高中数学教学论文 2010年全国数学微积分-泰勒公式

泰勒公式及其应用泰勒公式及其应用 摘摘 要要 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式 针对泰勒公式的应用讨论了九个问题 即应用泰勒公式求极限 证明不等式 判断级数的敛散性 证明根的唯一存在性 判断函数的极值 求初等函 数的幂级数展开式 进行近似计算 求高阶导数在某些点的数值 求行列式的值 关键词关键词 泰勒公式 极限 不等式 敛散性 根的唯一存在性 极值 展开式 近似计算 行列式 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容 它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函 数 这种化繁为简的功能 使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆 作者通过阅读大量的参考文 献 从中搜集了大量的习题 通过认真演算 其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献 并对 这些应用方法做了系统的归纳和总结 由于本文的主要内容是介绍应用 所以 本文会以大量的例题进 行讲解说明 预备知识 定义 2 1 若函数在存在阶导数 则有 1 f 0 xn 2 00 000 1 2 fxfx f xf xxxxx 1 0 00 n nn fx xxo xx n 这里为佩亚诺型余项 称 1 f 在点的泰勒公式 0 n xxo 0 x 当 0 时 1 式变成 称此式 0 x 0 2 0 1 0 0 2 nn n xox n f x f x f fxf 为 带有佩亚诺余项的 麦克劳林公式 定义 2 2 若函数 在某邻域内为存在直至 阶的连续导数 则 2 f 0 x1 n 2 这里 2 00 00000 2 n n n fxfx f xf xfxxxxxxxR x n 1 为拉格朗日余项 其中在与之间 称 2 为在的泰 n R x 1 1 0 1 n n n f R xxx n x 0 xf 0 x 勒公式 当 0 时 2 式变成 0 x 2 0 0 0 0 2 n n n ff f xffxxxR x n 称此式为 带有拉格朗日余项的 麦克劳林公式 常见函数的展开式 1 2 1 2 1 n xn x x n e n xx xe 12 1 5 3 sin 22 1253 n n n xo n xxx xx 2462 2 cos1 1 2 4 6 2 n nn xxxx xo x n 1 1 32 1ln 1 132 n n n xo n xxx xx 1 1 1 2nn xoxxx x 2 2 1 1 1 x mm mxx m 定理 2 1 介值定理 设函数 在闭区间 上连续 且 若为介于 3 f ba bfaf 0 与之间的任何实数 则至少存在一点 使得 af bf 0 x ba 00 xf 3 3 泰勒公式的应用 3 13 1 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限 2 为了简化极限运算 有时可用某项的泰勒展开式来代替该项 使得原来函数的极限转化为类似多 项式有理式的极限 就能简捷地求出 例例 3 13 1 求极限 2 2 4 0 cos lim x x xe x 分析 此为型极限 若用罗比达法求解 则很麻烦 这时可将和分别用泰勒展开式 0 0 cosx 2 2 x e 代替 则可简化此比式 解解 由 得 24 4 cos1 2 4 xx xo x 2 2 2 2 4 2 2 1 22 x x x eo x 2 4444 2 2 111 cos 4 22 12 x xexo xxO x 于是 2 44 2 44 00 1 cos1 12 limlim 12 x xx xO x xe xx 3 23 2 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式 当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物 不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代 替 往往使证明方便简捷 例例 3 23 2 当时 证明 0 x 3 1 sin 6 xxx 证明证明 取 则 3 1 sin 6 f xxxx 0 0 x 0 0 0 0 0 0 1 cos 0 0 ffffxx f 带入泰勒公式 其中 3 得n 其中 3 1 cos 000 3 x f xx 10 故 3 当时 0 x 3 1 sin 6 xxx 3 33 3 利用泰勒公式判断级数的敛散性利用泰勒公式判断级数的敛散性 当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时 往往利用泰勒公式将级数通项简 化成统一形式 以便利用判敛准则 例例 3 33 3 讨论级数的敛散性 1 11 ln n n nn 分析 直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难 因而也就无法恰当选 择判敛方法 注意到 若将其泰勒展开为的幂的形式 开二次方后恰与相呼 11 lnln 1 n nn 1 n 1 n 应 会使判敛容易进行 解解 因为 234 1111111 lnln 1 234 n nnnnnnn 所以 11 ln 1nn 所以 11 ln0 n n u nn 故该级数是正向级数 又因为 3323323 22 111111111111 ln 234 22 n o nnnnnnnnnn nn 所以 4 33 22 111111 ln 22 n n u nnnn nn 因为收敛 所以由正向级数比较判别法知原级数收敛 3 1 2 1 2 n n 3 43 4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性利用泰勒公式证明根的唯一存在性 例例 3 43 4设 f x 在上二阶可导 且 对 证明 a 0 0f afa 0 xaf 在内存在唯一实根 0f x a 分析 这里 f x 是抽象函数 直接讨论的根有困难 由题设 f x 在上二阶可 0f x a 导且 可考虑将 f x 在 a 点展开一阶泰勒公式 然后设法应用戒指定理证明 0 0f afa 证明证明 因为 所以单调减少 又 因此 x a 时 故 0fx fx 0fa 0fxfa f x 在上严格单调减少 在 a 点展开一阶泰勒公式有 a 2 2 f f xf afa xaxaax 由题设 于是有 从而必存在 使得 又因为 0 0faf lim x ba 0f b 0f a 在上应用连续函数的介值定理 存在 使 由 f x 的严格单调性知唯一 因 a b 0 xa b 0 0f x 0 x 此方程在内存在唯一实根 0f x a 3 53 5 利用泰勒公式判断函数的极值利用泰勒公式判断函数的极值 例例 3 53 5 极值的第二充分条件 设在的某邻域内一阶可导 在处二 4 f 0 x 0 xU 0 xx 阶可导 且 0 0 xf0 0 xf i 若 则在取得极大值 0 0 xff 0 x 5 ii 若 则在取得极小值 0 0 xff 0 x 证明证明 由条件 可得 f 在处的二阶泰勒公式 0 x 2 1 2 0 2 0 0 0 0 0 xxoxx xf xx xf xfxf 由于 因此0 0 xf 2 0 0 0 1 2 xxo xf xfxf 又因 故存在正数 当时 与同号 所以 0 0 xf 0 xUx 2 1 0 xf 1 2 1 0 oxf 当时 式取负值 从而对任意有0 0 xf 0 xUx 0 0 xfxf 即在取得极大值 同样对 可得在取得极小值 f 0 x0 0 xff 0 x 3 63 6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 利用基本初等函数的幂级数展开式 通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的 幂级数展开式 例例 3 63 6 求的幂级数展开式 2 1 1xx 解解 利用泰勒公式 23 11 11 x xxx 3693467910 3467910 0 1 1 1 233333333 222222223 22 1 sin 33 n n xxxxxxxxxxx xxxxxxx n x 3 73 7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式进行近似计算 利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算 利用麦克劳林展开得到 xf 函数的近似计算式为 2 0 0 0 0 2 n n ff f xffxxx n 其误差是余项 n R x 例例 3 73 7 计算 Ln1 2 的值 使误差不超过 0 0001 6 解解 先写出 f x Ln 1 x 带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式 23 1 1 1 23 n n n xxx LnxxR x n 其中 在 0 与 x 之间 1 1 1 1 1 nn n n x R x n 令 要使 2 0 x 1 1 1 0 2 0 2 0 0001 00 2 1 1 n n n n R x n 则取即可 5 n 因此 5 ln1 20 20 020 002670 000400 000060 1823 0 0001R 其误差 当要求的算式不能得出它的准确值时 即只能求出其近似值 这时泰勒公式是解决这种问题的最 好方法 例例 3 83 8 求的近似值 精确到 21 0 x edx 5 10 解解 因为中的被积函数是不可积的 即不能用初级函数表达 现用泰勒公式的方法 21 0 x edx 求的近似值 21 0 x edx 在的展开式中以代替 x 得 x e 2 x 2 42 2 1 1 2 n xn xx ex n 逐项积分 得 2 42 11111 2 00000 1 1 2 11 111 1 1 32 52n1 1111111 1 310422161329936075600 n xn n xx edxdxx dxdxdx n n A A 上式右端为一个收敛的交错级数 由其余项的估计式知 n R x 2 7 1 0 1 0 000015 75600 111111 10 746836 3104221613299360 x R edx 所以 7 3 83 8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值 如果 f x 泰勒公式已知 其通项中的加项的系数正是 从而可反过来求高 n xx 0 1 0 xf n n 阶导数数值 而不必再依次求导 例例 3 93 9 求函数在 x 1 处的高阶导数 x exxf 2 2 100 1 f 解解 设 x u 1 则 eeueuugxf uu 2 1 2 1 1 0 1 nn gf 在 u 0 的泰勒公式为 u e 100 99 98 1 100 1009998 uo uuu ueu 从而 100 99 98 1 12 100 1009998 2 uo uuu uuueug 而 g u 中的泰勒展开式中含的项应为 从 g u 的展开式知的项为 100 u 100 100 100 0 u g 100 u 因此 100 100 1 99 2 98 1 ue 10101 0 100 1 99 2 98 1 100 0 100 100 ege g egf10101 0 1 100100 3 93 9 利用泰勒公式求行列式的值利用泰勒公式求行列式的值 若一个行列式可看做 x 的函数 一般是 x 的 n 次多项式 记作 f x 按泰勒公式在某处展 0 x 开 用这一方法可求得一些行列式的值 例例 3 103 10 求 n 阶行列式 D 1 xzzz yxzz yyxz yyyx 解解 记 按泰勒公式在 z 处展开 Dxfn 2 n n nnn n zx n zxf zx zf zx zf zfxf 2 1 2 8 易知 3 1 00000 000 000 000 k k yzz yz yyz yyz yyz yyz D 阶 由 3 得 时都成立nkyzzzf k k 2 1 1 根据行列式求导的规则 有 1 2 1 1 11 22 11 xxfxfxfxfxfnxfxnfxf nnnn 因为 于是在处的各阶导数为 xfnzx 2 1 n nzxnn yznzznfzfzf 3 1 1 n nzxnn yzznnznfzfzf znnzfnnfzf zx n n n n 2 1 2 1 1 11 12 1 nnzf n n 把以上各导数代入 2 式中 有 nn nnn n zx n nn zxz n nn zxyzz nn zxyzz n yzzxf 12 1 1 21 2 1 1 1 2321 若 有 yz 1 1 ynxyxxf n n 若 有 yz yz zxyyxz xf nn n 4 4总结总结 本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用 使我们对泰勒公式有了更深一层的理解 怎样应用泰勒公式解题有 了更深一层的认识 只要在解题训练中注意分析 研究题设条件及其形式特点 并把握上述处理规则 就能比较好地 掌握利用泰勒公式解题的技巧 参考文献参考文献 1 陈传章 金福林 数学分析 下 北京 高等教育出版社 1986 9 2 张自兰 崔福荫 高等数学证题方法 陕西 陕西科学出版社 1985 3 王向东 数学分析的概念和方法 上海 上海科学技术出版社 1989 4 同济大学数学教研室主编 高等数学 M 北京 人民教育出版社 1999 5 刘玉琏 傅沛仁 数学分析讲义 M 北京 人民教育出版社 2000 6 华东师范大学数学系 数学分析 第二版 M 高等教育出版社 1911 7 张立民 Visual Foxpro5 x 中文版应用技术手册 M 大连 大连理工大学出版社 1997 8 中文版 Visual Foxpro3 0 编程指南 M 西安 西安交通大学出版社 1997 9 Visual Basic 程序设计 M 中央广播电视大学出版社 2001 Some Equivalent Definitions and Applications of Convex Function Wang Cuina Grade06 Class4 Major in Mathematics and Applied Mathematics Department of Mathematics Shaanxi University of Technology Hanzhong 723000 Shaanxi Tutor Li Jinlong Abs