表示 2 应 使学生明 确平均速 度与瞬时 速度的关 系 为下 一阶段实 验活动作 铺垫 用心 爱心 专心 4 15 分 钟 2 2 体 体 会模型会模型 设计意图 让学生在 信息技术 平台上 通过定量 分析感受 平均速度 在时间间 隔越来越 小时向瞬 时速度逼 近的过 程 1 向学生提出数学实验任务 已知跳水运动员在跳水过程中距离 水面的高度与时间的函数h t 4 9t2 6 5t 10 请你用计算器完成 下列表格中t0 2 秒附近的平均速度的计 算并填充好表格 观察平均速度的变化 趋势 数学实验记录单 1 x 0 时 在 2 2 x 内 2 2 hxh v x x 0 时 在 2 x 2 内 2 2 hhx v x X v x v 0 1 0 1 0 01 0 01 0 001 0 001 0 0001 0 0001 0 00001 0 0000 1 0 000001 0 0000 01 你认为运动员在t0 2 秒处的瞬时速 度为 m s 2 提问 x g x 的含义各是什 么 3 提问 观察你自己的实验记录 单 你能发现平均速度有什么变化趋势 吗 先展示一个同学的实验结果 并让 他说说他的发现 再将计算器的结果投 影 引导同学们一起观察 4 将学生分四个组 让他们分别 完成 t0 1 6 1 7 1 8 1 9 时的实验 记录单 2 的填写 说出他们观察的结 果 并将 4 个结果写列在黑板上 1 学生在 TI nspire CAS 上完成 以下操作 2 学生操作得出如 下结果 完成数学实验 记录单 1 的填写 3 让学生讲他所发 现的规律 4 学生分 4 个组再 次实验 分别完成本组 的数学实验记录单 2 的填写 并观察 平均速度的变化趋势 回答教师的提问 1 应使 学生 在技 术平 台上 通过 多次 实验 感受 到平 均速 度在 t 0 时 趋近 于一 个常 数 并理 解这 个常 数的 意 义 2 应使 学生 从感 性上 获得 求瞬 时速 度的 方 法 用心 爱心 专心 5 t0 1 6 9 18v t0 1 7 10 16v t0 1 8 11 14v t0 1 9 12 12v t0 2 13 1v 在学生实验与观察的基础上指出 当趋近于 0 时 平均速度都趋近t 于一个确定的常数 这个常数就是瞬时 速度 用心 爱心 专心 7 10 3 3 提 提 炼模型炼模型 设计意图 使学生认 识到平均 速度当时 间间隔趋 向于零时 的极限就 是瞬时速 度 为给 出导数概 念提炼出 一个具体 的极限模 型 1 提问 你认为通过实验所得结果 常数 就是瞬时速度吗 这个数据到底是精确值还是近似 值 2 让学生动笔化简t0 2 对应的平 均速度的表达式 化简结果为 4 913 1t 3 引导学生从化简的表达式中发现当 t 0 时 13 1 4 913 1t 4 让学生动手化简t0 1 6 对应的平均速度 的表达式 化简结果为 18 9 9 4 t 启发学生归纳出结论 t 0 时 平均速度所 趋近的这个常数是可以得到的 它不是近似值 是 一个精确值 它与变量 t 无关 只与时刻t0有 关 5 提问 我们得到了 t0 1 6 1 7 1 8 1 9 时的瞬时速度 但这还不 足以代表所有时刻的瞬时速度 能不能用同样的办 法 得到t0时的瞬时速度 启发学生化简平均速度的表达式 并与学生一 起总结出 t thtth t f 00 00 9 84 96 59 86 5 0 tttt 6 教师讲解 用表示 t thtth t 00 0 lim 所趋近的常数 即v 今后把这个常 5 68 9 0 00 0 lim t t thtth t 数叫做在处 当趋近于 0 时 平均速度 0 tt t 的极限 比如 13 1 是在处 当 t趋近v2t 于 0 时的极限 t hth 22 1 学 生思考 也可以讨 论 2 学 生化简 t0 2 处对 应的平均 速度的表 达式 观 察当 t 0 时 平均速度 表达式的 变化趋 势 3 学 生化简 t0 1 6 处 对应的平 均速度的 表达式 观察当 t 0 时 平均速度 表达式的 变化趋 势 3 学 生化简任 意时刻 t0处对应 的平均速 度的表达 式 观察 当 t 0 时 平均速度 表达式的 变化趋 势 4 学 生根据教 应使学 生通过 动手计 算 得 到平均 速度在 0t 时趋近 于一个 常数 并且这 个常数 就是瞬 时速 度 使 学生理 解极限 符号表 示的意 义 用心 爱心 专心 8 师的讲解 理解平均 速度的极 限的意 义 用心 爱心 专心 9 5 4 4 形 形 成概念成概念 设计意图 完成从运 动物体的 瞬时速度 到函数瞬 时变化率 的过渡 形成导数 的概念并 给出定 义 1 给出下列图示 2 针对上述图示 教师在启发后提问 通过前面的学习 我们知道平均速度就是函数h t 的平 均变化率 瞬时速度就是函数h t 的瞬时变化率 同时 我 们已经知道 平均速度在 t 0 时的极限就是瞬时速度 那 么 你能否说说 一般情况下 函数的平均变化率与瞬时变 化率是一个什么关系 3 在学生理解了函数的平均变化率与瞬时变化率的关 系后提问 函数f x 在x x0处的瞬时变化率怎样表示 教师介绍如下的的表示方法 函数f x 在x x0处的瞬时变化率可表示为 0 lim x f x 00 0 lim x f xxf x x 4 教师给出导数的定义 函数在处的瞬时变化率 f x 0 xx 00 00 limlim xx f xxf xf xx 称为在处的导数 记作或 即 yf x 0 xx 00 0 0 lim x f xxf x f x x 0 xx y 00 0 0 lim x f xxf x f x x 1 在教 师的 启发 下思 考函 数的 平均 变化 率与 瞬时 变化 率之 间的 关 系 2 回答 教师 的提 问 3 理解 函数 导数 的概 念与 导数 的表 示方 法 应使 学生 从 平 均速 度的 极限 是瞬 时速 度 这个 具体 的模 型中 抽象 出导 数的 概念 并能 理解 导数 是一 个极 限 明确 导数 的表 示 用心 爱心 专心 10 5 5 5 应 应 用概念用概念 设计意图 让学生进一 步理解导数 概念 体会 导数的应用 价值 熟悉 求导数的步 骤 1 提问 你能说说求函数y f x 在x x0处的导数的步骤吗 教师在学生说的基础上要总结出步 骤 2 讲解例 1 将原油精练为汽油 柴油 塑胶等 各种不同产品 需要对原油进行冷却和 加热 如果第 x h 时 原油的温度 单 位 为 f x x2 7x 15 0 x 8 C 计算第 2 h 和第 6 h 时 原油温度 的瞬时变化率 并说明它们的意义 强调 第 2 小时的瞬时变化率为 3 说明 在第 2 小时附近 原油大约以的3 C h 速度下降 3 提出练习 计算 3h 时原油温 度的瞬时变化率 表述你所得结果的意 义 1 学生 思考并交流 求函数在 x0处的导数 的步骤 2 在教 师讲解完后 完成教师提 出的练习 3 求出 后 3 f 回答 的意 3 f 义 1 检查 学生是否清 楚求导数的 步骤 2 检查 学生能否准 确地求出函 数在某点的 导数 3 应使 学生能利用 计算结果解 释导数 即 瞬时变化率 的意义 5 6 6 小 小 结作业结作业 设计意图 让学生通过 总结 进一 步体会导数 的意义及极 限的思想 训练学生的 概括能 力 通过布 置作业 巩 固所学内 容 1 让学生小结并交流 2 教师总结 本节课学习了导数的概念 在这个 过程中我们看到 数学使不可能的事情 变成现实 导数的概念表明 当自变量的增量 趋