浙江省各市2012年中考数学分类解析 专题5 数量和位置变化

用心 爱心 专心1 浙江浙江 1111 市市 20122012 年中考数学试题分类解析汇编年中考数学试题分类解析汇编 专题专题 5 5 数量和位置变化 数量和位置变化 1 选择题 1 2012 浙江嘉兴 舟山 4 分 如图 正方形 ABCD 的边长为 a 动点 P 从点 A 出发 沿折线 A B D C A 的路径运动 回到点 A 时运动停止 设点 P 运动的路程长为长为 x AP 长为 y 则 y 关于 x 的函数图象大致是 A B C D 答案 D 考点 动点问题的函数图象 分析 因为动点 P 按沿折线 A B D C A 的路径运动 因此 y 关于 x 的函数图象分为四部分 A B B D D C C A 当动点 P 在 A B 上时 函数 y 随 x 的增大而增大 且 y x 四个图象均正确 当动点 P 在 B D 上时 函数 y 在动点 P 位于 BD 中点时最小 且在中点两侧是对称的 故选项 B 错误 当动点 P 在 D C 上时 函数 y 随 x 的增大而增大 故选项 A C 错误 当动点 P 在 C A 上时 函数 y 随 x 的增大而减小 故选项 D 正确 故选 D 2 2012 浙江衢州 3 分 函数的自变量 x 的取值范围在数轴上可表示为 y x1 A B C D 答案 D 考点 函数自变量的取值范围 二次根式有意义的条件 在数轴上表示不等式的解集 用心 爱心 专心2 分析 根据二次根式有意义的条件 计算出的取值范围 再在数轴上表示即可 不等式的解集x1 在数轴上表示的方法 向右画 向左画 在表示解集时 要用实心圆点表示 要用空心圆点表示 根据二次根式被开方数必须是非负数的条件 要使在实数范围内有意义 必须x1 x10 故在数轴上表示为 故选 D x1 3 2012 浙江绍兴 4 分 在如图所示的平面直角坐标系内 画在透明胶片上的 ABCD 点 A 的坐标是 0 2 现将这张胶片平移 使点 A 落在点 A 5 1 处 则此平移可以是 A 先向右平移 5 个单位 再向下平移 1 个单位B 先向右平移 5 个单位 再向下平移 3 个单位 C 先向右平移 4 个单位 再向下平移 1 个单位D 先向右平移 4 个单位 再向下平移 3 个单位 答案 B 考点 坐标与图形的平移变化 分析 根据坐标的平移变化的规律 左右平移只改变点的横坐标 左减右加 上下平移只改变点的纵 坐标 下减上加 因此 根据 A 的坐标是 0 2 横坐标加 5 纵坐标减 3 得到点 A 5 1 故先向右平移 5 个单 位 再向下平移 3 个单位 故选 B 4 2012 浙江温州 4 分 如图 在 ABC 中 C 90 M 是 AB 的中点 动点 P 从点 A 出发 沿 AC 方向匀速运动到终点 C 动点 Q 从点 C 出发 沿 CB 方向匀速运动到终点 B 已知 P Q 两点同时出发 并同时到达终点 连结 MP MQ PQ 在整个运动过程中 MPQ 的面积大小变化情况是 A 一直增大 B 一直减小 C 先减小后增大 D 先增大后减小 用心 爱心 专心3 答案 C 考点 动点问题的函数图象 分析 如图所示 连接 CM M 是 AB 的中点 S ACM S BCM S ABC 1 2 开始时 S MPQ S ACM S ABC 1 2 由于 P Q 两点同时出发 并同时到达终点 从而点 P 到达 AC 的中点时 点 Q 也到达 BC 的中点 此时 S MPQ S ABC 1 4 结束时 S MPQ S BCM S ABC 1 2 MPQ 的面积大小变化情况是 先减小后增大 故选 C 二 填空题 1 2012 浙江丽水 金华 4 分 甲 乙两人以相同路线前往离学校 12 千米的地方参加植树活动 图中 l甲 l乙分别表示甲 乙两人前往目的地所行驶的路程 S 千米 随时间 t 分 变化的函数图象 则每分钟 乙比甲多行驶 千米 答案 3 5 考点 函数的图象 分析 根据函数的图形可以得到甲用了 30 分钟行驶了 12 千米 乙用 12 分钟行驶了 12 千米 分别算 出速度即可求得结果 甲每分钟行驶 12 30 千米 乙每分钟行驶 12 12 1 千米 2 5 每分钟乙比甲多行驶 1 千米 23 55 2 2012 浙江衢州 4 分 试写出图象位于第二 四象限的一个反比例函数的解析式 答案 答案不唯一 1 y x 考点 反比例函数的性质 分析 位于二 四象限的反比例函数比例系数 k 0 据此写出一个函数解析式即可 如 答案 1 y x 不唯一 用心 爱心 专心4 3 2012 浙江绍兴 5 分 小明的父母出去散步 从家走了 20 分钟到一个离家 900 米的报亭 母亲随即 按原速度返回家 父亲在报亭看了 10 分钟报纸后 用 15 分钟返回家 则表示父亲 母亲离家距离与时 间之间的关系是 只需填序号 答案 考点 函数的图象 分析 小明的父母出去散步 从家走了 20 分到一个离家 900 米的报亭 母亲随即按原速返回 表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是 父亲看了 10 分报纸后 用了 15 分返回家 表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是 4 2012 浙江义乌 4 分 如图 已知点 A 0 2 B 2 C 0 4 过点 C 向右作平行于 x 轴 的射线 点 P 是射线上的动点 连接 AP 以 AP 为边在其左侧作等边 APQ 连接 PB BA 若四边形 ABPQ 为梯形 则 1 当 AB 为梯形的底时 点 P 的横坐标是 2 当 AB 为梯形的腰时 点 P 的横坐标是 答案 2 3 3 2 3 考点 梯形的性质 等边三角形的性质 锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值 平行四边形的判 定和性质 分析 1 如图 1 当 AB 为梯形的底时 PQ AB Q 在 CP 上 用心 爱心 专心5 APQ 是等边三角形 CP x 轴 AC 垂直平分 PQ A 0 2 C 0 4 AC 2 32 3 PCAC tan302 33 当 AB 为梯形的底时 点 P 的横坐标是 2 3 3 2 如图 2 当 AB 为梯形的腰时 AQ BP Q 在 y 轴上 BP y 轴 CP x 轴 四边形 ABPC 是平行四边形 CP AB 2 3 当 AB 为梯形的腰时 点 P 的横坐标是 2 3 三 解答题 1 2012 浙江湖州 12 分 如图 1 已知菱形 ABCD 的边长为 点 A 在 x 轴负半轴上 点 B 在坐标原2 3 点 点 D 的坐标为 3 抛物线 y ax2 b a 0 经过 AB CD 两边的中点 3 1 求这条抛物线的函数解析式 2 将菱形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向匀速平移 如图 2 过点 B 作 BE CD 于点 E 交抛物线于点 F 连接 DF AF 设菱形 ABCD 平移的时间为 t 秒 0 t 3 是否存在这样的 t 使 ADF 与 DEF 相似 若存在 求出 t 的值 若不存在 请说明理由 连接 FC 以点 F 为旋转中心 将 FEC 按顺时针方向旋转 180 得 FE C 当 FE C 落在 x 轴 与抛物线在 x 轴上方的部分围成的图形中 包括边界 时 求 t 的取值范围 写出答案即可 答案 解 1 由题意得 AB 的中点坐标为 3 0 CD 的中点坐标为 0 3 分别代入 y ax2 b 得 解得 2 3a b 0 b3 a 1 b3 这条抛物线的函数解析式为 y x2 3 用心 爱心 专心6 2 存在 如图 2 所示 在 Rt BCE 中 BEC 90 BE 3 BC 2 3 C 60 CBE 30 EC BC DE BE33 sinC BC22 3 1 2 33 又 AD BC ADC C 180 ADC 180 60 120 要使 ADF 与 DEF 相似 则 ADF 中必有一个角为直角 I 若 ADF 90 EDF 120 90 30 在 Rt DEF 中 DE 得 EF 1 DF 2 3 又 E t 3 F t t2 3 EF 3 t2 3 t2 t2 1 t 0 t 1 此时 AD2 3DF2 2 2 DEEF13 ADDF DEEF 又 ADF DEF ADF DEF II 若 DFA 90 可证得 DEF FBA 则 DEEF FBBA 设 EF m 则 FB 3 m 即 m2 3m 6 0 此方程无实数根 此时 t 不存在 3m m 32 3 III 由题意得 DAF DAB 60 DAF 90 此时 t 不存在 综上所述 存在 t 1 使 ADF 与 DEF 相似 6 6 3t 2 考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 菱形的性质 平移的性质 勾股定理 锐角 三角函数定义 特殊角的三角函数值 平行的性质 相似三角形的判定 解方程和不等式 分析 1 根据已知条件求出 AB 和 CD 的中点坐标 然后利用待定系数法求该二次函数的解析式 2 如图 2 所示 ADF 与 DEF 相似 包括三种情况 需要分类讨论 I 若 ADF 90 时 ADF DEF 求此时 t 的值 II 若 ADF 90 时 DEF FBA 利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的 t 的值 III DAF 90 此时 t 不存在 画出旋转后的图形 认真分析满足题意要求时 需要具备什么 用心 爱心 专心7 样的限制条件 然后根据限制条件列出不等式 求出 t 的取值范围 如图 3 所示 依题意作出旋转后的三角形 FE C 过 C 作 MN x 轴 分别交抛物线 x 轴 于点 M 点 N 观察图形可知 欲使 FE C 落在指定区域内 必须满足 EE BE 且 MN C N F t 3 t2 EF 3 3 t2 t2 EE 2EF 2t2 由 EE BE 得 2t2 3 解得 6 t 2 又 C E CE C 点的横坐标为 t MN 3 t 2 333 又 C N BE BE EE 3 2t2 由 MN C N 得 3 t 2 3 2t2 即 t2 2t 3 0 33 求出 t2 2t 3 0 得 t2 2t 3 0 即 3t 36 3 t 3 6t 360 解得 t t 3 60 t 360 6 3 t 的取值范围为 6 6 3t 2 2 2012 浙江嘉兴 舟山 12 分 将 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 度 并使各边长变为原来的 n 倍 得 AB C 即如图 我们将这种变换记为 n 1 如图 对 ABC 作变换 60 得 AB C 则 S AB C S ABC 直线 BC 与直线3 B C 所夹的锐角为 度 2 如图 ABC 中 BAC 30 ACB 90 对 ABC 作变换 n 得 AB C 使点 B C C 在同一直线上 且四边形 ABB C 为矩形 求 和 n 的值 4 如图 ABC 中 AB AC BAC 36 BC l 对 ABC 作变换 n 得 AB C 使点 B C B 在同一直线上 且四边形 ABB C 为平行四边形 求 和 n 的值 答案 解 1 3 60 2 四边形 ABB C 是矩形 BAC 90 CAC BAC BAC 90 30 60 用心 爱心 专心8 在 Rt AB B 中 ABB 90 BAB 60 AB B 30 AB 2 AB 即 AB n 2 AB 3 四边形 ABB C 是平行四边形 AC BB 又 BAC 36 CAC ACB 72 C AB BAC 36 而 B B ABC B BA AB BB CB AB AB2 CB BB CB BC CB 而 CB AC AB B C BC 1 AB2 1 1 AB 解得 15 AB 2 AB 0 BC1 5 n BC2 考点 新定义 旋转的性质 矩形的性质 含 300角直角三角形的性质 平行四边形的性质 相似三角 形的判定和性质 公式法解一元二次方 分析 1 根据题意得 ABC AB C S AB C S ABC B B 2 2 AB 33 AB ANB B NM BMB BAB 60 2 由四边形 ABB C 是矩形 可得 BAC 90 然后由 CAC BAC BAC 即可 求得 的度数 又由含 30 角的直角三角形的性质 即可求得 n 的值 3 由四边形 ABB C 是平行四边形 易求得 CAC ACB 72 又由 ABC B BA 根据相似三角形的对应边成比例 易得 AB2 CB BB CB BC CB 继而求得答案 3 2012 浙江丽水 金华 10 分 在直角坐标系中 点 A 是抛物线 y x2在第二象限上的点 连接 OA 过点 O 作 OB OA 交抛物线于点 B 以 OA OB 为边构造矩形 AOBC 1 如图 1 当点 A 的横坐标为 时 矩形 AOBC 是正方形 2 如图 2 当点 A 的横坐标为时 1 2 用心 爱心 专心9 求点 B 的坐标 将抛物线 y x2作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 y x2 试判断抛物线 y x2经过平移交换后 能否经过 A B C 三点 如果可以 说出变换的过程 如果不可以 请说明理由 答案 解 1 1 2 过点 A 作 AE x 轴于点 E 过点 B 作 BF x 轴于点 F 当 x 时 y 2 1 2 1 2 1 4 即 OE AE 1 2 1 4 AOE BOF 180 90 90 AOE EAO 90 EAO BOF 又 AEO BFO 90 AEO OFB 1 OFAE1 4 1 BFEO2 2 设 OF t 则 BF 2t t2 2t 解得 t1 0 舍去 t2 2 点 B 2 4 过点 C 作 CG BF 于点 G AOE EAO 90 FBO CBG 90 EOA FBO EAO CBG 在 AEO 和 BGC 中 AEO G 900 EAO CBG AO BC AEO BGC AAS CG OE BG AE 1 2 1 4 xc 2 yc 4 点 C 13 22 117 44 317 24 设过 A B 2 4 两点的抛物线解析式为 y x2 bx c 由题意得 1 2 1 4 得 111 b c 424 42b c4 b3 c2 经过 A B 两点的抛物线解析式为 y x2 3x 2 当 x 时 y 2 3 2 点 C 也在此抛物线上 3 2 3 2 3 2 17 4 用心 爱心 专心10 经过 A B C 三点的抛物线解析式为 y x2 3x 2 x 2 3 2 17 4 平移方案 先将抛物线 y x2向右平移个单位 再向上平移个单位得到抛物线 3 2 17 4 y x 2 3 2 17 4 考点 二次函数综合题 正方形的判定和性质 等腰直角三角形的判定和性质 待定系数法 曲线上 点的坐标与方程的关系 全等和相似三角形的判定和性质 平移的性质 分析 1 如图 过点 A 作 AD x 轴于点 D 矩形 AOBC 是正方形 AOC 45 AOD 90 45 45 AOD 是等腰直角三角形 设点 A 的坐标为 a a a 0 则 a 2 a 解得 a1 1 a2 0 舍去 点 A 的坐标 a 1 2 过点 A 作 AE x 轴于点 E 过点 B 作 BF x 轴于点 F 先利用抛物线解析式求出 AE 的 长度 然后证明 AEO 和 OFB 相似 根据相似三角形对应边成比例列式求出 OF 与 BF 的关系 然后利用 点 B 在抛物线上 设出点 B 的坐标代入抛物线解析式计算即可得解 过点 C 作 CG BF 于点 G 可以证明 AEO 和 BGC 全等 根据全等三角形对应边相等可 得 CG OE BG AE 然后求出点 C 的坐标 再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定 系数法求出过点 A B 的抛物线解析式 把点 C 的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过 点 C 如果经过点 C 把抛物线解析式转化为顶点式解析式 根据顶点坐标写出变换过程即可 4 2012 浙江衢州 12 分 如图 把两个全等的 Rt AOB 和 Rt COD 分别置于平面直角坐标系中 使直 角边 OB OD 在 x 轴上 已知点 A 1 2 过 A C 两点的直线分别交 x 轴 y 轴于点 E F 抛物线 y ax2 bx c 经过 O A C 三点 1 求该抛物线的函数解析式 2 点 P 为线段 OC 上一个动点 过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M 交 x 轴于点 N 问是否存在这 样的点 P 使得四边形 ABPM 为等腰梯形 若存在 求出此时点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 若 AOB 沿 AC 方向平移 点 A 始终在线段 AC 上 且不与点 C 重合 AOB 在平移过程中与 COD 重叠部分面积记为 S 试探究 S 是否存在最大值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心11 答案 解 1 抛物线 y ax2 bx c 经过点 O c 0 又 抛物线 y ax2 bx c 经过点 A C 解得 a b 2 4a 2b 1 3 a 2 7 b 2 抛物线解析式为 2 37 y x x 22 2 设点 P 的横坐标为 t PN CD OPN OCD 可得 PN P t t 2 t 2 点 M 在抛物线上 M t 2 37 t t 22 如图 1 过 M 点作 MG AB 于 G 过 P 点作 PH AB 于 H AG yA yM 2 22 3737 t t tt 2 2222 BH PN t 2 当 AG BH 时 四边形 ABPM 为等腰梯形 化简得 3t2 8t 4 0 2 37t tt 2 222 解得 t1 2 不合题意 舍去 t2 2 3 点 P 的坐标为 21 33 存在点 P 使得四边形 ABPM 为等腰梯形 21 33 用心 爱心 专心12 3 如图 2 AOB 沿 AC 方向平移至 A O B A B 交 x 轴于 T 交 OC 于 Q A O 交 x 轴于 K 交 OC 于 R 由 A C 的坐标可求得过 A C 的直线为 yAC x 3 设点 A 的横坐标为 a 则点 A a a 3 易知 OQT OCD 可得 QT a 2 点 Q 的坐标为 a 2 3 设 AB 与 OC 相交于点 J A RQ AOJ 相似三角形对应高的比等于相似比 HTA Q OBAJ 1 3aa A Q 2 HT OB 1 2a 1 AJ 2 2 KT A T 3 a A Q yA yQ a 3 3 a 1 2 1 2 a 2 3 2 S四边形 RKTQ S A KT S A RQ KT A T A Q HT 1 2 1 2 2 2 1 3a13133133 3a3aa 2 a a a 2222224228 0 1 2 在线段 AC 上存在点 A 能使重叠部分面积 S 取到最大值 最大值为 33 22 3 8 考点 二次函数综合题 二次函数的图象和性质 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 二次 函数的最值 等腰梯形的性质 相似三角形的判定和性质 图形平移的性质以及几何图形面积的求法 分析 1 抛物线 y ax2 bx c 经过点 O A C 利用待定系数法求抛物线的解析式 2 根据等腰梯形的性质 确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系 得到一元二次方程 求出 t 的值 从而可解 结论 存在点 P 使得四边形 ABPM 为等腰梯形 21 33 3 求出得重叠部分面积 S 的表达式 然后利用二次函数的极值求得 S 的最大值 5 2012 浙江绍兴 14 分 如图 矩形 OABC 的两边在坐标轴上 连接 AC 抛物线经过 2 yx4x2 A B 两点 用心 爱心 专心13 1 求 A 点坐标及线段 AB 的长 2 若点 P 由点 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB 边向点 B 移动 1 秒后点 Q 也由点 A 出发以每秒 7 个 单位的速度沿 AO OC CB 边向点 B 移动 当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动 点 P 的移动时 间为 t 秒 当 PQ AC 时 求 t 的值 当 PQ AC 时 对于抛物线对称轴上一点 H HOQ POQ 求点 H 的纵坐标的取值范围 答案 解 1 由抛物线知 当 x 0 时 y 2 A 0 2 2 yx4x2 四边形 OABC 是矩形 AB x 轴 即 A B 的纵坐标相同 当 y 2 时 解得 B 4 2 2 2x4x2 12 x0 x4 AB 4 2 由题意知 A 点移动路程为 AP t Q 点移动路程为 7 t 1 7 t 7 当 Q 点在 OA 上时 即 时 07t72 9 1t 7 如图 1 若 PQ AC 则有 Rt QAP Rt ABC 即 解得 QAAP ABBC 7t7t 42 7 t 5 此时 t 值不合题意 79 57 当 Q 点在 OC 上时 即 时 27t76 913 t 77 如图 2 过 Q 点作 QD AB AD OQ 7 t 1 2 7t 9 DP t 7t 9 9 6t 若 PQ AC 则有 Rt QDP Rt ABC 即 解得 QADP ABBC 296t 44 4 t 3 符合题意 9413 737 4 t 3 用心 爱心 专心14 当 Q 点在 BC 上时 即 时 67t78 1315 t 77 如图 3 若 PQ AC 过 Q 点作 QG AC 则 QG PG 即 GQP 90 QPB 90 这与 QPB 的内角和为 180 矛盾 此时 PQ 不与 AC 垂直 综上所述 当时 有 PQ AC 4 t 3 当 PQ AC 时 如图 4 BPQ BAC BPBQ BABC 解得 t 2 4t87 t1 42 即当 t 2 时 PQ AC 此时 AP 2 BQ CQ 1 P 2 2 Q 4 1 抛物线对称轴的解析式为 x 2 当 H1为对称轴与 OP 的交点时 有 H1OQ POQ 当 yH 2 时 HOQ POQ 作 P 点关于 OQ 的对称点 P 连接 PP 交 OQ 于点 M 过 P 作 P N 垂直于对称轴 垂足为 N 连接 OP 在 Rt OCQ 中 OC 4 CQ 1 OQ 17 S OPQ S四边形 ABCD S AOP S COQ S QBP 3 OQ PM 1 2 PM PP 2PM 6 17 17 12 17 17 NPP COQ Rt COQ Rt NPP 即 解得 CQOQOC NPPPPN 1174 P NPN12 17 17 12 P N 17 48 PN 17 P 直线 OP 的解析式为 46 14 17 17 7 yx 23 OP 与 NP 的交点 H2 2 14 23 当时 HOP POQ H 14 y 23 用心 爱心 专心15 综上所述 当或时 HOQ POQ H y2 H 14 y 23 考点 二次函数综合题 曲线图上点的坐标与方程的关系 矩形的性质 相似三角形的判定和性质 二次函数的性质 对称的性质 分析 1 已知抛物线的解析式 将 x 0 代入即可得 A 点坐标 由于四边形 OABC 是矩形 那么 A B 纵坐标相同 代入该纵坐标可求出 B 点坐标 则 AB 长可求 2 Q 点的位置可分 在 OA 上 在 OC 上 在 CB 上 三段来分析 若 PQ AC 时 很显然前两 种情况符合要求 首先确定这三段上 t 的取值范围 然后通过相似三角形 或构建相似三角形 利用比 例线段来求出 t 的值 然后由 t 的取值范围将不合题意的值舍去 当 PQ AC 时 BPQ BAC 通过比例线段求出 t 的值以及 P Q 点的坐标 可判定 P 点在抛物线的对称轴上 若 P H1重合 此时有 H1OQ POQ 若作 P 点关于 OQ 的对称点 P OP 与 NP 的交点 H2 亦可得到 H2OQ POQ 而题目要求的是 HOQ POQ 那么 H1点以下 H2点以上的 H 点 都是符合要求的 6 2012 浙江台州 14 分 定义 P Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点 线段 PQ 长度的最小值叫做 线段与线段的距离 已知 O 0 0 A 4 0 B m n C m 4 n 是平面直角系中四点 1 根据上述定义 当 m 2 n 2 时 如图 1 线段 BC 与线段 OA 的距离是 当 m 5 n 2 时 如图 2 线段 BC 与线段 OA 的距离 即线段 AB 的长 为 2 如图 3 若点 B 落在圆心为 A 半径为 2 的圆上 线段 BC 与线段 OA 的距离记为 d 求 d 关于 m 的 函数解析式 3 当 m 的值变化时 动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2 线段 BC 的中点为 M 求出点