高等数学(数一)知识重点及复习计划

高等数学 数一 知识重点及复习计划高等数学 数一 知识重点及复习计划 按照同济大学高等数学第六版制定按照同济大学高等数学第六版制定 第一章第一章 函数与极限函数与极限 章节章节复习知识点及作业复习知识点及作业大纲要求大纲要求 1 1 函数的概念 常见的函数 有界函数 奇函数与偶 函数 单调函数 周期函数 复合函数 反函数 初等函数具体概念和形式 注 一 集合注 一 集合 二 映射二 映射 P17 20P17 20 双曲函数双曲函数 不用看 不用看 习题 1 1 4 5 8 9 15 16 1 2 数列极限的定义 数列极限的性质 唯一性 有界性 保号性 注 用定义证明极限不用看注 用定义证明极限不用看 习题 1 2 1 4 5 6 注 记住注 记住 4 5 64 5 6 的结论 不的结论 不 用证明用证明 1 3 函数极限的定义与基本性质 极限的保号性 极限 的唯一性 函数极限的函数局部有界性 函数极限与 数列极限的关系等 注 用定义证明极限不用看注 用定义证明极限不用看 习题 1 3 1 2 4 1 4 无穷小与无穷大的定义 它们之间的关系 以及与 极限的关系 习题 1 4 4 6 7 1 5 极限的运算法则 6 个定理以及一些推论 习题 1 5 1 2 3 4 5 1 6 重点重点 两个重要极限 要牢记在心 要注意极限成立的条 件 不要混淆 应熟悉等价表达式 函数极限的存 在问题 夹逼定理 单调有界数列必有极限 利 用函数极限求数列极限 利用夹逼准则求极限 求 递归数列的极限 1 理解函数的概念 掌 握函数的表示法 会建立应 用问题的函数关系 2 了解函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性 3 理解复合函数及分段 函数的概念 了解反函数及 隐函数的概念 4 掌握基本初等函数的 性质及其图形 了解初等函 数的概念 5 理解极限的概念 理 解函数左极限与右极限的概 念以及函数极限存在与左 右极限之间的关系 6 掌握极限的性质及四 则运算法则 7 掌握极限存在的两个 准则 并会利用它们求极限 掌握利用两个重要极限求极 限的方法 习题 1 6 1 2 4 1 7 重点重点 无穷小阶的概念 同阶无穷小 等价无穷小 高阶 无穷小 k 阶无穷小 重要的等价无穷小 尤其重 要 一定要烂熟于心 以及它们的重要性质和确定 方法 习题 1 7 1 2 3 4 1 8 重点重点 函数的连续性 间断点的定义与分类 第一类间断 点与第二类间断点 判断函数的连续性 连续性 的四则运算法则 复合函数的连续性 反函数的连 续性 和间断点的类型 习题 1 8 2 3 4 5 1 9 连续函数的运算与初等函数的连续性 包括和 差 积 商的连续性 反函数与复合函数的连续性 初等函数 的连续性 习题 1 9 3 4 5 6 1 10 重点重点 理解闭区间上连续函数的性质 有界性与最大值最小 值定理 零点定理与介值定理 零点定理对于证明根 的存在是非常重要的一种方法 注 注 P72P72 一致连续性一致连续性 不用看 不用看 习题 1 10 1 2 5 8 理解无穷小量 无穷 大量的概念 掌握无穷小量 的比较方法 会用等价无穷 小量求极限 9 理解函数连续性的概 念 含左连续与右连续 会 判别函数间断点的类型 10 了解连续函数的性 质和初等函数的连续性 理 解闭区间上连续函数的性质 有界性 最大值和最小值 定理 介值定理 并会应用 这些性质 总复习题一 1 2 3 4 5 9 10 11 12 第二章第二章 导数与微分导数与微分 2 12 1 导数的定义 几何意义 单侧与双侧可导的关系 可导与连续之间的关系 非常重要 经常会出现在 选择题中 函数的可导性 导函数 奇偶函数与周 期函数的导数的性质 按照定义求导及其适用的情 形 利用导数定义求极限 会求平面曲线的切线方 程和法线方程 习题 2 1 6 7 9 11 14 15 16 17 18 19 20 1 理解导数和微分的概念 理解导数与微分的关系 理 解导数的几何意义 会求平 面曲线的切线方程和法线方 程 了解导数的物理意义 会用导数描述一些物理量 理解函数的可导性与连续性 2 22 2 重点重点 复合函数求导法 求初等函数的导数和多层复合函 数的导数 由复合函数求导法则导出的微分法则 幂 指数函数求导法 反函数求导法 分段函 数求导法 习题 2 2 2 3 5 7 8 10 11 14 2 32 3 重点重点 高阶导数求法 归纳法 分解法 用莱布尼兹法则 习题 2 3 2 3 10 11 12 2 42 4 重点重点 由参数方程确定的函数的求导法 隐函数的求导法 相关变化率 习题 2 4 1 11 2 52 5 函数微分的定义 微分的几何意义 微分运算法则 注 注 P119P119 微分在近似计算中的应用 不用看 微分在近似计算中的应用 不用看 习题 2 5 2 3 4 总复习题二 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 之间的关系 2 掌握导数的四则运算 法则和复合函数的求导法则 掌握基本初等函数的导数公 式 了解微分的四则运算法 则和一阶微分形式的不变性 会求函数的微分 3 了解高阶导数的概念 会求简单函数的高阶导数 4 会求分段函数的导数 会求隐函数和由参数方程所 确定的函数以及反函数的导 数 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 3 13 1 重点重点 微分中值定理及其应用 费马定理及其几何意义 罗尔定理及其几何意义 拉格朗日定理及其几何意 义 柯西定理及其几何意义 习题 3 1 5 12 3 23 2 重点重点 洛比达法则及其应用 习题 3 2 1 4 3 33 3 重点重点 泰勒中值定理 麦克劳林展开式 习题 3 3 1 7 10 3 43 4 重点重点 求函数的单调性 凹凸性区间 极值点 拐点 渐 进线 选择题及大题常考选择题及大题常考 习题 3 4 1 2 4 5 8 9 12 13 14 15 3 53 5 函数的极值 一个必要条件 两个充分条件 最大最 1 理解并会用罗尔 Rolle 定理 拉格朗日 Lagrange 中值定理和泰勒 Taylor 定理 了解并会用 柯西 Cauchy 中值定理 2 掌握用洛必达法则求 未定式极限的方法 3 理解函数的极值概念 掌握用导数判断函数的单调 性和求函数极值的方法 掌 握函数最大值和最小值的求 重点重点小值问题 函数性的最值和应用性的最值问题 与最 值问题有关的综合题 习题 3 5 1 4 5 6 7 3 63 6 简单了解利用导数作函数图形 一般出选择题及判 断图形题 对其中的渐进线和间断点要熟练掌握 习题 3 6 2 4 3 73 7 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径 习题 3 7 1 5 总复习题三 1 2 4 6 7 8 10 11 12 20 法及其应用 4 会用导数判断函数图 形的凹凸性 会求函数图形 的拐点以及水平 铅直和斜 渐近线 会描绘函数的图 形 5 了解曲率 曲率圆与曲 率半径的概念 会计算曲率 和曲率半径 第四章第四章 不定积分不定积分 4 14 1 原函数与不定积分的概念与基本性质 它们各自的 定义 之间的关系 求不定积分与求微分或导数的 关系 基本的积分公式 原函数的存在性 习题 4 1 1 7 4 24 2 重点重点 换元积分法 习题 4 2 全部 4 34 3 重点重点 分部积分法 习题 4 3 全部 4 44 4 有理函数的积分 习题 4 4 全部 4 54 5 积分表的使用 不用看 不用看 总习题四全部 1 理解原函数的概念 理解不定积分和定积分的概 念 2 掌握不定积分的基本 公式 掌握不定积分和定积 分的性质及定积分中值定理 掌握换元积分法与分部积分 法 3 会求有理函数 三角 函数有理式和简单无理函数 的积分 第五章第五章 定积分定积分 5 15 1 定积分的概念与性质 可积存在定理 定积分的 7 个 性质 注 注 P228 定积分的近似计算 不考 定积分的近似计算 不考 习题 5 1 4 10 13 5 25 2 微积分的基本公式 积分上限函数及其导数 牛顿 1 理解定积分的概念 2 掌握定积分的基本公式 掌握定积分的性质及定积分 中值定理 重点重点莱布尼兹公式 习题 5 2 1 12 5 35 3 重点重点 定积分的换元法与分部积分法 习题 5 3 1 2 3 4 6 7 5 45 4 反常积分 无界函数反常积分与无穷限反常积分 习题 5 4 1 3 5 55 5 反常积分的审敛法 不考 不考 总复习题五 1 3 4 5 6 7 10 13 3 理解积分上限的函数 会 求它的导数 掌握牛顿 莱 布尼茨公式 4 掌握换元积分法与分部积 分法 5 了解广义反常积分的概念 会计算广义反常积分 第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 6 16 1 定积分元素法 6 26 2 重点重点 定积分的几何应用 求平面曲线的弧长 求平面图 形的面积 求旋转体的体积 求平行截面为已知的 立体体积 求旋转曲面的面积 习题 6 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 15 16 21 22 6 36 3 定积分在物理学上的应用 变力沿直线所做的功 水压力 引力 习题 6 3 1 12 总复习题六 1 6 会用定积分计算平面图形的 面积 平面曲线的弧长 旋 转体的体积及侧面积 平行 截面面积为已知的立体体积 功 引力 压力 质心 形 心等 第七章第七章 微分方程微分方程 7 17 1 微分方程的基本概念 微分方程及其阶 解 通解 初始条件和特解 习题 7 1 1 2 3 4 5 7 27 2 重点重点 可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程的概 念及其解法 习题 7 2 1 2 7 37 3 重点重点 齐次方程 一阶齐次微分方程的形式及其解法 习题 7 3 1 2 7 47 4 重点重点 一阶线性微分方程 伯努利方程 习题 7 4 1 2 1 了解微分方程及其阶 解 通解 初始条件和特解 等概念 2 掌握变量可分离的微 分方程及一阶线性微分方程 的解法 3 会解齐次微分方程 伯努利方程和全微分方程 会用简单的变量代换解某些 7 57 5 重点重点 可降阶的高阶微分方程 习题 7 5 1 2 7 67 6 重点重点 高阶线性微分方程 微分方程的特解 通解 习题 7 6 1 4 7 77 7 重点重点 常系数齐次线性微分方程 特征方程 微分方程通 解中对应项 习题 7 7 1 2 7 87 8 重点重点 常系数非齐次线性微分方程 会解自由项为多项式 指数函数 正弦函数 余弦函数以及它们的和与积 的二阶常系数非齐次线性微分方程 习题 7 8 1 2 7 97 9 欧拉方程 习题 7 9 总复习题七 3 4 5 7 10 微分方程 4 会解二阶可降解的微 分方程 5 理解线性微分方程解 的性质及解的结构 6 掌握二阶常系数齐次 线性微分方程的解法 并会 解某些高于二阶的常系数齐 次线性微分方程 7 会解自由项为多项式 指数函数 正弦函数 余弦 函数以及它们的和与积的二 阶常系数非齐次线性微分方 程 8 会解欧拉方程 9 会用微分方程解决一 些简单的应用问题 第八章第八章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 8 18 1 向量及其线性运算 习题 8 1 1 19 8 28 2 数量积 向量积 混合积 习题 8 2 1 2 3 6 7 9 8 38 3 重点重点 曲面及其方程 习题 8 3 1 11 1 理解空间直角坐标系 理 解向量的概念及其表示 2 掌握向量的运算 线性运 算 数量积 向量积 混合 积 了解两个向量垂直 平行的条件 3 理解单位向量 方向数与 方向余弦 向量的坐标表达 式 掌握用坐标表达式进行 8 48 4 重点重点 空间曲线及其方程 习题 8 4 1 8 8 58 5 重点重点 平面及其方程 习题 8 5 1 9 8 68 6 重点重点 空间直线及其方程 习题 8 6 1 15 总习题八 1 21 向量运算的方法 4 掌握平面方程和直线方程 及其求法 5 会求平面与平面 平面与 直线 直线与直线之间的夹 角 并会利用平面 直线的 相互关系 平行 垂直 相 交等 解决有关问题 6 会求点到直线以及点到平 面的距离 7 了解曲面方程和空间曲线 方程的概念 8 了解常用二次曲面的方程 及其图形 会求简单的柱面 和旋转曲面的方程 9 了解空间曲线的参数方程 和一般方程 了解空间曲线在 坐标平面上的投影 并会求 该投影曲线的方程 第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 9 19 1 多元函数的基本概念 二元函数的极限 连续性 有界性与最大值最小值定理 介值定理 习题 9 1 5 6 7 8 9 29 2 重点重点 偏导数 偏导数的概念 二阶偏导数的求解 习题 9 2 1 2 3 4 6 7 8 9 9 39 3 重点重点 全微分 全微分的定义 可微分的必要条件和充分 条件 习题 9 3 1 2 3 5 注 全微分在近似计算中的应用不考注 全微分在近似计算中的应用不考 9 49 4 多元复合函数的求导法则 多元复合函数求导 全 1 理解多元函数的概念 理解二元函数的几何意义 2 了解二元函数的极限 与连续的概念以及有界闭区 域上连续函数的性质 3 理解多元函数偏导数 和全微分的概念 会求全微 分 了解全微分存在的必要 重点重点微分形式的不变性 习题 9 4 1 12 9 59 5 重点重点 隐函数的求导公式 隐函数存在的 3 个定理 习题 9 5 1 10 9 69 6 多元函数微分学的几何应用 空间曲线的切线与法 平面 曲面的切平面与法线 习题 9 6 4 12 9 79 7 方向导数与梯度 习题 9 7 1 8 10 9 89 8 重点重点 多元函数的极值及其求法 多元函数极值与最值的 概念 二元函数极值存在的必要条件和充分条件 会求二元函数的极值 会用拉格朗日乘数法求条件 极值 习题 9 8 1 12 总复习题九 1 18 注 注 9 99 9 与与 9 109 10 不用看不用看 条件和充分条件 了解全微 分形式的不变性 4 理解方向导数与梯度 的概念 并掌握其计算方法 5 掌握多元复合函数一 阶 二阶偏导数的求法 6 了解隐函数存在定理 会求多元隐函数的偏导数 7 了解空间曲线的切线 和法平面及曲面的切平面和 法线的概念 会求它们的方 程 8 理解多元函数极值和 条件极值的概念 掌握多元 函数极值存在的必要条件 了解二元函数极值存在的充 分条件 会求二元函数的极 值 会用拉格朗日乘数法求 条件极值 会求简单多元函 数的最大值和最小值 并会 解决一些简单的应用问题 第十章第十章 重积分重积分 10 110 1 二重积分的概念与性质 二重积分的定义及 6 个性 质 习题 10 1 1 4 5 10 210 2 重点重点 二重积分的计算法 会利用直角坐标计算二重积分 会利用极坐标计算二重积分 习题 10 2 1 2 1 理解二重积分 三重 积分的概念 了解重积分的 性质 了解二重积分的中值 定理 2 掌握二重积分的计算 4 6 7 8 11 12 13 14 15 10 310 3 重点重点 三重积分的概念 三重积分的计算 会利用直角坐 标计算三重积分 会利用柱面坐标计算三重积分 会利用球面坐标计算三重积分 习题 10 3 4 11 10 410 4 重积分的应用 会计算曲面的面积 质心 转动惯 量 引力 习题 10 4 1 2 3 4 5 6 9 10 11 12 13 14 方法 直角坐标 极坐标 会计算三重积分 直角坐标 柱面坐标 球面坐标 3 会用重积分求一些几何量 与物理量 平面图形的面积 体积 曲面面积 弧长 质 量 质心 形心 转动惯量 引力 功等 第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 11 111 1 对弧长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念与性 质 对弧长的曲线积分的计算 习题 11 1 3 11 211 2 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分的概念与性 质 对坐标的曲线积分的计算 两类曲线积分之间 的联系 习题 11 2 3 4 7 8 11 311 3 重点重点 格林公式及其应用 格林公式 平面上曲线积分与 路径无关的条件 二元函数的全微分求积 全微分 方程 习题 11 3 1 6 11 411 4 对面积的曲面积分 对面积的曲面积分的概念与性 质 对面积的曲面积分的计算 习题 11 4 4 8 11 511 5 对坐标的曲面积分 对坐标的曲面积分的概念与性 质 对坐标的曲面积分计算 两类曲面积分之间的 联系 习题 11 5 3 4 11 611 6 重点重点 高斯公式 会用高斯公式 会计算通量与散度 习题 11 6 1 2 3 1 理解两类曲线积分的 概念 了解两类曲线积分的 性质及两类曲线积分的关系 2 掌握计算两类曲线积 分的方法 3 掌握格林公式并会运 用平面曲线积分与路径无关 的条件 会求二元函数全微 分的原函数 4 了解两类曲面积分的 概念 性质及两类曲面积分 的关系 掌握计算两类曲面 积分的方法 掌握用高斯公 式计算曲面积分的方法 并 会用斯托克斯公式计算曲线 积分 5 了解散度与旋度的概 念 并会计算 11 711 7 斯托克斯公式 会用斯托克斯公式 会计算环流量 与旋度 习题 11 7 2 3 总习题十一 1 5 第十二章第十二章 无穷级数无穷级数 12 112 1 常数项级数的概念和性质 常数项级数的概念 收 敛级数的基本性质 习题 12 1 1 4 注 注 P254P254 柯西审敛原理不考柯西审敛原理不考 12 212 2 重点重点 常数项级