高三数学：导数练习

用心 爱心 专心 例 1 广东省六校 2009 届高三第二次联考 已知函数图像上的点处的切线方程为 32 f xxaxbxc 1 2P 31yx 1 若函数在时有极值 求的表达式 f x2x f x 2 函数在区间上单调递增 求实数的取值范围 f x 2 0 b 解题思路 求函数的解析式一般用待定系法法 求参数的取值范围一般需建立关于参数的 不等式 组 解析 2 分 2 32fxxaxb 因为函数在处的切线斜率为 3 f x1x 所以 即 3 分 1323fab 20ab 又得 4 分 112fabc 1abc 1 函数在时有极值 所以 5 分 f x2x 21240fab 解得 7 分2 4 3abc 所以 8 分 32 243f xxxx 2 因为函数在区间上单调递增 所以导函数 f x 2 0 2 3fxxbxb 在区间上的值恒大于或等于零 10 分 2 0 则得 所以实数的取值范围为 14 分 21220 00 fbb fb 4b b 4 名师指引 已知在处有极值 等价于 f x 0 xx 0fx 例 2 已知函数是上的奇函数 当时取得极值 3 0 f xaxcxd a R1x f x2 1 求的单调区间和极大值 f x 2 证明对任意不等式恒成立 12 x x 1 1 12 4f xf x 用心 爱心 专心 解析 1 由奇函数定义 有 即 fxf x xR 因此 33 0 axcxdaxcxdd 3 f xaxcx 2 3 fxaxc 由条件为的极值 必有 1 2f f x 1 0 f 故 解得 2 30 ac ac 1 3 ac 因此 3 3 f xxx 2 333 1 1 fxxxx 1 1 0 ff 当时 故在单调区间上是增函数 1 x 0fx f x 1 当时 故在单调区间上是减函数 1 1 x 0fx f x 1 1 当时 故在单调区间上是增函数 1 x 0fx f x 1 所以 在处取得极大值 极大值为 f x1x 1 2 f 2 由 1 知 是减函数 且 3 3 1 1 f xxx x 在上的最大值为最小值为 f x 1 1 1 2 Mf 1 2 mf 所以 对任意恒有 12 1 1 x x 12 2 2 4 f xf xMm 方法技巧 善于用函数思想不等式问题 如本题 12maxmin f xf xf xf x 例 3 福建卷 已知函数的图象过点 P 0 2 且在点daxbxxxf 23 M 1 f 1 处的切线方程为 076 yx 求函数的解析式 xfy 求函数的单调区间 xfy 解 由的图象经过 P 0 2 知 d 2 xf 所以 2 23 cxbxxxf 用心 爱心 专心 23 2 cbxxxf 由在处的切线方程是 1 1 fM076 yx 知 6 1 1 1 07 1 6 fff即 3 0 32 1 21 623 cb cb cb cb cb 解得即 故所求的解析式是 2 33 23 xxxxf 0 12 0363 3 63 222 xxxxxxxf即令 解得 21 21 21 xx 当 0 21 21