双曲线及其标准方程

第 1 页 共 6 页 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 一 教学目标一 教学目标 一 知识目标 使学生掌握双曲线的定义和标准方程 以及标准方程的推导 二 能力目标 在与椭圆的类比中获得双曲线的知识 从而培养学生分析 归纳 推理等能力 三 情感体验目标 本次课注意发挥类比和设想的作用 与椭圆进行类比 设想 使学生得到关于双曲线 的定义 标准方程一个比较深刻的认识 二 教材分析二 教材分析 1 重点 双曲线的定义和双曲线的标准方程 解决办法 通过一个简单实验得出双曲线 再通过设问给出双曲线的定义 对于双曲线的标准方程通过比较加深认识 2 难点 双曲线的标准方程的推导 解决办法 引导学生完成 提醒学生与椭圆标准方程的推导类比 三 活动设计三 活动设计 提问 实验 设问 归纳定义 讲解 演板 口答 重点讲解 小结 四 教学过程四 教学过程 一 复习提问 1 椭圆的定义是什么 学生回答 教师板书 平面内与两定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭 圆 教师要强调条件 1 平面内 2 到两定点 F1 F2的距离的和等于常数 3 常数 2a F1F2 2 椭圆的标准方程是什么 学生口答 教师板书 第 2 页 共 6 页 二 双曲线的概念 把椭圆定义中的 距离的和 改为 距离的差 那么点的轨迹会怎样 它的方程是 怎样的呢 1 简单实验 边演示 边说明 如图2 23 定点 F1 F2是两个按钉 MN 是一个细套管 两条细绳分别拴在 按钉上且穿过套管 点 M 移动时 MF1 MF2 是常数 这样就画出曲线的一支 由 MF2 MF1 是同一常数 可以画出另一支 注意 常数要小于 F1F2 否则作不出图形 这样作出的曲线就叫做双曲 线 2 设问 问题1 定点 F1 F2与动点 M 不在平面上 能否得到双曲线 请学生回答 不能 强调 在平面内 问题2 MF1 与 MF2 哪个大 请学生回答 不定 当M 在双曲线右支上时 MF1 MF2 当点 M 在双曲线 左支上时 MF1 MF2 问题3 点 M 与定点 F1 F2距离的差是否就是 MF1 MF2 请学生回答 不一定 也可以是 MF2 MF1 正确表示为 MF2 MF1 问题4 这个常数是否会大于等于 F1F2 请学生回答 应小于 F1F2 且大于零 当常数 F1F2 时 轨迹是以 F1 F2为 端点的两条射线 当常数 F1F2 时 无轨迹 第 3 页 共 6 页 3 定义 在上述基础上 引导学生概括双曲线的定义 平面内与两定点F1 F2的距离的差的绝对值是常数 小于 F1F2 的点的轨迹 叫做双曲线 这两个定点 F1 F2叫做双曲线的焦点 两个焦点之间的距离叫做 焦距 教师指出 双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆 不要死记 三 双曲线的标准方程 现在来研究双曲线的方程 我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程 这 时设问 求椭圆的方程的一般步骤方法是什么 不要求学生回答 主要引起学生思考 随 即引导学生给出双曲线的方程的推导 标准方程的推导 1 建系设点 取过焦点F1 F2的直线为 x 轴 线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴 如图 2 24 建立直角坐标系 设M x y 为双曲线上任意一点 双曲线的焦距是 2c c 0 那么 F1 F2 的坐标分别是 c 0 c 0 又设点 M 与 F1 F2的距离的差的绝对值等于 常数 2 点的集合 由定义可知 双曲线就是集合 P M MF1 MF2 2a M MF1 MF2 2a 3 代数方程 第 4 页 共 6 页 4 化简方程化简方程 由学生演板由学生演板 将这个方程移项 两边平方得 2222 cxaaxcy 化简得 2222 cxaaxcy 两边再平方 整理得 22222222 caxa yaca 以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导 由双曲线定义 2c 2a 即 c a 所以 0 22 ca 设 b 0 代入上式得 22 ca 2 b 222222 b xa ya b 这就是双曲线的标准方程 两种标准方程的比较 引导学生归纳 第 5 页 共 6 页 教师指出 1 双曲线标准方程中 a 0 b 0 但 a 不一定大于 b 2 如果 x2项的系数是正的 那么焦点在 x 轴上 如果 y2项的系数是正的 那么焦点在 y 轴上 注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐 标轴上 3 双曲线标准方程中 a b c 的关系是 c2 a2 b2 不同于椭圆方程中 c2 a2 b2 四 练习与例题 1 求满足下列的双曲线的标准方程 焦点F1 3 0 F2 3 0 且 2a 4 3 已知两点 F1 5 0 F2 5 0 求与它们的距离的差的绝对值是 6 的 点的轨迹方程 如果把这里的数字 6 改为 12 其他条件不变 会出现什么情况 由教师讲解 按定义 所求点的轨迹是双曲线 因为c 5 a 3 所以 b2 c2 a2 52 32 42 第 6 页 共 6 页 因为2a 12 2c 10 且 2a 2c 所以动点无轨迹 五 小结 1 定义 平面内与两定点 F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹 3 图形 见图 2 25 4 焦点 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 5 a b c