高中物理竞赛教程：3.3《磁场对载流导体的作用》

用心 爱心 专心 3 3 3 3 磁场对载流导体的作用磁场对载流导体的作用 3 3 3 3 1 1 安培力 安培力 一段通电直导线置于匀磁场中 通电导线长 L 电流强度为 I 磁场的磁感 应强度为 B 电流 I 和磁感强度 B间的夹角为 那么 该导线受到的安培力为 sin BILF 电流方向与磁场 方向平行时 0 或 180 F 0 电流方向与 磁场方向垂直时 90 安培力最大 F BIL 安培力方向由左手定则判断 它一定垂直于 B L 所决定的平面 当一段导电导线是任意弯曲的曲线时 如图 3 3 1 所示可以用连接导线两端 的直线段的长度l作为弯曲导线的等效长度 那么弯曲导线缩手的安培力为 sinBILF 3 3 3 3 2 2 安培的定义 安培的定义 如图 3 3 2 所示 两相距为 a 的平行长直导线分别载有电流1 I 和2 I 载流导线 1 在导线 2 2 处所产生的磁感应强度为 a I B 2 10 21 方向如图示 导线 2 上长为2 L 的线段所受的安培力为 2 sin 21222 BLIF 2 210 2122 2 L a II BLI 其方向在导线 1 2 所决定的平面内且垂直指向导线 1 导线 2 单位长度上所 受的力 l 图 3 3 1 I1I2 12B12 B21 a 1 F 2 F 图 3 3 2 用心 爱心 专心 a II L F 2 210 2 2 同理可证 导线 上单位长度导线所受力也为 a II L F 2 210 1 1 方向垂直指向 2 两条导线间是吸引力 也可证明 若两导线内电流方向相反 则为排斥力 国际单位制中 电流强度的单位安培规定为基本单位 安培的定义规定为 放在真空中的两条无限长直平行导线 通有相等的稳恒电流 当两导线相距 1 米 每一导线每米长度上受力为 2 7 10 牛顿时 各导线上的电流的电流强度为 1 安培 3 3 3 3 3 3 安培力矩 安培力矩 如图 3 3 3 所示 设在磁感应强度为 B 的均匀磁场中 有一刚性长方形平面 载流线图 边长分别为L1和 L2 电流强度 为 I 线框平面的法线n 与B 之间的夹角为 则各边受力情况如下 2 BILfab 方向指向读者 2 BILfcd 方向背向读者 cos 2 sin 11 BILBILfbc 方 向向下 cos 2 sin 11 BILBILfda 方 向向上 bc f 和 da f 大小相等 方向相反且在一条直线上 互相抵消 ab f 和 cd f 大小相等 指向相反 但力作用线不在 同一直线上 形成一力偶 力臂从 b 中可看出为 sin 2 cos 11 LL 1 L 2 L a d c I I n ab f cd f b B 图 3 3 3 ab f cd f n 图 3 3 4 用心 爱心 专心 故作用在线圈上的力矩为 sinsin 121 LBILLfM ab 而21L L 为线圈面积 S 故 sinBISM 我们称面积很小的载流线圈为磁偶极子 用磁偶极矩 m P 来描绘它 其磁偶极 矩的大小为平面线圈的面积与所载电流的电流强度之乘积 即 ISPm 其方向 满足右手螺旋法则 即伸出右手 四指绕电流流动方向旋转 大拇指所指方向即 为磁偶极矩的方向 如图 3 3 4 中n 的方向 则 角即为磁偶极矩 m P 与磁感应强 度B 的正方向的夹角 这样 线圈所受力矩可表为 sinBPM m 我们从矩形线圈推出的公式对置于均匀磁场中的任意形状的平面线圈都适合 典型例题典型例题 例例 1 1 距地面 h 高处 1 水平放置距离为 L 的两条光滑金属导轨 跟导轨正 交的水平方向的线路上依次有电动势为 的电池 电容为 C 的电容器及质量为 m 的金属杆 如图 3 3 5 单刀双掷开关 S 先接触头 1 再扳过接触头 2 由于空间 有竖直向下的强度为 B 的匀强磁场 使得金属杆水平向右飞出做平抛运动 测得 其水平射程为 s 问电容器最终的带电量是多少 分析 分析 开关 S 接 1 电源向电容器充电 电量 CQ0 S 扳向 2 电容器通过金属杆放电 电流通 过金属杆 金属杆受磁场力向右 金属杆右边的导轨 极短 通电时间极短 电流并非恒定 力也就不是恒 S m C L B h s 12 图 3 3 5 用心 爱心 专心 力 因此不可能精确计算每个时刻力产生的效果 只能关心和计算该段短时间变 力冲量的效果 令金属杆离开导轨瞬间具有了水平向右的动量 根据冲量公式 qBLtBLitF 跟安培力的冲量相联系的是 t 时间内流经导体的电量 由 平抛的高度与射程可依据动量定理求出 q 电容器最终带电量可求 解 解 先由电池向电容器充电 充得电量 CQ 0 之后电容器通过金属杆放 电 放电电流是变化电流 安培力 BLiF 也是变力 根据动量定理 mvqBLtBLitF 其中 v s t h 2 1 gt 2 综合得 h g sv 2 h g BL ms BL mv q 2 电容器最终带电量 h g BL ms CqQQ 2 0 点评 根据动量定理来研究磁场力冲量产生的效果 实际上就是电量和导体 动量变化的关系 这是磁场中一种重要的问题类型 例例 2 2 图 3 3 6 中 无限长竖直向上的导线中通有恒定电流 0 I 已知由 0 I 产生磁场的公式是r I kB 0 k 为恒量 r 是场点到 0 I 导线的距离 边长为 2L 的正方形线圈轴线 O O 与 0 I 导线平行 某时刻线圈的 ab 边与 0 I 导线相距 2L 已 知线圈中通有电流I 求此时刻线圈所受的磁场力矩 分析 分析 画俯视图如图 3 3 7 所示 先根据右手螺旋法则 I0 2L O O I a b c d 2L 图 3 3 6 用心 爱心 专心 确定1 B 和2 B 的方向 再根据左手定则判断 ab 边受力1 F 和 cd 边受力2 F 的方向 然后求力矩 解 解 根据右手螺旋法则和左手定则确定1 B 和2 B 1 F 和2 F 的方向 如图 3 3 7 所示 L I kB 2 0 1 L I KB 22 0 2 IkILIBF 011 2 IkILIBF 022 2 2 2 1 F 对 O O 轴产生的力矩 ILkILFM 011 2 F 对 O O 轴产生的力矩 ILkILFM 022 2 1 2 2 两个力矩俯视都是逆时针同方向的 所以磁场 对线圈产生的力矩 ILkIMMM 021 2 3 点评 安培力最重要的应用就是磁场力矩 这是电动机的原理 也是磁电式