青海省青海师大附属第二中学高一数学《函数的基本性质——奇偶性》学案

1 青海省青海师大附属第二中学高一数学青海省青海师大附属第二中学高一数学 一 一 基本概念及知识体系 基本概念及知识体系 教学要求 理解奇函数 偶函数的概念及几何意义 能熟练判别函数的奇偶性 教学重点 熟练判别函数的奇偶性 教学难点 理解奇偶性 教学过程 一 复习准备 一 复习准备 1 提问 什么叫增函数 减函数 2 指出 f x 2x 1 的单调区间及单调性 变题 2x 1 的单调区间 22 3 对于 f x x f x x f x x f x x 分别比较 f x 与 f x 234 二 讲授新课 二 讲授新课 1 1 教学奇函数 偶函数的概念 教学奇函数 偶函数的概念 给出两组图象 f xx 1 f x x 3 f xx 2 f xx f xx 发现各组图象的共同特征 探究函数解析式在函数值方面的特征 定义偶函数 一般地 对于函数定义域内的任意一个x 都有 那 f x fxf x 么函数叫偶函数 even function f x 探究 仿照偶函数的定义给出奇函数 odd function 的定义 如果对于函数定义域内的任意一个x 都有 那么函数叫奇函数 fxf x f x 讨论 定义域特点 与单调性定义的区别 图象特点 定义域关于原点对称 整体 性 练习 已知 f x 是偶函数 它在 y 轴左边的图像如图所示 画出它右边的图像 2 2 教学奇偶性判别 教学奇偶性判别 例例 1 1 判别下列函数的奇偶性 判别下列函数的奇偶性 f x f x f x 4x 5x f x f x 2x 3 34 x 43 x 62 3 x 3 1 x 4 判别下列函数的奇偶性 判别下列函数的奇偶性 f x x 1 x 1 f x f x x f x f x x x 2 3 x x 1 2 1x x 2 2 3 小结奇偶性判别方法 先考察定义域是否关于原点对称 再用比较法 计算和差 比商 法判别 f x 与 f x 的关系 思考 f x 0 的奇偶性 3 3 教学奇偶性与单调性综合的问题 教学奇偶性与单调性综合的问题 例 3 已知 已知 f x f x 是奇函数 且在是奇函数 且在 0 0 上是减函数 问上是减函数 问 f x f x 的的 0 0 上的单调性上的单调性 找一例子说明判别结果 特例法 按定义求单调性 注意利用奇偶性和已知单调区 间上的单调性 小结 设 转化 单调应用 奇偶应用 结论 变题 已知已知 f x f x 是偶函数 且在是偶函数 且在 a b a b 上是减函数 试判断上是减函数 试判断 f x f x 在在 b a b a 上的单调性 上的单调性 并给出证明 并给出证明 三 巩固练习 三 巩固练习 1 设 f x ax bx 5 已知 f 7 17 求 f 7 的值 答案为 27 7 2 已知 f x 是奇函数 g x 是偶函数 且 f x g x 求 f x g x 1 1 x 3 已知函数 f x 对任意实数 x y 都有 f x y f x f y 试判别 f x 的奇偶性 特值代入 4 已知 f x 是奇函数 且在 3 7 是增函数且最大值为 4 那么 f x 在 7 3 上是 函数 且最 值是 2 四 巩固提高练习 四 巩固提高练习 题题 1 1 已知函数是偶函数 则一定是函数图象的对称轴 21 yfx 2 yfx 的直线是 C A B C D 1 2 x 0 x 1 2 x 1x 函数 y f x 与 y g x 的图象如所示 则函数 y f x g x 的图象可能为 D 题 2 设定义于 2 2 上的偶函数在区间 0 2 上 单调递增 若 1 m m 求实数 m 的 取值范围 解 m 2 1 2 题 3 设函数 x 是 R 上的偶函数 且当 x 0 时 x sinx x2 求出函数 x 的表达式 已知 x 是 R 上的奇函数 且当 x 0 时 有 x 2x cosx 求出 函数 x 的表达式 题 4 已知函数 x 的定义域为 R 且满足 x 2 x 求证 x 是周期函数 设 x 为奇函数 且 0 x 1 时 x x 求 x 1 2 的所有 x 之值 解 解 周期为 4 在一个周期上的根为 x 1 则所有的根为 1 2 x 4n 1 n z 题 5 设 a 为实数 函数 x x2 x a 1 x R 讨论函数 x 的奇偶性 求函数 x 的最小值 题 6 2006 年辽宁文科 T2 设是上的任意函数 下列叙述正确的是 C f xR A 是奇函数 B 是奇函数 f x fx f xfx C 是偶函数 D 是偶函数 f xfx f xfx 解 A 中 则 即函数 F xf x fx Fxfx f xF x 为偶函数 B 中 此时 F xf x fx F xf xfx Fxfxf x 与的关系不能确定 即函数的奇偶性不确定 C 中 F x Fx F xf xfx 即函数 F xf xfx Fxfxf xF x 3 为奇函数 D 中 F xf xfx F xf xfx 即函数为偶函数 故选择答案 C Fxfxf xF x F xf xfx 题 7 已知函数 y x 是最小正周期为 2 的偶函数 它在区间 0 1 上的图象如所示为线段 AB 求出它在区间 1 2 上的表达 式 已知定义于 上的函数 x g x 分别是偶函数 奇函 数 且它们在 0 上的图象如图所示 则不等式 0 的解集 x g x 是 答案 0 3 3 题 8 2006 年重庆文科 T21 题 12 分 已知定义域为的函数是奇R 1 2 2 x x b f x a 函数 求的值 若对任意的 不等式恒 a btR 22 2 2 0f ttftk 成立 求的取值范围 k 解 因为是奇函数 所以 0 即 f x f x 1 11 2 01 22 x x b bf x aa 又由 f 1 f 1 知 解法一 由 知 1 1 1 2 2 2 41 a aa 易知在上为减函数 又因是奇函数 1 1 211 22221 x xx f x f x f x 从而不等式 等价于 22 2 2 0f ttftk 222 2 2 2 f ttftkf kt 因为减函数 由上式推得 即对一切有 f x 22 22ttkt tR 2 320ttk 分离变量可得 k0 时 f x 0 f 1 2 1 证明函数 f x 为奇函数 2 求函数 f x 在 3 3 上的最值 解 见教案 P56 面题 2 最大值为 6 最小值为 6 例题 3 已知函数 f x 是定义于 0 上的增函数 且 f f x f y x y 4 1 求出 f 1 之值 2 若 f 6 1 解不等式 f x 3 f 2 解 见教案 P63 面 1 x 题 2 x 3 35 例题 已知集合 A x x2 3x 10 0 B x m 1 x 2m 1 若 A B A 求出实数 m 的取值范围 解 见教案 P63 面题 1 m 3 例题 1 已知定义于区间 1 1 上的奇函数 f x 是其定义域上的减函数 且满足 f 1 m f 1 m2 0 试求 m 的取值范围 见教案 P50 面题 1 m 0 1 例题 2 已知函数 f x 对一切的实数 x y 都有 f x y f x f y 1 求证 函数 f x 是奇函数 2 若已知 f 3 a 试用 a 表示出 f 24 见教案 P51 面题 2 f 24 8a 六 课堂回顾 六 课堂回顾 1 奇函数 偶函数 x 为奇函数 x x x 为偶函数 x x 定义法 2 图象性质 奇函数的图象关于原点成中心对称 注意 若 0 存在 则必有 0 0 处理填空或选择题的法宝 偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形 图象法 3 函数的奇偶性的判断方法 定义法 图象法 七 应用题例选 七 应用题例选 某租赁公司拥有汽车 100 辆 当每辆月租金 3000 元时 可全 部租出 当每辆车的月租金增加 50 元时 末租出的车将会增加一辆 租出的车每辆每 月需要维护费 150 元 末租出的车每辆每月需要保管费